物理奧賽輔導(dǎo)：第6講_萬有引力和天體運動

1、 第六講 萬有引力和天體運動一、知識點擊1開普勒定律第一定律（軌道定律）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動。太陽是在這些橢圓的一個焦點上。第二定律（面積定律）：對每個行星來說，太陽和行星的連線（叫矢徑）在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積?！懊娣e速度”： （為矢徑r與速度的夾角） 第三定律（周期定律）：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值相等。即：2萬有引力定律萬有引力定律：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的任何兩個質(zhì)點之間引力的大小跟這兩個質(zhì)點的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比 ， ，稱為引力常量 重力加速度的基本計算方法 設(shè)M為地球的質(zhì)量，g為地球表面

2、的重力加速度 在地球表面附近（ ）處：， 在地球上空距地心r=R+h處：， 在地球內(nèi)部跟離地心r處：， ， 3行星運動的能量 行星的動能 當(dāng)一顆質(zhì)量為m的行星以速度 繞著質(zhì)量為M的恒星做平徑為r的圓周運動： ，式中。 行星的勢能對質(zhì)量分別為M和m的兩孤立星系，取無窮遠(yuǎn)處為萬有引力勢能零點，當(dāng)m與M相距r時，其體系的引力勢能： 行星的機(jī)械能：4宇宙速度和引力場宇宙速度（相對地球） 第一宇宙速度：環(huán)繞地球運動的速度（環(huán)繞速度） 第二宇宙速度：人造天體發(fā)射到地球引力作用以外的最小速度（脫離速度）第三宇宙速度：使人造天體脫離太陽引力范圍的最小速度（逃逸速度）引力場、引力半徑與宇宙半徑對于任何一個質(zhì)量為

3、M，半徑為r的均勻球形體系都有類似于地球情況下的這兩個特征速度如果第二宇宙速度超過光速，即，則有關(guān)系在這種物體上，即使發(fā)射光也不能克服引力作用，最終一定要落回此物體上來，這就是牛頓理論的結(jié)論，近代理論有類似的結(jié)論，這種根本發(fā)不了光的物體，被稱為黑洞，這個臨界的r值被稱為引力半徑，記為用地球質(zhì)量代入，得到rg0.9 cm，設(shè)想地球全部質(zhì)量縮小到1 cm以下的小球內(nèi)，那么外界就得不到這個地球的任何光信息如果物質(zhì)均勻分布于一個半徑為r的球體內(nèi)，密度為，則總質(zhì)量為又假設(shè)半徑r正好是引力半徑，那么，得此式表示所設(shè)環(huán)境中光不可能發(fā)射到超出rg的范圍，聯(lián)想起宇宙環(huán)境的質(zhì)量密度平均值為10-29g/cm3，這

4、等于說，我們不可能把光發(fā)射到1028cm以外的空洞，這個尺度稱為宇宙半徑二、方法演練類型一、天體運動中一類應(yīng)用開普勒定律的問題，解這類問題時一定要注意運動的軌道、面積、周期，但三者之間也是有關(guān)聯(lián)的，正因為如此，解題時要特別注意“面積速度”。例1要發(fā)射一艘探測太陽的宇宙飛船，使其具有與地球相等的繞日運動周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測資料。在地球發(fā)射這一艘飛船時，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？分析與解：如示61所示，圓為地球繞日軌道，橢圓為所發(fā)射飛船的繞日軌道，S點（太陽）為此橢圓的一個焦點，因飛船與地球具有相等的繞日周期，由開普勒周期定律：可知橢圓的半長軸a=R，兩軌道的交點必為半軸頂

5、點，發(fā)射飛船時，繞日速度應(yīng)沿軌道切線方向，即與橢圓長軸平行的方向則飛船的“面積速度”為：，地球的“面積速度”為：，故： 當(dāng)繞日速度的方向不同時，其軌道的短軸b不同，但長半軸R相同，太陽為橢圓軌道的一個焦點，且發(fā)射的繞日速度大小相同例2一物體A由離地面很遠(yuǎn)處向地球下落，落至地面上時，其速度恰好等于第一宇宙速度已知地球半徑R=6400 km.若不計物體在運動中所受到的阻力，求此物體在空中運動的時間。分析和解：物體落至地面時其速度值為第一宇宙速度值，即：上式中R為地球半徑，g為地球表面處的重力加速度。設(shè)A最初離地心的距離為r，則由其下落過程中機(jī)械能守恒，應(yīng)有：且GM=gR2聯(lián)立上三式可解得：r=2R

6、物體在中心天體引力作用下做直線運動時，其速度、加速度是變化的，可以將它看繞中心天體的橢圓軌道運動，將其短軸取無限小。這就是我們通常所說的“軌道極限化”。物體A下落可以看成是沿著很狹長的橢圓軌道運行，其焦點非常接近此橢圓軌道長軸的兩端，如圖62所示，則由開普勒第一定律，得知地心為橢圓的一個焦點則橢圓長半軸為 a=R又由開普勒第三定律，物體沿橢圓軌道運行的周期和沿繞地心（軌道不計為R）的圓軌道運行的周期相等其周期為：再由開普勒第二定律得：， 類型二、天體質(zhì)量（密度）的計算問題往往是由萬有引力定律和向心力公式建立天體計算的基本方程，解題時一般要注意中心天體與運動衛(wèi)星關(guān)系的建立，同時還要注意忽略微小量

7、（次要因數(shù)）的問題，這是解決這類問題的兩個非常重要的因數(shù)。例3新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400 km，且由通常的水形成的海洋覆蓋它所有的表面，海洋的深度為10 km，學(xué)者們對該行星進(jìn)行探查時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把試驗樣品浸入行星海洋的不同深度時，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變試求此行星表面處的自由落體加速度已知萬有引力常量G=6. 67×10-11N m2/ kg2。分析和解：解本題的關(guān)鍵就在于首先要建立中心天體和運動衛(wèi)星，才能運用基本方程式求行星表面處的自由落體加速度，若把水視為運動衛(wèi)星群，則關(guān)鍵是如何求中心天體的質(zhì)量。以R表示此星球的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表面層海洋的深

8、度，R0表示除海洋外星球內(nèi)層的半徑，r表示海洋內(nèi)任一點到星球中心的距離則：，且，以水表示水的密度則此星球表面海洋水的總質(zhì)量為因R>>h，略去h高次項，得由，依題意：，即：，則將G6. 67×10-11N m2/kg2，水10×103kg/m3，R6.4 ×106 m代入得：g表=2. 7 m/s2。類型三、天體運動的能量問題要注意在軌運行的衛(wèi)星的機(jī)械能，然后利用機(jī)械能的改變及功能原理來解題，這是因為衛(wèi)星的運行軌道變化既要注意其變軌機(jī)理，又要符合能量原理。例4質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，在圓形軌道上運行運行中受到大小恒為的微弱阻力作用，以r表示衛(wèi)星軌道的平均

9、半徑，M表示地球質(zhì)量，求衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)一周的過程中：（1）軌道半徑的改變量r=？（2）衛(wèi)星動能的改變量Ek=？分析和解：因衛(wèi)星沿圓形軌道運動，則，則，則衛(wèi)星的機(jī)械能為（1） 設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量為r，則對應(yīng)機(jī)械能改變量為，根據(jù)功能原理：W=E，即，負(fù)號表示軌道半徑減小。（2）衛(wèi)星動能的改變量為：類型四、天體運動的宇宙速度問題實質(zhì)上就是兩個問題：一個是擺脫引力場所需要的能量的問題；一個是能量的來源問題。而能量要么來源于燃料，要么來源于碰撞。例5宇宙飛行器和小行星都繞太陽在同一平面內(nèi)做圓周運動，飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量小很多，飛行器的速率為，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍。有人企圖借

10、助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽系，于是他便設(shè)計了如下方案：當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時，突然點燃飛行器上的噴氣發(fā)動機(jī)，經(jīng)過極短時間后立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開圓軌道；飛行器到達(dá)小行星的軌道時正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰。不計燃燒的燃料質(zhì)量（1）試通過計算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽系（2）設(shè)在上述方案中，飛行器從發(fā)動機(jī)取得的能量為E1如果不采取上述方案而令飛行器在圓軌道上突然點燃噴氣發(fā)動機(jī)，經(jīng)過極短時間后立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)，以使飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線

11、方向離開圓軌道后能直接飛出太陽系采用這種辦法時飛行器從發(fā)動機(jī)取得的能量的最小值用E2表示問為多少？分析和解：(1)設(shè)太陽的質(zhì)量為M0，飛行器的質(zhì)量為m，飛行器繞太陽做圓周運動的軌道半徑為R。根據(jù)所設(shè)計的方案，可知飛行器是從其原來的圓軌道上某處出發(fā)，沿著半個橢圓軌道到達(dá)小行星軌道上的該橢圓既與飛行器原來的圓軌道相切，又與小行星的圓軌道相切要使飛行器沿此橢圓軌道運動，應(yīng)點燃發(fā)動機(jī)使飛行器的速度在極短時間內(nèi)，由變?yōu)槟骋恢祏0設(shè)飛行器沿橢圓軌道到達(dá)小行星軌道時的速度為u,因為大小為u0和u的這兩個速度的方向都與橢圓的長軸垂直，由開普勒第二定律可得u0 R= 6 Ur （1）由能量關(guān)系，有 （2）由萬有

12、引力定律，有，或 （3）解（1）（2）（3）三式得 （4）， （5）設(shè)小行星繞太陽運動的速度為V，小行星的質(zhì)量為M，由萬有引力定律，得 （6）可以看出V>u （7）由此可見，只要選擇好飛行器在圓軌道上合適的位置離開圓軌道，使得它到達(dá)小行星軌道處時，小行星的前緣也正好運動到該處，則飛行器就能被小行星撞擊?？梢园研⌒行强醋魇窍鄬o止的，飛行器以相對速度 射向小行星，由于小行星的的質(zhì)量比飛行器的質(zhì)量大得多，碰撞后，飛行器以同樣的速度彈回，即碰撞后，飛行器對小行星的速度的大小為，方向與小行星的速度的方向相同，故飛行器相對太陽的速度為或?qū)ⅲ?）（6）式代入得 （8）如果飛行器能從小行星的軌道上直接

13、飛出太陽系，它應(yīng)具有的最小速度為u2，則有得 （9）可以看出 （10）飛行器被小行星撞擊后具有的速度足以保證它能飛出太陽系（2） 為使飛行器能進(jìn)人橢圓軌道，發(fā)動機(jī)應(yīng)使飛行器的速度由增加到u0，飛行器從發(fā)動機(jī)取得的能量（3） （11）若飛行器從其圓周軌道上直接飛出太陽系，飛行器應(yīng)具有最小速度為u3，則有由此得 （12）飛行器的速度由增加到u3，應(yīng)從發(fā)動機(jī)獲取的能量為 （13）所以 （14）類型五、天體運動的宇宙速度問題實質(zhì)上就是兩個問題：一個是擺脫引力場所需要的能量的問題；一個是能量的來源問題。而能量要么來源于燃料，要么來源于碰撞。例7經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)

14、，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點作圓周運動（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T計算；（2）若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，,且T觀測T計算=1（Nl），為了解釋T觀測與T計算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗 物質(zhì)，作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均這種暗物質(zhì)，而不考慮其

15、他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度解.（1）雙星均繞它們的連線的中點作圓周運動，設(shè)運動速度為，向心加速度滿淀下面的方程 周期 (2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期 這說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意，這一作用來源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量M'、位于中點處的質(zhì)點相同，考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度，現(xiàn)有 因為在軌道一定時，周期和速度成反比，由式得 把式代入式得 設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有故 三、小試身手1質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星

16、，繞半徑為r0的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為M，試求（1）衛(wèi)星的總機(jī)械能（2）若衛(wèi)星受微弱摩擦阻力(常量)，則將緩慢地沿一螺旋軌道接近地球，因很小，軌道半例徑變化非常緩慢，每周旋轉(zhuǎn)可近似按半徑為r的圓軌道處理，但r將逐周縮短，在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周r的改變量r是多少（3）在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周衛(wèi)星動能的改變量是多少2一個飛行器被發(fā)射到一個圍饒?zhí)柕臋E圓軌道上，以地球軌道為近日點，而以火星軌道為遠(yuǎn)日點，如圖63所示，已知地球至太陽的距離為R1，火星至太陽的距離為R2（1）求軌道方程的參數(shù)和值；（2）利用開普勒第三定律計算沿此軌道到達(dá)火星軌道所需時間3地球m繞太陽M（固定）作橢圓運動，已知軌道半長軸為A，半短軸

17、為B，如圖6一4所示，試求地球在橢圓各頂點1、2、3的運動速度的大小及其曲率半徑4要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r2的預(yù)定軌道上繞地球作勻速圓周運動，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r1的近地暫行軌道上繞地球作勻速圓周運動。如圖65所示，在A點，實際使衛(wèi)星速度增加，從而使衛(wèi)星進(jìn)入一個橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點B時，再次改變衛(wèi)星速度，使它進(jìn)入預(yù)定軌道運行，試求衛(wèi)星從A點到達(dá)B點所需的時間，設(shè)萬有引力恒量為G，地球質(zhì)量為M5宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運動，火星半徑為R，今設(shè)飛船在極短時間內(nèi)向外側(cè)點噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原速度的倍，因量很小，所以飛船新軌道不

18、會與火星表面交會如圖6一6，飛船噴氣質(zhì)量可忽略不計（1）試求飛船新軌道的近火星點的高度和遠(yuǎn)火星點高度，（2）設(shè)飛船原來的運動速度，試計算新軌道的運行周期T.6質(zhì)量為m的登月器連接在質(zhì)量為M（=2m）的航天飛機(jī)上一起繞月球作圓周運動，其軌道半徑是月球半徑Rm的3倍，某一時刻，將登月器相對航天飛機(jī)向運動反方向射出后，登月器仍沿原方向運動，并沿圖6一7所示的橢圓軌道登上月球表面，在月球表面逗留一段時間后，經(jīng)快速發(fā)動沿原橢圓軌道回到脫離點與航天飛機(jī)實現(xiàn)對接，試求登月器在月球表面可逗留多長時間？已知月球表面的重力加速度為gm=1.62m/s2，月球的半徑。7從赤道上的C點發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O

19、點N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量E與橢圓半長軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量. （1）假定地球沒有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點C的連線之間的夾角表示).（2）若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？（3）試導(dǎo)出.參考解答1解：（1）因人造地球衛(wèi)星沿圓形軌道運動，則，則，則衛(wèi)星的機(jī)械能為（2） 設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量為r，則對應(yīng)機(jī)械能改變量為，根據(jù)功能原理：W=E，即，負(fù)號表示軌道半徑減小。（3）衛(wèi)星動能的改變量為：2解：（1）在

20、近日點處，橢圓軌道方程中的=0，即 在遠(yuǎn)日點處即 均式解得：，（2）根據(jù)開普勒第三定律，（常數(shù)）地球繞太陽的運行周期T1（=1年），設(shè)飛行器運行的周期為T，則即因此該飛行器沿此軌道運行到火星軌道所需時間為。3解：對頂點1、2，由機(jī)械能守恒定律有 根據(jù)開普勒第二定律有 式中由式解得由萬有引力提供向心力得 解得對頂點3，由機(jī)械能守恒得將代入得同樣可得4解：以V表示衛(wèi)星的速度，當(dāng)衛(wèi)星在暫行軌道上經(jīng)過近地點A和遠(yuǎn)地點B時V與r垂直，根據(jù)并普勒第二定律，有衛(wèi)星在暫行軌道上總機(jī)械能守恒，解得，衛(wèi)星的面積速度為橢圓的面積為，其中，因此周期為從A到B點所需時間t為5解：設(shè)火星和飛船的質(zhì)量分別為M和m，飛船沿橢

21、圓軌道運行時，飛船在最近點或最遠(yuǎn)點與火星中心的距離為r，飛船速度為因飛船噴氣前繞圓軌道的面積速度為。等于噴氣后飛船繞橢圓軌道在P點的面積速度（P點為圓和橢圓的交點），由開普勒第二定律，后者又應(yīng)等于飛船在近、遠(yuǎn)火星點的面積速度，故，即由機(jī)械能守恒定律有飛船沿原圓軌道運動時，有式中，r=Rh上述三個方程消去G、M、后可解得關(guān)于r的方程為上式有兩個解，大者為，小者為，故近、遠(yuǎn)火星點距火星表面的高度為 ，(2)設(shè)橢圓軌道的半長軸為 ，即飛船噴氣前繞圓軌道運行的周期為，設(shè)飛船噴氣后，繞橢圓軌道運行的周期為T，由開普勒第三定律有故，即。6解：設(shè)脫離前登月器與航天飛機(jī)一起繞月球運動的速度為V0，有，得其運動

22、周期 式中Mm為月球的質(zhì)量，而月球表面的重力加速度，故因而式中設(shè)登月器與航天飛機(jī)脫離后兩者的的速度分別為V1和V2，由動量守恒可得 此后兩者沿不同的橢圓軌道運動，設(shè)登月器運動到月球表面時的速度為，則由機(jī)械能守恒得 由開普勒第二定律 由可得， 將代入得， 設(shè)航天飛機(jī)運動到離月球最遠(yuǎn)處與月球的距離為，速度為，同樣可得類似于式的方程 由式可解得故航天飛機(jī)運動軌道的半長軸為 由題意知，登月器為能沿原軌道返回脫離點與航天飛機(jī)實現(xiàn)對接，則它在月球上可逗留的時間應(yīng)是 式中與分別為航天飛機(jī)與登月器運動周期，由開普勒第三定律，得，將兩式代入式，得 上式即為登月器在月球表面可逗留的時間，最短時間為11.5 h.7解：（1）這是一個大尺度運動，導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運動.如果導(dǎo)彈能打到N點，則此橢圓一定位于過地心O、北極點N和赤道上的發(fā)射點C組成的平面(此平面是C點所在的子午面)內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度(初速度v)必須也在此平面內(nèi)，地心O是橢圓的一個焦點.根據(jù)對稱性，注意到橢圓上的C、N兩點到焦點O的距離相等，故所考察橢圓的長軸是過O點垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點必在AB上.已知質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的地球的引力作用下作橢圓運動時，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量E(無窮遠(yuǎn)作為引力勢能的零點)