因式分解難題解析

1、因式分解難題解析詹碼論壇站長在因式分解時，有時會用到以下兩個公式：an 七 n=(a-b)(an-1 +a n-2b+ ) 11 +abn-2 +bn-1)am +bm=(a+b)(a m-1-am-2b+11|-bm-2a+bm-1)(m為奇數(shù))下面精選了十個實例進(jìn)行講解。01 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y 2z+yz2分析：一眼就可看出，這是3次的齊次多項式。一般選中一個未知數(shù)作為主元，統(tǒng)帥其他未知數(shù)，主元應(yīng)按降序排列并分組x3-xy 2+x2 z-xz 2-2xyz+y 2z+yz2322222=x 3-xy2-xz2+yz +x 2z-2xyz+y 2z=x(x2-y2)

2、-z2 (x-y)+z(x 2-2xy+y 2)=x(x-y)(x+y)-z 2(x-y)+z(x-y) 2=(x-y)(x 2+xy-z 2+zx-zy)此題若不進(jìn)行科學(xué)分組會很困難2 202 x 2xy -8y 2x 14y -3分析:此題-看就應(yīng)該知道用雙十字相乘法分解解：xy常數(shù)項14-11-232 2x 2xy-8y 2x 14y-3=(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三項，是否與x、y兩列相配，再看常數(shù)項是否與數(shù)字相配，然后 再看X、常數(shù)項是否與x的系數(shù)相配，最后看y、常數(shù)項是否與y的系數(shù)相配。作業(yè)： a3b _ab3 a2 - b2 1提示：先分組再變形最后用十字相乘法

3、。原式=ab(a2 -b2)(a2b2)1 = ab(a b)(a -b) (a2b2)12 2 2 2 2 2=(a -ab)(ab b )(a b )1 = (a -ab 1)(ab b1)難度較大。 xy y2 x _y _2提示：x2的系數(shù)看成0,然后再用雙十字相乘法。xy112011原式=(X+y 2)(y +1)也可用分組法,以x為主元03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：這個題目一看，映入眼簾的就是3個括號。瞧瞧括號里的b+c 、c-a 、a+b，看看這3項是否有某種聯(lián)系前兩項相加得不出 第3項，但我們發(fā)現(xiàn)，后2項相加正好等于第1項。所以，這個題目中的第1項如

4、果分成兩部分，一部分配給第2項，一部分配給第 3項會是不壞的注意。解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc( c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)作業(yè): x3 35x 642 x 51x1432 x 2 x x 3提示：需要拆分分組。43204 2x 7x2x- 13x 6分析：拿到這道題,一看便知，這是高次，且包含多項的 多項式。另外，還看到7、-13、6有著某種關(guān)系，所以不妨把它們按此發(fā)現(xiàn)分組。這樣就有(2x4-2

5、x2) +( 7x3-13x+6)不難把13x分成7x和6x，配給7x3和6。這樣，接著 2x2(x2-1)+7x(x 2-1)-6(x-1)至此對后的分解就不在話下了 。對于這道題，細(xì)心的人也會發(fā)現(xiàn)，各項系數(shù)和為0，這意味著x=1是它的根，根據(jù)因式定理，就知道x-1是多項式的一個因子，然后，怎么分組都行，只要按照x-1的思路。作業(yè):x3 +2x 2 -5x-6提示：當(dāng)偶次項的系數(shù)和(2+(-6)=-4)等于奇次項系數(shù)和(1+( -5)=-4)時，就有-1這個根。也就是說，x+1是多項式的一個因式。05 2x° x' 6x2 x 2分析：拿到這個題目,看就覺得有某種對稱關(guān)系：

6、2x4與2 , -x3與-x ,系數(shù)分別相 等。顯然，應(yīng)該把它們分別結(jié)合，然后再考察。解：2 x4 x36x2 x 2432=(2x2) ( x x) 6x4 2 2=2(x 1) x(x 1) 6x到了這里，似乎走進(jìn)了死胡同。不用急，你再仔細(xì)看看，就會發(fā)現(xiàn)x4+1與x2+1 長得挺像，一定有某種因緣。令y x2 1,所以有 x4+1=y2-2x24這里采用換元法，x2+1看成y。原式=2y2 -xy-10x2 =( 2y 5x)(y2x)=(2x2 5x 2)(x2 2x 1)=(2x 1)(x 2 )(x 1)2對于這種對稱式多項式，為了看起來更明顯，也可以用倒數(shù)換元法，即直接提 取一個最

7、高項的次方的一半：2x4 x3 6 x2 x 22 2 1 2x (2xx 62)x x2i=x2 (2x2 + 2) (x ) 6xx12+12c然后令x=y,那么 x2 y2xx原式=x2 (2y2y 10)=x2 (2y5)(y2)=x2 (2x2 15)(x2)xx=(2 x25x 2)(x22x 1)=(2 x 1)(x 2)(x 1)2作業(yè)：(a2 a 1)(a - 6a 1) 12a2提示：看這個多項式有什么特點，然后利用這個特點就可找到路徑2 2 (x5x4)(xx2)72提示：以上要先進(jìn)行適當(dāng)變形后，才能進(jìn)行換元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：

8、一看便知，這是一個很有特色的式子。除了常數(shù)項，就只剩下x+y和xy。很容易想到，對它們工作應(yīng)該有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：這是一個輪換對稱式，將a換成b，b換成c，c換成a，結(jié)果一樣。這樣的題目，一般有(a+b) > (b+c) > (c+a)因式，但并不確定?？梢杂胊+b=0代入多項式中，如果等于0,則有這個因式。令 a+b=0 ，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0 ，因此匕 a+b=0是其一個因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次數(shù)也正好是3次，不會有其他因式了

9、解：a+b=0， (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0.由此可見，a+b是多項式的一個因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一個因式。令(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0 , b=1 , c=2 ,則得 k=1這道題也可以用主元法，一堆字母組成的多項式，一般都可以用 以某一個字母為主，其他為輔，按主字母的降序重新排列多項式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc(假設(shè)以 a 為主元)=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc=(b+c)a 2+(b+c) 2a+bc

10、(b+c)(以 a 的降序排列)=(b+c)(a 2+(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作業(yè)： x4+(x+y) 4+y4提示：這種輪換對稱，一般與x+y、xy有關(guān)。因此可以分組成x4+(x+y) 4+y4=(x 4+y 4)+(x+y) 4，又 /+丫4= ( x2+y 2)2-2 x 2y2=( x+y)2-2xy 2-2 x2y2。 16y+2x2(y+1) 2+(y-1) 2x4 (1+y) 2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成6y3-37y2z+32yz2+15z3，就遇到了如何處理37y2z的問

11、題，如何把它拆開，使它一部分同6y3，另一部分同15z3+32yz2在一起這是 要研究的。假設(shè)是Ky2z、Ly2z0現(xiàn)在考察Ly2z+32yz 2+ 15z3，不妨假設(shè)L分解成m、n，并提取負(fù)號，根據(jù)十字相乘法的原理，則有Ly2z+32yz 2+15z 3=z(my-5z)(ny+3z)，-5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，顯然，m=1 或 6 或 11，n 才有整數(shù)解，假設(shè)m=1 ,則n=7 , L=-mn=-7 ,也就是將-37y 2z拆成-7y2z和-30y2z兩部分，分成兩組，前后都可以分解，然后提取公因式。這里用了待定系數(shù)法。拆項時的以上運(yùn)算可以在稿紙

12、中進(jìn)行，無需寫入試卷。答案是(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。此題為競賽級別的題目。 2a26b2-12c2-5d2+ab -2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是數(shù)學(xué)競賽中常用的方法。該題為競賽題目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4)。07 a2(b c)b2 (c a)c2 (a b)分析：不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a= b時，原式二0，故可斷定a b是原式的一個因式，同理，b c、c a也是原式的因式。可設(shè)原式=k(a-b)(b-c)(c-a)再令 a = 0， b = 1， c= 1 代入上式，得-2=2k ， k

13、 =一 1故原式=-(a-b)(b-c)(c-a)。此題用拆項法或主元法也都很方便。作業(yè)：a3(b-c)+b 3(c-a)+c 3(a-b)提示：還有一個因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆項法也方便08 x39x? 23x 15分析：一看就知道有-1根，因為x3與23x,9x2與15 ,它們的系數(shù)和等于24,必含有32(X+1)的因式，因此很容易把x 15分組為(x3x2)+ (8x223x 15)。當(dāng)然，本題也可以用待定系數(shù)法確定 9x2如何拆。09x4x35x26x 4分析：嘗試一下1、2都不是該多項式的根，這時我們會想到，它可能沒有一次因式。 這時可用待定系數(shù)法，按兩次因式*兩次因式

14、的方式來求系數(shù)，即使每個兩次因 式還能繼續(xù)分解為一次因式，也沒有關(guān)系。我們一眼看上去就知道，-5x2聯(lián)系著前后兩個組，能夠把它分解好了，往后就 迎刃而解了。分組法也是可行的。解一：令 x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-Kx2-L x2-6x-4= x 4-x3-Kx2-(L x2+6x+4)=x4-x 3-Kx2-(mx+4 )(n x+1)根據(jù)十字相乘法的原理：4n+m=6 ，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4， m 可取 2、6、10o假如m=2 ,則n=1 , L=mn=2 , K=-3。我們可以試試是否成功。x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-3x2-2x2-

15、6x-4=x 4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4)=x 4-(x+3)x 2-(2x+4)(x+1)=x2-(2x+4)x 2+(x+1)(十字相乘法)=(x2-2x-4)(x2+x+1)這種方法，有點運(yùn)氣在里面，如果把常數(shù)項4分解為2*2則達(dá)不到目的。再回頭 用1*4表示時會浪費了不少時間。解二：2 2設(shè)原式=(x ax b)(x ex d)432整理后得=x (a e)x (ae b d)x (ad be)x bd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4，解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4。43222則 x - x - 5 x - 6 x - 4

16、 = (x x 1)(x- 2 x - 4)這道題難度較大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：對于類似這樣的多項式的分解，可利用乘法公式，將之乘以一個因式，同時除 以一個因式，然后，借助乘法公式來解決問題。 巧用除法法，這是一種特殊 方法，引用了高中的等比數(shù)列求和，在初中的考試中一般不會出現(xiàn)，但在競賽 中則有可能。. 學(xué)習(xí)參考.xT(x J""1。x 1)原式二32X - 1 (X 1)(x2 x 1)43287543=(x x x x 1)(x - x x - x x - x 1)把x3看成y就變成了 y4+y3+y2+y+1 ,這就預(yù)示著可能含有x4+x3+x2+

17、x+1因 式。需要指出的是，并不是一定含有這個式子，如x6+x3+1并沒有x2+x+1的因式， 事實上，它不能分解。這道題理論上也可以用拆項添項法，但實際上很費事，不易想到該怎么拆。綜合作業(yè)：54a -a3、a5 a 14、a5 a -1以上4題，看起來簡單，其實有點難度，項數(shù)越少，次方越高，越容易讓人 覺得無從著手，是學(xué)生們疑問較多的習(xí)題。5、6x4 ' 7x - 36x2 - 7x 6提示:(6x4 6) (7x3 7x) 36x? =6(x4 » 了匕2 一一36x2 = 6(x2 -1)2 7(x2 _1)x 24x2 二2(x2 -1) -3x 3(x2 -1) 8

18、x= (3x-1)(2x 1)(x 3)(x-2)難度較大。6、(x2 xy y2)2 -4xy(x2 y2)一 2 + 2 提示：令a x y 那么原式=(a b)2-4ba =(a-b)2 = (x2 y2-xy)2b =xy7、(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y) 2提示：用十字相乘法,先調(diào)整一下順序,x4(1-y) 2-2x2(1+y 2)+ (1+y) 22 28、2x xy15y 5x 29y12用兩種方法分解。9、 4x44x3 - 9x2 - x 2此題容易看出各項系數(shù)和為0,可按此思路分組，將-9x2進(jìn)行拆分。10、a3+ b3 + c3 3abc11、2x 3+6y 3+15z 3-9x 2y+7xy 2-x 2z-16xz 2-37y 2z+32yz 2+13xyz提示：該題為競賽題目，難度很大。根據(jù)前面的提示，難度很大時，通常都采用主元法。引用前面練習(xí)中的結(jié)果：6y3+15z3-37y2z+32yz2=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。然后再運(yùn)用待定系數(shù)法：設(shè)原式=(mx+2y-3z)(nx+y-5z)(px+3y+z)顯然m、n、p是±1、±1、±