數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義選修2-1蘇教版：第3章空間向量與立體幾何3.2.2(二)含答案

1、空間線面關(guān)系的判定(二 ) 垂直關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系向量法判斷一些簡(jiǎn)單的線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.能用知識(shí)點(diǎn)一向量法判斷線線垂直設(shè)直線 l 的方向向量為a (a1 ，a2，a3)，直線 m 的方向向量為b (b1，b2，b3)，則 l m? a·b 0? a1b1 a2b2 a3b3 0.知識(shí)點(diǎn)二向量法判斷線面垂直思考若直線 l 的方向向量為 4，1，平面 的法向量為 3，則直線 l12， 323， 2，2與平面 的位置關(guān)系是怎樣的？如何用向量法判斷直線與平面的位置關(guān)系？答案垂直，因?yàn)?2，所以 ，即直線的方向向量與平面的

2、法向量平行，所以直13212線 l 與平面 垂直判斷直線與平面的位置關(guān)系的方法：(1) 直線 l 的方向向量與平面 的法向量共線 ? l .(2) 直線的方向向量與平面的法向量垂直? 直線與平面平行或直線在平面內(nèi)(3) 直線 l 的方向向量與平面內(nèi)的兩相交直線的方向向量垂直? l .梳理 設(shè)直線 l 的方向向量a (a1， b1， c1)，平面 的法向量 (a2， b2， c2)，則 l ? a? a k(kR )知識(shí)點(diǎn)三向量法判斷面面垂直思考 平面 ， 的法向量分別為 (x ， y ， z (x ， y ， z1111 )， 2222)，用向量坐標(biāo)法表示兩平面 ， 垂直的關(guān)系式是什么？答案x

3、1x2 y1y2 z1z2 0.梳理若平面 的法向量為 (a1 ，b1， c1)，平面 的法向量為 (a2， b2， c2)，則 ? ? · 0? a1a2 b1b2 c1c20.已知點(diǎn) P 是平行四邊形ABCD 所在的平面外一點(diǎn)，如果，AB (2， 1， 4)，AD (4,2,0)AP ( 1,2， 1)判斷下面結(jié)論的對(duì)錯(cuò)：1 AP AB； ( )2 AP AD.( )3.AP 是平面 ABCD 的法向量 ( )4.AP BD.(×)類型一證明線線垂直例 1如圖，已知正三棱柱ABC A1 B1 C1 的各棱長(zhǎng)都為1， M 是底面上 BC 邊的中點(diǎn)， N 是側(cè)棱CC11上的

4、點(diǎn)，且 CN CC 1.求證： AB1 MN .4證明設(shè) AB 的中點(diǎn)為O，連結(jié) OC，作 OO1 AA1.以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB 所在直線為x 軸，OC 所在直線為y 軸， OO1 所在直線為z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系1，由已知得 A ，0， 0213B 2，0，0 ，C 0， 2 ，0，311N0，2，4，B1 2，0，1 ，M 為 BC 的中點(diǎn)，M 14， 43， 0 .131MN 4， 4 ，4 ， AB1(1,0,1)，11MN·AB1 40 4 0.MN AB 1 ，AB 1 MN .反思與感悟 證明兩直線垂直的基本步驟： 建立空間直角坐標(biāo)系 寫出點(diǎn)的坐標(biāo) 求

5、直線的方向向量 證明向量垂直 得到兩直線垂直跟蹤訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AC 3，BC 4，AB 5，AA14，求證：AC BC1.證明直三棱柱 ABC A1B1C1 底面三邊長(zhǎng)AC 3， BC 4，AB 5，AC BC，AC， BC，C1C 兩兩垂直如圖，以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， CA， CB，CC1 所在直線分別為x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系則 C(0,0,0) ， A(3,0,0) ， C1(0,0,4) ，B(0,4,0) ，AC ( 3,0,0)，BC1 (0， 4,4)， AC·BC 1 0，AC BC1.類型二證明線面垂直例 2如圖

6、所示，在正方體ABCD-A 1B1C1D 1 中， E，F(xiàn) 分別是 BB1，D1B1 的中點(diǎn)求證：EF平面 B1AC.證明 方法一 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA ，DC ， DD 1的方向?yàn)?x 軸， y軸， z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(2,0,0) ， C(0,2,0) ， B1(2,2,2) ，E(2,2,1) ， F(1,1,2) EF (1,1,2) (2,2,1) ( 1， 1， 1)AB1 (2,2,2) (2,0,0) (0,2,2) ，AC (0,2,0) (2,0,0) ( 2,2,0) 而EF ·AB 1( 1， 1,1)

7、 (0,2,2)· ( 1)×0 ( 1)× 21× 2 0. EF ·AC ( 1， 1,1) (·2,2,0) 2 2 0 0，EF AB1， EF AC.又 AB1AC A，AB1? 平面 B1AC， AC? 平面 B1AC，EF 平面 B1AC.方法二設(shè)AB a， AD c， AA1 b， 1 1 11則EF EB1 B1F 2( BB1 B1D1) 2( AA1 BD)2( AA1 AD AB)2( ab c)， AB1 AB AA 1 a b，1EF ·AB1 2( a b c) ·(a b)12 2

8、2(b a c·a c·b)1 22 2(|b| |a| 00) 0.EF AB1 ，即 EF AB1，同理， EF B1C.又 AB1B1CB1，AB1? 平面 B1AC， B1C? 平面 B1AC ，EF 平面 B1AC.反思與感悟用向量法證明線面垂直的方法及步驟(1) 基向量法：設(shè)出基向量，然后表示直線的方向向量；找出平面內(nèi)兩條相交直線的向量并用基向量表示；利用數(shù)量積計(jì)算(2) 坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；求平面內(nèi)任意兩條相交直線的方向向量或平面的法向量；證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線的方向向量垂直或與平面的法向量平行跟蹤訓(xùn)練 2 如

9、圖，在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1 C1D 1 中， AB AD 1， AA1 2，點(diǎn) P 為 DD 1 的中點(diǎn)求證：直線 PB1平面 PAC.證明 如圖，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC， DA， DD 1的方向?yàn)?x 軸， y 軸， z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(1,0,0) ，A(0,1,0) ， P(0,0,1) ，B1(1,1,2) ， PC (1,0， 1) ，PA(0,1， 1)， PB1 (1,1,1) ，B1 C (0， 1， 2)，B1A ( 1,0， 2) PB1 ·PC(1,1,1) (1,0·， 1) 0，所以 PB1 PC，即 PB1

10、PC. 又 PB1 ·PA(1,1,1) (0,1·， 1) 0，所以 PB1 PA，即 PB1PA.又 PAPC P， PA， PC? 平面 PAC，所以 PB1平面 PAC.類型三證明面面垂直例 3在三棱柱ABC A1B1C1 中， AA1平面 ABC ，ABBC ，AB BC 2， AA1 1， E 為BB1 的中點(diǎn)，求證：平面AEC1平面 AA1C1C.證明由題意知直線AB， BC， B1B 兩兩垂直，以點(diǎn)B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA， BC， BB1所在直線為x， y， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(2,0,0) ， A1 (2,0,1) ，C(0,

11、2,0) ，C1(0,2,1) ，1E 0，0，2 ，1故 AA1 (0,0,1) ， AC ( 2,2,0)， AC1 ( 2,2,1)， AE 2， 0， 2 .設(shè)平面 AA1C1C 的法向量為n1 (x， y， z)， 0，z 0，n1·AA1則即 2x2y 0.n1·AC 0，令 x 1，得 y 1，故 n1 (1,1,0) 設(shè)平面 AEC1 的法向量為n2 (a， b， c)， 0， 2a 2b c0，n2·AC1則即1 2an2·AE 0，2c 0.令 c 4，得 a 1， b 1，故 n2 (1， 1,4)因?yàn)?n1·n2 1&#

12、215; 11× ( 1) 0× 4 0，所以 n1 n2.所以平面 AEC1 平面 AA1C1C.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(1) 常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明(2) 向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，底面 ABCD 是正方形， AS平面 ABCD ，且 ASAB，E 是 SC 的中點(diǎn) 求證：平面 BDE 平面 ABCD . 證明 設(shè) AB BCCD DA AS 1，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB，AD ，AS的方向?yàn)?x 軸， y 軸，z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，111則 B(1,0,0)

13、 ， D(0,1,0) ， A(0,0,0) ，S(0,0,1) ，E 2， 2， 2 ，連結(jié) AC，設(shè) AC 與 BD 相交于點(diǎn)O，1 1連結(jié) OE，則點(diǎn) O 的坐標(biāo)為 2， 2， 0 .1因?yàn)?AS (0,0,1)， OE0，0，2， 1 所以 OE 2AS，所以 OEAS.又因?yàn)?AS平面 ABCD ，所以 OE平面 ABCD ，又 OE? 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD .1若直線 l1 的方向向量為a (2， 4,4)，l 2 的方向向量為b (4,6,4) ，則 l1 與 l2 的位置關(guān)系是_ (填“平行”“垂直” )答案垂直解析因?yàn)?a·b 2×

14、 4( 4)× 6 4×4 0，所以 l1 l2.2若直線 l 的方向向量為 a (1,0,2) ，平面 的法向量為 ( 2,0， 4)，則 l 與 的位置關(guān)系是 _ (填“平行”“垂直” )答案垂直解析a，l .3平面 的一個(gè)法向量為m (1,2,0) ，平面 的一個(gè)法向量為平面 的位置關(guān)系是 _ (填“平行”“垂直” )答案垂直解析(1,2,0) (2·， 1,0) 0，n (2， 1,0)，則平面與兩法向量垂直，從而兩平面垂直4已知平面與平面 垂直，若平面與平面 的法向量分別為 ( 1,0,5)， (t,5,1)，則 t 的值為 _答案 5解析平面 與平面

15、垂直，平面 的法向量 與平面 的法向量垂直，·0，即 ( 1)× t 0×5 5× 10，解得 t 5.5 在菱形ABCD的法向量，則下列等式中可能不成立的是ABCD 中，若 PA是平面_ (填序號(hào) ) PAAB； PA CD ； PC BD ； PC AB.答案解析由題意知 PA平面 ABCD ，所以 PA 與平面上的線AB， CD 都垂直，正確；又因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，可推得對(duì)角線BD平面 PAC，故 PC BD ，正確證明垂直問題的方法：(1) 利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算其中靈活

16、建系是解題的關(guān)鍵(2) 其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可，當(dāng)然，也可證直線的方向向量與平面法向量平行；其三證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理， 只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可一、填空題1設(shè)直線 l 1，l2 的方向向量分別為a ( 2,2,1)，b (3， 2，m)，若 l1 l 2，則 m _.答案10解析因?yàn)?a b，故 a·b 0，即 2× 32× ( 2) m 0，解得 m10.2若平面， 的法向

17、量分別為a (1,2,4) ， b (x， 1， 2)，并且 ，則 x 的值為_答案 10解析因?yàn)?，則它們的法向量也互相垂直，所以 a·b ( 1,2,4) (x，· 1， 2) 0，解得 x 10.3已知直線 l 的方向向量為1， ， 1( R )若 le (1,1,2) ，平面 的法向量為 n 2，則實(shí)數(shù) 的值為 _答案 12解析 1121l ，en， ， .1 1224已知點(diǎn)A(0,1,0) ，B( 1,0， 1)， C(2,1,1) ，P(x,0，z)，若 PA平面 ABC ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為_答案 ( 1,0,2)解析由題意知 AB ( 1， 1， 1)， A

18、C (2,0,1)，AP (x， 1， z)，又 (x·， 1， z) 0，得 x 1 z 0，所以有 AB·AP ( 1， 1， 1)AC·AP (2,0,1) ( x，· 1， z) 0，得 2x z 0，聯(lián)立得x 1， z2，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( 1,0,2) 5在正方體 ABCD-A 1B1C1D1 中，若 E 為 A1C1 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是序號(hào) )CE BD ； A1C1 BD ； AD BC1； CD BE.PA平面 ABC，_ (填答案解析以 D 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA ， DC ， DD 1 所在直線分別為x 軸， y 軸， z

19、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0) ， B(1,1,0) ，C(0， 1,0)， D(0,0,0) ，A1(1,0， 1)，11C1(0,1,1) ， E2，2，1 ，11CE 2，2， 1 ， AC ( 1,1,0)，BD (1， 1,0)， A1D ( 1,0， 1)，A1A (0,0， 1)， 11CE·BD ( 1)×2( 1)× 2 0×10，CE BD.顯然 A1C1BD ，故只有正確6已知點(diǎn) P 是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)， 若 AB (2， 1， 4)，AD (4,2,0)，AP( 1,2，

20、1)，則給出下列結(jié)論：AP AB； AP AD； AP 是平面 ABCD 的一個(gè)法向量； AP BD .其中正確的結(jié)論是_( 填序號(hào) )答案解析因?yàn)?AB·AP 2× ( 1)(1)×2 ( 4)× ( 1) 2 2 4 0，則AB AP，即 AP AB；AP·AD ( 1)× 4 2× 2 00，則AP AD，即 AP AD，又 ABAD A，AP平面 ABCD ，故AP 是平面 ABCD 的一個(gè)法向量BD AD AB (4,2,0) (2， 1， 4) (2,3,4) ，所以 AP與 BD 不平行7.如圖，在長(zhǎng)方體 AB

21、CD A1B1C1D 1 中， AB 2，AA13， AD 22， P 為 C1D 1 的中點(diǎn)，M 為 BC 的中點(diǎn)則 AM 與 PM 的位置關(guān)系為 _答案垂直解析以 D 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA ，DC， DD 1 所在直線為x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz，依題意可得D (0,0,0) ，P(0,1，3)， C(0,2,0) ，A(22， 0,0)，M(2， 2,0)PM (2，2,0) (0,1，3) (2， 1，3)，AM (2，2,0) (22， 0,0) (2， 2,0)，PM·AM (2， 1，3) (·2，2,0) 0，即P

22、M AM，AM PM.8在空間直角坐標(biāo)系O xyz 中，已知點(diǎn)P(2cosx 1，2cos2x 2,0)和點(diǎn) Q(cosx， 1,3)，其中 x 0， 若直線OP 與直線 OQ 垂直，則x 的值為 _ 答案或23解析由題意得 OP OQ，cosx·(2cosx 1) (2cos2x 2) 0.2cos2x cosx 0，1cosx0 或 cosx2.又x 0，x2或 x 3.9在 ABC 中， A(1， 2， 1)， B(0， 3,1)，C(2， 2,1)若向量n 與平面 ABC 垂直，且|n| 21，則 n 的坐標(biāo)為 _ 答案 ( 2,4,1) 或(2， 4， 1)解析據(jù)題意，得

23、AB， AC (1,0,2) ( 1， 1,2)設(shè) n (x， y， z)，n 與平面 ABC 垂直， x y 2z 0，y 4z，n·AB0，即解得x 2z 0，x 2z.n·AC 0，|n|21，x2 y2 z221，解得 z 1 或 z 1.當(dāng) z 1 時(shí)， y4， x 2；當(dāng) z 1 時(shí)， y 4，x 2，n( 2,4,1) 或 n (2， 4， 1) 10已知 AB(1,5， 2)， BC (3,1， z)，若 AB BC ， BP (x 1， y， 3)，且 BP平面ABC，則 (x， y， z) _.4015答案7 ，7 ， 4解析 AB·BC 3

24、5 2z0，故 z4.BP·AB x 1 5y 6 0，且 BP·BC 3(x 1)y 12401540150，得 x 7 ， y7 .所以 (x， y， z) 7 ，7，4 .二、解答題11.如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1 中， E， F 分別是 B1B， DC 的中點(diǎn)，求證： AE平面 A1D1F.證明 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，如圖所示，以 1的方向?yàn)?x 軸， yD 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA， DC，DD軸， z 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，1則 A(1,0,0) ， E 1， 1， 2 ，A1(1,0,1) ， D1(0,0,1) ，1， 0 .F 0，21

25、1AE0，1， 2，A1D 1 ( 1,0,0)， D1F 0，2， 1， 1×00，AE·A1D 10× ( 1) 1× 0211AE·D1F 2 2 0，AE A1 D1， AE D 1F ，即 AEA1D 1， AE D1F，又 A1D 1D1F D 1，A1D 1， D1F? 平面 A1D 1F，AE平面 A1D 1F.12.如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1 中，用向量法證明：(1) 平面 A1BD 平面 CB1D1；(2) AC1平面 A1BD .證明 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA ， DC ， DD 1 的方向?yàn)?x 軸， y

26、軸， z 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則 D (0,0,0) ，A1(1,0,1) ， B(1,1,0) ，D 1(0,0,1) ， B1(1,1,1) ，C(0,1,0) ， A(1,0,0) ， C1(0,1,1) (1)A1D (1,0， 1)，A1B (0,1， 1)，D1B1 (1,1,0) ，D1 C (0,1， 1)，設(shè)平面 A1BD 的一個(gè)法向量為n1 (x1， y1， z1)， x1 z1 0，n1·A1D 0，則 0，即1 1y1 z1 0.n ·A B令 z1 1，得 x1 1， y1 1.平面 A1BD 的一個(gè)法向量為n1 ( 1

27、,1,1)設(shè)平面 CB1D 1 的一個(gè)法向量為n2 (x2， y2， z2)，x2 y2 0，n2·D 1B1 0，則即y2 z2 0.n2·D1C 0，令 y2 1，得 x2 1， z2 1，n2 (1,1,1)，n1n2，即 n1n2.平面 A1BD平面 CB1D1.(2) 又 AC1 ( 1,1,1)，AC1 n1.AC1 是平面 A1的法向量，BDAC1平面 A1BD.13.如圖，在四棱錐P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面 ABCD ， PA AB 1， AD 3，點(diǎn) F 是 PB 的中點(diǎn)，點(diǎn)E 在邊 BC 上移動(dòng)求證：無(wú)論點(diǎn)E 在 BC 邊的何處，都有PE AF.證明以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AD ， AB， AP的方向?yàn)?x 軸， y 軸， z 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，1 1則 A(0,0,