最優(yōu)下料問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

1、最優(yōu)下料問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型摘要本文通過(guò)對(duì)兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析，分別建立模型一、模型二。針對(duì)模型一，設(shè)計(jì)程序 貪心算法，通過(guò)Matlab編程，得出相應(yīng)結(jié)果。針對(duì)模型二，文中通過(guò)將二維問(wèn)題轉(zhuǎn)換 成為一維問(wèn)題，引用規(guī)劃模型，做出相應(yīng)分析。在問(wèn)題一中，為解決一維下料問(wèn)題，根據(jù)一維下料問(wèn)題的特點(diǎn)，建立起由其約束條 件組介而成的規(guī)劃模型，在隨機(jī)決策的基礎(chǔ)上利用貪心算法取每個(gè)決策中的最優(yōu)值，較 快地獲得問(wèn)題的最優(yōu)解為：前6天下料方案整和為一個(gè)方案比制定4天，6天方案更優(yōu), 且前6天需用原材料根數(shù)為268,利用率為99. 21%, 3天完成：剩余下料方案為需用原 材料根數(shù)為538,利用率為98.92%, 6天完成。（

2、詳見(jiàn)表6-1和附錄表6-2、表6-3）在問(wèn)題二中，基丁零件長(zhǎng)、寬兩個(gè)方向上的限制的情況后，根據(jù)問(wèn)題2中待加工的 零件的寬只集中在50mm, 30mm, 35mm, 20mm四種規(guī)格上，將二維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題, 分別用一維下料問(wèn)題的方法尋求四種寬度條材在一維情況下的最優(yōu)方案。在這一過(guò)程 屮，可根據(jù)一維下料問(wèn)題求解的方法，建立模型二，解多目標(biāo)整數(shù)觀劃，再進(jìn)行般優(yōu)組 介，可以得到兩個(gè)階段所使用的條材。關(guān)鍵詞：貪心算法最優(yōu)下料規(guī)劃1一、問(wèn)題的重述"下料問(wèn)題(cutting stock problem) ”是把相同形狀的一些原材料分割加匸成若干 個(gè)不同規(guī)格大小的零件的問(wèn)題，此類問(wèn)題在工程技術(shù)

3、和T.業(yè)生產(chǎn)中有著重要和廣泛的應(yīng) 用.這里的“實(shí)用下料問(wèn)題”則是在某企業(yè)的實(shí)際條件限制下的單一材料的下料問(wèn)題。現(xiàn)考慮單一原材料下料問(wèn)題.設(shè)這種原材料呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)度為L(zhǎng),寬度為W,現(xiàn)在 需要將一批這種長(zhǎng)方形原料分割成m種規(guī)格的零件，所有零件的厚度均與原材料一致， 但長(zhǎng)度和寬度分別為(h，鄧)，其中W'Vl, <L，w <W,i = l,. ,m. m種零件 的需求最分別為山,寸下料時(shí)，零件的邊必須分別和原材料的邊平行。這類問(wèn)題在 工程上通常簡(jiǎn)稱為二維下料問(wèn)題。特別當(dāng)所有零件的寬度均與原材料相等，即 xy =W,i二1,m，則問(wèn)題稱為一維下料問(wèn)題。一個(gè)好的下料方案首先應(yīng)該使原材

4、料的利用率最大，從而減少損失，降低成本，提 高經(jīng)濟(jì)效益。其次耍求所采用的不同的下料方式盡可能少，即希望用最少的下料方式來(lái) 完成任務(wù)。因?yàn)樵谏a(chǎn)中轉(zhuǎn)換卜"料方式需耍費(fèi)用和時(shí)間，既提高成本，乂降低效率。此 外，每種零件有各I的交貨時(shí)間，每天下料的數(shù)量受到企業(yè)生產(chǎn)能力的限制。因此實(shí)用 下料問(wèn)題的冃標(biāo)是在生產(chǎn)能力容許的條件卜，以最少數(shù)量的原材料，盡可能按時(shí)完成需 求任務(wù)，同時(shí)下料方式數(shù)也盡暈地小.請(qǐng)你們?yōu)槟称髽I(yè)考慮下面兩個(gè)問(wèn)題。1、建立一維單一原材料實(shí)用下料問(wèn)題的數(shù)學(xué)模世，并用此模樂(lè)求解下列問(wèn)題，制 定出在生產(chǎn)能力容許的條件下滿足需求的下料方案，同時(shí)求出等額完成任務(wù)所需的原 材料數(shù)，所采用的

5、下料方式數(shù)和廢料總長(zhǎng)度.單一原材料的長(zhǎng)度為3000mm,需耍完成一 項(xiàng)有53種不同長(zhǎng)度零件的下料任務(wù).具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表一，其中1為石求零件的長(zhǎng)度，幾為 需求零件的數(shù)量.此外，在每個(gè)切割點(diǎn)處由丁鋸縫所產(chǎn)生的損耗為5mm.據(jù)佔(zhàn)計(jì)，該企 業(yè)每天最大下料能力是100塊，耍求在4天內(nèi)完成的零件標(biāo)號(hào)(i)為：5, 7, 9, 12, 15, 18, 20, 25, 28, 36, 48;要求不遲于6天完成的零件標(biāo)號(hào)(i)為:4, 11, 24,29,32, 38,40,46,50.(提示:可分層建模。(1) .先考慮用材料既少，下料方式乂少的模熨，或先僅考慮所用材料最少的模熨及 增加一種下料方式大致相當(dāng)丁使原

6、材料總損耗增加0. 08%情況下的最佳方案。(2) .在解決具體問(wèn)題時(shí),先制定4天的下料方案，再制定6天的下料方案，最后制定53 種零件的下料方案.這一提示對(duì)第2題也部分適用.)2、建立二維單一原材料實(shí)用下料問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并用此模型求解下列問(wèn)題.制定 出在企業(yè)生產(chǎn)能力容許的條件下滿足需求的卜料方案，同時(shí)求出等額完成任務(wù)所需的 原材料塊數(shù)和所需下料方式數(shù)這個(gè)問(wèn)題的單原材料的長(zhǎng)度為3000mm,寬度為100mm, 需耍完成一項(xiàng)有43種不同長(zhǎng)度和寬度零件的下料任務(wù).具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表二，其中-対，叫 分別為需求零件的長(zhǎng)度、寬度和數(shù)量.切割時(shí)的鋸縫可以是H的也可以是彎的，切割 所引起的鋸縫損耗忽略不計(jì)據(jù)估

7、計(jì)，該企業(yè)每天嚴(yán)大下料能力是20塊耍求在4天內(nèi)完 成的零件標(biāo)號(hào)(i)為：3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.二、問(wèn)題的假設(shè)(1) 問(wèn)題一中的零件厚度和寬度均與原材料相等：(2) 問(wèn)題二中的零件厚皮均與原材料相等。(3) 切割過(guò)程中無(wú)人工誤差三、符號(hào)的說(shuō)明3.1問(wèn)題一的符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明km«x等額完成任務(wù)所需的原材料數(shù)k原材料個(gè)數(shù)1零件標(biāo)號(hào)Xb在笫k個(gè)原材料上切割的第i個(gè)零件標(biāo)號(hào)的零件數(shù)最111規(guī)格種數(shù)k需求零件長(zhǎng)度L單一原材料長(zhǎng)度d】(i = 1,2,- -,111)需求零件數(shù)帚s需下料的全部零件總長(zhǎng)度Q下料方式數(shù)L*廢料總長(zhǎng)度四、問(wèn)題的分析對(duì)丁問(wèn)題一，為

8、一維下料問(wèn)題，考慮首耍目標(biāo)為使原材料利用率最大，然后再使下 料方式數(shù)盡可能少。建立起以原材料使用數(shù)最最少為目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃模型，易知該問(wèn)題 為NP問(wèn)題，故用一般的規(guī)劃算法很難求解，在現(xiàn)有的算法中也沒(méi)有一種算法可以求出 確定的最優(yōu)解，求解此類問(wèn)題的算法有單口標(biāo)或多口標(biāo)模型，遺傳算法，模擬退火法，啟 發(fā)式算法，分支定界法等，木文利用貪心算法在隨機(jī)決策方案的棊木上采取擇優(yōu)原則， 經(jīng)多次選取后可將需耍量全部完成。對(duì)丁問(wèn)題二，這是特殊的二維下料問(wèn)題。很容易觀察到：?jiǎn)栴}二中所有零件的長(zhǎng)度 都大于原材料的寬度，零件的寬度只有4種，大于80的寬度組合大約10多種。因此由 上述度眩知實(shí)際寬度組合會(huì)更少。這樣解問(wèn)題

9、二的通常想法是將其轉(zhuǎn)化成問(wèn)題一的形 式，同時(shí)也可以得出與問(wèn)題一相類似的理論模熨。五. 模型的建立與求解5.1問(wèn)5. 1. 1模型一的建立與求解1、模型一的建立1）.約東條件如題，設(shè)原材料呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)度為L(zhǎng),現(xiàn)在需耍將一批這種長(zhǎng)方形原料分割成m種 規(guī)格的零件，所有零件的厚度和寬度均與原材料一致，第i種規(guī)格的零件的長(zhǎng)度為J 需求量為（i =個(gè)。共耗用此瘁個(gè)原材料，且在第k個(gè)原材料上切割的第i個(gè)零件標(biāo)號(hào)的零件數(shù)量為xh , 則有：（1）原材料觀格與鋸縫損耗約束條件為：mm工 1兀+5工Xk k = lX-.kinas1=1X=1（2）需求帚約束條件為：以及對(duì)屯的非負(fù)整數(shù)要求。（3）下料方式約束條件為

10、:Q = min5左 Xxkx-1k-1（4）下料能力約束條件為：每天的最大下料能力有：<1002）.目標(biāo)函數(shù)的建立冃標(biāo)換數(shù)的建立是為求得kn迪的故小值，【大I此建立如下:min工 X). = cti, i =1,2,mk-i其中,Z+= 0,1,2,. 為非負(fù)整數(shù)的集合。3）求得所需原材料最小值設(shè)2劉“， 表示需下料的全部零件總長(zhǎng)度。進(jìn)而定義:'s/L, s/L為整數(shù)iiit(s/L) + 1,其他則所需原材料的最小值為kJ若由目標(biāo)函數(shù)求得的結(jié)果k_<k*,則計(jì)算結(jié)果有誤, 需耍修正程序算法，或是重新建立模熨。由式求得的最小值可避免犯一些明顯的錯(cuò) 誤，并且可對(duì)程序進(jìn)行驗(yàn)證

11、。4）結(jié)果表示：(1) 等額完成任務(wù)所需的原材料數(shù)：(2) 下料方式數(shù)：Qm(3) 廢料總長(zhǎng)度：L* = 3000 - £ 1 = 3000- s1=1(4) 下料方案：從上述模型可得出，下料方案為滿足模熨約柬?xiàng)l件的最優(yōu)解。2、算法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)決策下的貪婪算法Stepl:對(duì)于給定需耍完成的產(chǎn)品，長(zhǎng)度和需求量分別為L(zhǎng)和m構(gòu)造一個(gè)n行1列矩陣NL,L1!形如：NL= L n其中0表示第1種材料的第i個(gè)排列，Ll中的n表示第一種材料的總需求量。Step2:產(chǎn)生100個(gè)隨機(jī)數(shù)組，每個(gè)隨機(jī)數(shù)組包含20個(gè)數(shù)，隨機(jī)數(shù)組R.的取值范圍為(llei】gth(NL),其屮R表示第i個(gè)數(shù)組里面的第j個(gè)隨機(jī)數(shù)的

12、值。將每一組數(shù)組的值R1對(duì)應(yīng)到Stepl構(gòu)造的矩陣NL中的第B?個(gè)數(shù)中，結(jié)果是產(chǎn)生100組策略，每組策略有20個(gè)值。Step3；將產(chǎn)生的Step2產(chǎn)生的100組策略裝進(jìn)100個(gè)隊(duì)列中，對(duì)毎個(gè)隊(duì)列進(jìn)行分流操作， 從笫1組的第一個(gè)值開(kāi)始累加到第一組的第20個(gè)數(shù)，累加過(guò)程中如果累加值超出30007的，該值不被采用，否則該值被分流進(jìn)盒子，如果循環(huán)操作至第100組隨機(jī)值，瑕后結(jié) 果將產(chǎn)生出100組隨機(jī)策略組件，每組的累加值均滿足小T- 3000,即：S = S + R打 + 5, if(sx + R/+5 <3000)Sx = S£, if(Sx + R/+5 >3000 )i =

13、 1,2,-100 j = h2,208#Step4：對(duì)Step3產(chǎn)生的100種滿足條件的隨機(jī)組介采取擇優(yōu)選擇，即選擇max(SJ,此為 一次貪心決策結(jié)果，將構(gòu)成max(Sx)的各長(zhǎng)度值從NL矩陣屮去掉，即將其值變?yōu)?.Step5:判斷NL矩陣中的非零值個(gè)數(shù)，當(dāng)NoZeros(NL) = 0時(shí)，即表示NL中的每個(gè)值都 己經(jīng)被選出，否則繼續(xù)Step2Step5。由以上SteplStep5結(jié)束后易知垠終結(jié)果為各類型需求量均能被滿足，此為最終 的解。在實(shí)際操作中可能Step2屮的100個(gè)隨機(jī)數(shù)組中有些數(shù)組的20個(gè)隨機(jī)值出現(xiàn)雷同數(shù)値, 亦即R=R,此時(shí)如果R所對(duì)應(yīng)的S為max(SJ,那么該隨機(jī)決策將是

14、-種偽決策， 此行為將導(dǎo)致NL矩陣中的某一值被&累加了多次,為此,可以將Step5中的判斷函數(shù):NoZeros(NL) = 0 改為 NoZeros(NL) = 5】豐(皿)即NL中剩下堆未被選擇時(shí)即跳出，然后對(duì)剩下的%°進(jìn)行重組合，即將NL屮等0的數(shù)剔除，非零數(shù)值重新組介成新的NL,再繼續(xù)運(yùn)行SteplStep5即可盡最避免當(dāng) Rxj = Rxk時(shí)，R”所對(duì)應(yīng)的耳為max(Sx)的情況。至此，利用Matlab編程可求出滿足題目耍求的方案，從方案中可以檢測(cè)出 Rxj = Rxk時(shí)，用所對(duì)應(yīng)的S為max(SJ的情況僅為四種，對(duì)四種方案人為處理后即可 得到最終結(jié)果。易求出該算法的

15、時(shí)間復(fù)雜度僅為O(sxiin(n) K T),其!> siim(n)表示總需求帚:，K表示隨機(jī)決策的個(gè)數(shù)(本文中取100), T表示每個(gè)隨機(jī)決策中的隊(duì)列長(zhǎng)度(木文中取20）。此算法較之遺傳算法等的優(yōu)點(diǎn)是減少時(shí)間復(fù)雜皮，可以在較短時(shí)間內(nèi)求出滿意解, 而空間復(fù)雜度基本相同，缺點(diǎn)是下料方案是隨機(jī)性的，結(jié)果中有些下料方案可能只被執(zhí) 行數(shù)次。5. 2問(wèn)題二5.2.1模型二的建立1、問(wèn)題二模型的初步分析與建立問(wèn)題二中的二維下料問(wèn)題，由丁零件長(zhǎng)、寬兩個(gè)方向上的限制，相比丁一維下料問(wèn) 題復(fù)雜得多。這一問(wèn)題還耍求集合D中的零件必須在第一階段（前四天）完成，而企業(yè)每 天的下料能力是20塊。妹丁這一條件，本文

16、模型的目標(biāo)是盡可能節(jié)省原材料，并采用 盡最少的下料方式。kkmin工bmin工6©） ,<=,m;I,% >00,b- =0k 工冋 kYJ-11S （為 ）bj <80 ieD1 < ij < i2 < m;l <kj < ahJ ;1 < k2 < a“j- i2 +k】一 k】H 0其中，k：全部可行下料方式數(shù)：aXJ:表示第i號(hào)零件在第j種方式下切得的個(gè)數(shù); bJ：表示第j種下料方式耗材塊數(shù)；D= 零件i |i=3,7, 9,12,15,18, 20, 25,28,36, 即前4天須完成的零件集介；第i號(hào)零件的長(zhǎng)、寬

17、、加工個(gè)數(shù)；勺,：第i號(hào) 零件在笫j中下料方式卜切得笫k塊冬件中心的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。2、模型的進(jìn)一步分析根據(jù)問(wèn)題2的特點(diǎn),待加匚的零件的寬只集中在50mm, 30mm, 35mm, 20mm四種規(guī) 格上，可將二維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題，對(duì)四種寬度且長(zhǎng)3000mm的條材，分別用一維下 料問(wèn)題的方法尋求四種寬度條材在一維情況卜的般優(yōu)方案。根據(jù)-維下料問(wèn)題求解的方法，解多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃，可以得到兩個(gè)階段所使用的條 材。然后，將上述四種寬度的條材進(jìn)行搭配，按僅有的無(wú)損失的方式列出。并進(jìn)行優(yōu)化 組即以原板材消耗塊數(shù)最少為目標(biāo)，建立整數(shù)規(guī)劃模型，模型二：mill ii +m2 +m3 +m4 +11152111

18、 + ni2 >m2 十 2m3 + m4 >S.t/m2 + 2m3 + 5m5 >2m4 >利用mat lab編程可得到第一階段最優(yōu)解和第二階段最優(yōu)解。六、模型的實(shí)證與評(píng)價(jià)6.1問(wèn)題一模型一的實(shí)證分析根據(jù)模型一，結(jié)合貪婪算法，利用mat lab編程得出結(jié)果，如表6-1。表6-1各方案對(duì)比結(jié)果表項(xiàng)目數(shù)量計(jì)劃一計(jì)劃二前4天任務(wù)5-6天任務(wù)前6天任務(wù)剩余任務(wù)零件總長(zhǎng)度4446493543617990101599898原材料個(gè)數(shù)152123267536原材料最小值149119267534下料方式數(shù)424570206廢料總長(zhǎng)度11351146391099017102完成天數(shù)2

19、236利用率97. 51%96. 03%99. 21%98. 92%從表61中，可知，采用計(jì)劃二所使用的原材料數(shù)量耍比采用計(jì)劃一少7個(gè)，且利 用率也更優(yōu)，總廢料長(zhǎng)度也更少。另外，也可得出，根據(jù)完成天數(shù)的不同而選出的最佳方案，產(chǎn)生了兩個(gè)最佳生產(chǎn)計(jì) 劃，可供企業(yè)站在不同角度選擇合適企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行生產(chǎn)。計(jì)劃一：考慮到原材料的供給不足，尚不夠完成前6天的任務(wù)；且公司資金需耍周轉(zhuǎn)，不打 算將大量資金投入到原材料的購(gòu)進(jìn)，使倉(cāng)庫(kù)幗積貨物。因此考慮在第1、2天完成四天的下料方案，第3, 4天不生產(chǎn)，第5, 6天完成6 天剩下的下料方案；完成剩余的53種零件的下料方案。計(jì)劃二公司已經(jīng)將53種零件需耍的原材料

20、全部購(gòu)進(jìn)：且公司仍有繼續(xù)接到定單的打算， 因此需要盡早完成全部下料方案的生產(chǎn)。則先選擇完成用3天時(shí)間完成前6天任務(wù)，再 完成剩余的53種零件的下料方案。綜合以上兩方而的考慮，本文給出計(jì)劃二的下料方案，詳見(jiàn)附錄表6-2和表6-36.2問(wèn)題二模型二的實(shí)證分析略11參考文獻(xiàn)1 土 姐、溫陽(yáng)俊.二維實(shí)用下料問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型及較優(yōu)解.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)第36卷第7期2 倪 勤.實(shí)用下料問(wèn)題的評(píng)注.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí).笫35卷第7期.3 金詠怡.產(chǎn)品下料問(wèn)題的一種求解方法.湖南商學(xué)院學(xué)報(bào).第10卷第1期.4 谷峰、韓潤(rùn)春、暢亞鋒、土帥印.一維實(shí)用下料問(wèn)題的一種解法河北理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第32卷第3期附錄

21、:表6-26天下料方案序號(hào)下料數(shù)11477147711801477290138821477600941105131326529015882147729029014614776002906000000o713138827320000018882882118000000598821030103000000r1088214772903280000O1188202908820000oS122901313110526500001138822906901105000011460060014772900000o1588204347320000116665147726529026500011788288288

22、229000002118882882600600000041988212322656000000420882745882434000012110552902907326000001290043484584526500123882434882732000092466529088284529000025434578882265265000126882882265265665000127600103029029074500012810308452652652902650012960088208820000130732265265845845000131290665845882265000132290

23、434103060060000013388229029088260000034290745745882290000135434434882578000013660088260060029000013743410556008820000138131300000001398824342652652650578014084588266557800001418826006008820000542265882265600665265001438822906002906002900014443426526588226529029001452652652652908827322650146290665290

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26、表6-3剩余下料方案序號(hào)下料數(shù)112851680000000001221680104625500000002383017434050000000141680975313000000015117715322750000000765886301743000000016305821743000000018168041189300000003959071416800000000110168071958200000006115887141680000000021216808303131550000001138301680275184000000114588633168000000001151680630

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