定積分的計算方法

1、定積分的計算方法PERSONAL RESUMEUP system office roomLGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LG162定積分的計算方法摘要定積分是積分學(xué)中的一個基本問題，計算方法有很多，常用的訃算方法有四 種：(1)定義法、(2)牛頓一萊布尼茨公式、(3)定積分的分部積分法、(4) 定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定 積分計算方法，并在系統(tǒng)總結(jié)中簡化計算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。 關(guān)鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法Calculation method of definite integralAbstractthe i

2、ntegral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summ

3、arized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skillsKey words：definite integral , definition method, Newton - Leibniz, substitute method目錄目錄21緒論3定積分的定義3定積分的性質(zhì)42常用計算方法5定義法5牛頓-萊布尼茨公式6定積分的分部積分法7定積分的換元積分法73簡化計算方法9含參變量的積分9有理積分和可化為有理積分的積分104總結(jié)12致謝13參考文獻(xiàn)13

4、1緒論定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間a, b中圖線下包囤的而積，如圖所示。即由y二0, x二a, x二b,尸f (X)所國成圖形的而積兀。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù),將區(qū)間a, b分成n個子區(qū)間&, xj, (x“ x：, (x：, x,， (Xn-“xJ，其中 x(Fa, x二b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：xfxi-Xo, x=x=-x“ ，xfxs1 -x“ 在 每個子區(qū)間(xi-i, XiJ中任取一點(diǎn)J (1,2, .,n),作和式設(shè)XmaxlAx：, 氐，Axn(即X是最大的區(qū)間長度)，則當(dāng)入一0時，該和式無限接 近于某

5、個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b的定積分，記為其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函 數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，J叫做積分號。之所以稱其為泄積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確左的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。根據(jù)上述左義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積分，則有n等分的特殊分法：特別注意，根據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng)a, b區(qū)間恰好為0,1區(qū)間時，貝IJO,1區(qū)間枳分表達(dá)式為：定積分的性質(zhì)性質(zhì) 1J：/(x)±g(x)x =土性質(zhì) 2 hkfx)dx =町為常數(shù))性質(zhì) 3 假設(shè) a<b<c f(x)d

6、x = f(x)dx+f(x)dx性質(zhì)4如果在區(qū)間"/上，恒有_/3<g(x),則Jf(x)dx<g(x)dx性質(zhì)5如果在區(qū)間"“上，/«>0,則fZ7(xXv>0. (a<b)J a性質(zhì)6設(shè)m及?分別是函數(shù)/在區(qū)間a切上的最大值及最小值,則mb-Jf(x)dx< M(b-a) , (a < b)此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍。性質(zhì)7若f(x)在a,b上可積，則丨f(x) |在a, b上也可積，性質(zhì)8 (積分第一中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，&(廠在8,1)上可積，且在 a,b上不變號，則在a, b上至

7、少存在一點(diǎn)E,使得：2常用計算方法定義法肚枳分的左義法計算是運(yùn)用極限的思想,簡單的來說就是分割求和取極限。以Z=£/(xXv為 例：任意分割，任意選取芻作積分和再取極限。任意分割任意取乞所訃算岀的I值如果全部相同的 話，則定枳分存在。如果在某種分法或者某種盒的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者乞的 取法下計算岀來的值不相同，那么則說左積分不存在。如果在不知道左積分是否存在的情況下用宦 義法計算定積分是相當(dāng)困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取乞。但是如果根據(jù)上述三類可積函 數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作匕/升的特殊分法，選取特殊的 冬，計算出定積分。第一

8、步：分割.將區(qū)間S，列分成n個小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式。力=弓，那么分割點(diǎn)的坐標(biāo)為 (°,0), (« + /?,0), (« + 2/?,0) (0 + (八一1)九0), (b,0),乞在氐十耳任意選取，但是我 們在做題過程中會選取特殊的乞，即左端點(diǎn)，右端點(diǎn)或者中點(diǎn)。經(jīng)過分割將曲邊梯形分成n個小曲 邊梯形。我們近似的看作是n個小長方形。第二步：求和.計算n個小長方形的面積之和，也就是工f (生M °*=1第三步：取極限.心燭歲燭羅G) ,力tO即“TOC,也就是說分的越細(xì)，那么小曲 ak=l邊梯形就越接近小長方形，當(dāng)n趨于無窮之時，小曲邊梯形

9、也就是小長方形，那么小長方形的面積 和即為曲邊梯形的而積，也就是左積分的積分值。例1、用泄義法求泄積分xdx o解：因?yàn)?(x) = x在0,1連續(xù)所以/(x) = x在0,1可積/ ； 1-0 令力=-ni將0,1等分成1n個小區(qū)間，分點(diǎn)的坐標(biāo)依次為0<h<2hv5 = l取乞是小區(qū)間仗一 1)九肋的右端點(diǎn)，即気=冊于是所以， xdx =-Ju 2牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式很好的把圧積分與不泄積分聯(lián)系在一起。利用此公式，可以根據(jù)不圧積分的 訃算計算出左積分。這個公式要求函數(shù)/(兀)在區(qū)間匕切內(nèi)必須連續(xù)。求連續(xù)函數(shù)/(兀)的定積分 只需求出/(兀)的一個原函數(shù)，再按照公式

10、計算即可。泄理：若函數(shù)/(兀)在區(qū)間么列連續(xù)，且F(x)是/(%)的原函數(shù)，貝J(f(x)dx = Fb)-F(a)。*證明：因?yàn)镕(x)是/的原函數(shù)，即有尸(切=/(朗積分上限函數(shù)/(小也是/(x)的原函數(shù)所以(£7(/) Jr) =/(x)所以ch - F(x) = C令 x = a 有 £7(/)/ 一 F(d) = C 即 C = -F(a)再令 x = b 有 f f (x)dx = F(b) - F(a)我們知逍，不定積分與泄積分是互不相關(guān)的，獨(dú)立的。但是在連續(xù)的條件下，微積分基本宦理 把這兩個互不相關(guān)的概念聯(lián)系起來，這不僅給泄積分的汁算帶來極大的方便，在理論上

11、把微分學(xué)與 積分學(xué)溝通起來，這是數(shù)學(xué)分析的卓越成果，有著重大的意義。例1、用牛頓萊布尼茨公式計算左積分疋山。1 1 1解：原式二一/ =-2 o 2同樣的一道題目，用牛頓-萊布尼茨公式明顯比宦義法簡單，容易計算。定積分的分部積分法公式：函數(shù)0心)，v(,r)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則£ uMdv(x) = w(x)v(x)| -£ v(x)Jz/(a)證明：因?yàn)?lt;心)，u(x)在%列有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)所以M(X)V(X) =M(X)V(X)+V(X)W(X)所以咻)="(x)咻)|； =£ «U)V(X)+ v(x)w (x)t/x = w(x)v(x)|

12、即 J u(x)v (xlx = u(x)v(x) v(x)u(A>/x或 J= "(x»(x)|： - J v(x)du(x)例1、求定積分lnxdx。作” in xdx = x In x xd In x = 2 In 2 - 0 - x|' = 2 In 2 -1定積分的換元積分法應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求立積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計算。一般情況 下，把這兩步截然分開是比較麻煩的，通常在應(yīng)用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相應(yīng)交換積分的 上下限，這樣可以簡化計算。公式：若函數(shù)/(X)在區(qū)間億切連續(xù)，且函數(shù)x = g在q,0有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a<

13、;t<p時，有a<(p(t)<b貝ij：證明：£ f(x)dx = F(x)|； = F(b) - F(a)即 £/(%xv=這個公式有兩種用法：(1) 、若計算£/(a)ja- 、選取合適的變換x = ©(/)，由a,b通過”=似/), a =娜分別解出積分限“與&： 、把 x =(pt)代入 £ /(x)x 得到 J；(t)dt: 、計算.例1、計算泄積分J(: >ja2-x2dx。解：設(shè) x = asint 有 dx = acostdtx = 0時，/ = 0； x = a 時，t =2(2) 、計算匸g(

14、/M，其中曲)=/滋)必) 、把g湊成f(p<t)(p(t)的形式: 、檢査x =(p(t)是否連續(xù)； 、根據(jù)&與0通過x =求出左邊的積分限a, b： 、計算.例2、計算左積分/。解：令 j5-4f = x ,貝 i”= , dt = - xdx42當(dāng)/ = 一1 時.x = 3：當(dāng)/ = 1 時，x = 所以原式二丄(一 + x)dx = _丄=14總結(jié)立積分計算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析左積分的幾種計算方法，來體現(xiàn)左積分的訃算。泄積分的汁算類型很多，要熟練地進(jìn)行定積分的各種運(yùn)算，就要對立積分的運(yùn)算技巧不斷熟 悉和掌握。其實(shí)，在實(shí)際計算中，遇到的題目不一樣，用的計算方法也不一樣。左義法一般不常 用，計算起來比較困難，所以一般不會用定義法計算。常用的就是英他三種，即牛頓-萊布尼茨公 式.分部枳分法和換元積分法。致謝在老師的悉心指導(dǎo)下我完成了這篇關(guān)于定積分的訃算方法的論文，感謝老師以以其 嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的教學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)精神和孜孜以求的工作作風(fēng)