專題二 規(guī)律探索型問題

1、數(shù)學(xué)專題二規(guī)律探索型問題規(guī)律探索型問題也是歸納猜想型問題，其特點(diǎn)是：給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論類型有“數(shù)字規(guī)律”“數(shù)式規(guī)律”“圖形規(guī)律”等題型1數(shù)字猜想型：數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題2數(shù)式規(guī)律型：數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容3圖形規(guī)律型：圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)

2、的算式描述其中的規(guī)律，要注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合4數(shù)形結(jié)合猜想型：數(shù)形結(jié)合猜想型問題首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決相關(guān)問題1解數(shù)字或數(shù)式規(guī)律探索題的方法：第一步：標(biāo)序號(hào)；第二步：找規(guī)律，分別比較各部分與序號(hào)數(shù)(1，2，3，4，n)之間的關(guān)系，把其蘊(yùn)含的規(guī)律用含序號(hào)數(shù)的式子表示出來；第三步：根據(jù)找出的規(guī)律表示出第n個(gè)數(shù)式2解圖形規(guī)律探索題的方法：第一步：標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”；第二步：數(shù)圖形個(gè)數(shù)：在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記出每組圖形的表示個(gè)數(shù)；第三步：尋找圖形數(shù)量

3、與序號(hào)數(shù)n的關(guān)系：針對(duì)尋找第n個(gè)圖形表示的數(shù)量時(shí)，先將后一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行比對(duì)，通常作差(商)來觀察是否有恒定量的變化，然后按照定量變化推導(dǎo)出第n個(gè)圖形的個(gè)數(shù)；函數(shù)法：若當(dāng)圖形變化規(guī)律不明顯時(shí)，可把序號(hào)數(shù)n看作自變量，把第n個(gè)圖形的個(gè)數(shù)看作函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為yan2bnc(初中階段設(shè)二次函數(shù)完全可以解決)，再代入三組數(shù)值進(jìn)行計(jì)算出函數(shù)解析式(若算出a0就是一次函數(shù))即可AB(45，12)3(2014東營)將自然數(shù)按以下規(guī)律排列：表中數(shù)2在第二行第一列，與有序數(shù)對(duì)(2，1)對(duì)應(yīng)，數(shù)5與(1，3)對(duì)應(yīng)，數(shù)14與(3，4)對(duì)應(yīng)，根據(jù)這一規(guī)律，數(shù)2014對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)為_解析：由已

4、知可得：根據(jù)第一列的奇數(shù)行的數(shù)的規(guī)律是第幾行就是那個(gè)數(shù)平方，第一行的偶數(shù)列的數(shù)的規(guī)律，與奇數(shù)行規(guī)律相同；45452025，2014在第45行，向右依次減小，2014所在的位置是第45行，第12列，其坐標(biāo)為(45，12)4(2014內(nèi)江)如圖，將若干個(gè)正三角形、正方形和圓按一定規(guī)律從左向右排列，那么第2014個(gè)圖形是_解析：由圖形看出去掉開頭的兩個(gè)三角形，剩下的由三個(gè)正方形，一個(gè)三角形，兩個(gè)圓6個(gè)圖形為一組，不斷循環(huán)出現(xiàn)，(20142)63352所以第2014個(gè)圖形是與循環(huán)的第二個(gè)圖形相同是正方形故答案為：5(2014孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如圖的方式放

5、置點(diǎn)A1，A2，A3，和點(diǎn)C1，C2，C3，分別在直線yx1和x軸上，則點(diǎn)B6的坐標(biāo)是_(63，32)解析：直線yx1，x0時(shí)，y1，A1B11，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(3，2)，A1的縱坐標(biāo)是：120，A1的橫坐標(biāo)是：0201，A2的縱坐標(biāo)是：1121，A2的橫坐標(biāo)是：1211，A3的縱坐標(biāo)是：22422，A3的橫坐標(biāo)是：123221，A4的縱坐標(biāo)是：44823，A4的橫坐標(biāo)是：1247231，即點(diǎn)A4的坐標(biāo)為(7，8)據(jù)此可以得到An的縱坐標(biāo)是：2n1，橫坐標(biāo)是：2n11.即點(diǎn)An的坐標(biāo)為(2n11，2n1)點(diǎn)A6的坐標(biāo)為(251，25)點(diǎn)B6的坐標(biāo)是：(261，25)即(63，32)數(shù)字猜想型問

6、題50【例1】(2015黔東南州)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，根據(jù)上述排列規(guī)律，數(shù)陣中第10行從左至右的第5個(gè)數(shù)是_【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況數(shù)式規(guī)律型問題【例2】(2014揚(yáng)州)設(shè)a1，a2，a2014是從1，0，1這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若a1a2a201469，(a11)2(a21)2(a20141)24001，則a1，a2，a2014中為0的個(gè)數(shù)是_165【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是對(duì)給出的式子進(jìn)行正確的變形對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2(2015咸寧)古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)

7、律性若把第一個(gè)三角數(shù)記為a1，第二個(gè)三角數(shù)記為a2，第n個(gè)三角數(shù)記為an，計(jì)算a1a2，a2a3，a3a4，由此推算a399a400_1.6105或160000圖形規(guī)律型問題【例3】(2015深圳)觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第5個(gè)圖形有_個(gè)太陽21【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題485對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3(1)(2014深圳)如圖，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第5個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)有_解析：第一個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為5，第二個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為53217，第三個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為173253，第四個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為

8、5332161，第五個(gè)圖形正三角形的個(gè)數(shù)為16132485.故答案為：4852n(n1)(2)(2015內(nèi)江)如圖是由火柴棒搭成的幾何圖案，則第n個(gè)圖案中有_根火柴棒(用含n的代數(shù)式表示)數(shù)形結(jié)合猜想型問題a 17.5 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是能夠仔細(xì)讀題，找到圖形內(nèi)和圖形外格點(diǎn)的數(shù)目對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4在由mn(mn1)個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對(duì)角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù)f.(1)當(dāng)m，n互質(zhì)(m，n除1外無其他公因數(shù))時(shí)，觀察下列圖形并完成下表：猜想：當(dāng)m，n互質(zhì)時(shí)，在mn的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù)f與m，n的關(guān)系式是(不需要證明)(2)當(dāng)m

9、，n不互質(zhì)時(shí)，請(qǐng)畫圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立解：(1)如表：fmn1 (2)當(dāng)m，n不互質(zhì)時(shí)，上述結(jié)論不成立，如圖 試題(1)下圖是在正方形網(wǎng)格中按規(guī)律填成的陰影，根據(jù)此規(guī)律，則第n個(gè)圖中陰影部分小正方形的個(gè)數(shù)是_(2)如圖，第個(gè)圖有2個(gè)相同的小正方形，第個(gè)圖有6個(gè)相同的小正方形，第個(gè)圖有12個(gè)相同的小正方形，第個(gè)圖有20個(gè)相同的小正方形，按此規(guī)律，那么第個(gè)圖有_個(gè)相同的小正方形(3)如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形由_個(gè)圓組成審題視角探索數(shù)量規(guī)律題可以檢驗(yàn)同學(xué)們觀察圖形的變化規(guī)律，并從中

10、找出其數(shù)量關(guān)系的能力，由于沒有現(xiàn)成的公式、定理可以套用，對(duì)初中生而言，有一定的難度但只要了解一些數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，加上一些常用的分析方法，解決這類問題也是比較容易的規(guī)范答題解析(1)根據(jù)每一個(gè)圖形都是一個(gè)正方形和右邊的一個(gè)矩形構(gòu)成，得到左邊的正方形中小正方形的個(gè)數(shù)和右邊的矩形中的小正方形的個(gè)數(shù)的和即可仔細(xì)觀察圖形知道：每一個(gè)陰影部分由左邊的正方形和右邊的矩形構(gòu)成，分別為：第1個(gè)圖有：13個(gè)；第2個(gè)圖有：44個(gè)；第3個(gè)圖有：95個(gè)；故第n個(gè)圖有：n2(n2)個(gè)(2)觀察不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)等于圖形序號(hào)乘以比序號(hào)大1的數(shù)，根據(jù)此規(guī)律解答即可第個(gè)圖有2個(gè)相同的小正方形：212；第個(gè)圖有6

11、個(gè)相同的小正方形：623；第個(gè)圖有12個(gè)相同的小正方形：1234；第個(gè)圖有20個(gè)相同的小正方形：2045；按此規(guī)律，第個(gè)圖有n(n1)個(gè)相同的小正方形(3)首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案觀察分析可得：第1個(gè)圖有1個(gè)圓；第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，716；第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，191626；故第9個(gè)圖由162636861(1238)6217(個(gè))圓組成答題思路第一步：審題，仔細(xì)觀察圖形并找到相應(yīng)的規(guī)律；第二步：化形為數(shù)，相當(dāng)于找出數(shù)列的前若干項(xiàng)；第三步：考察相鄰兩項(xiàng)的差異，再根據(jù)這些項(xiàng)或項(xiàng)中某些部分(如分子、分母，整數(shù)、分?jǐn)?shù)等)構(gòu)成何種數(shù)列；第四步：按題中要求寫出某一項(xiàng)的結(jié)果或某些項(xiàng)的和能找到前三項(xiàng)，就能求出任一項(xiàng)；另外，有些圖形或數(shù)的出現(xiàn)是循環(huán)出現(xiàn)或按某種規(guī)律反復(fù)出現(xiàn)等，就需要具體問題具體分析了；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟試題(2014德陽)如圖，直線ab，ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線a上，邊BC在直線b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC(如圖)；繼續(xù)以上的平移得到圖，再繼續(xù)以上的平移得到圖，；請(qǐng)問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是_錯(cuò)解301依題意可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)，第2個(gè)圖形中大等邊三