第三節(jié)二元函數(shù)的連續(xù)性

1、第十六章第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)3 二元函數(shù)的連續(xù)性一 二元函數(shù)的連續(xù)性概念 連續(xù)性的定義 f2RD DP 00PD0DPP,00 0PfPffD0P定義 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，（為的一個(gè)聚點(diǎn)或孤立點(diǎn)），總存在，使得當(dāng)時(shí)， 都有則稱關(guān)于在點(diǎn)連續(xù).若任給正數(shù)f0P在不致誤解的情況下，也稱在點(diǎn)連續(xù).),(yxffDDfD0PDfD0P)()(lim00PfPfDPPP函數(shù)若在上任何點(diǎn)都關(guān)于集合連續(xù)，則稱為若為的一個(gè)聚點(diǎn)，則關(guān)于在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于 有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).上的連續(xù)函數(shù).記為記為 f C (D).0PD)()(lim00PfPfDPPP0Pf)(lim0PfD

2、PPP)(0Pf0Pf若為的一個(gè)聚點(diǎn)，但不成立，則稱為的不連續(xù)點(diǎn)(或稱存在但不等于時(shí), 是的可去間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)). 特別當(dāng)).0 , 0(),( , 0),0 , 0(),( ,),(2222yxyxyxyxxyyxf0, 0例如 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).)0, 0(),(10,),(),(),(222yxmmxmxyyxyxyxxyyxf0, 0mxy m20)0, 0(),(1),(lim),(limmmmxxfyxfxmxyyx)0 , 0(f),(yxf0, 0mxy 在點(diǎn)沿方向連續(xù)，其中這是由于所以函數(shù)在點(diǎn)沿方向是連續(xù)的. 為固定實(shí)數(shù).1 ( , )sin0f x yxyxyxy在直線上每一

3、點(diǎn)都間斷.2 函數(shù)的增量、 全增量、全增量、 偏增量偏增量 ),(000yxP),(yxPD0 xxx0yyy),(),(),(0000yxfyxfyxfz),(),(0000yxfyyxxf),(yxf),(000yxP設(shè)則稱 為函數(shù)在點(diǎn)的全增量.0 x0y),(),(),(000000yxfyxxfyxfx),(),(),(000000yxfyyxfyxfy如果在全增量中取或則相應(yīng)的函數(shù)的增量稱為偏增量.記作 一般來說，函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增量之和. 0lim,0, 0,zDyxyxfD0P和一元函數(shù)一樣，可用增量形式來描述連續(xù)性，時(shí)，函數(shù)關(guān)于在點(diǎn)連續(xù). 3 用增量定義函數(shù)的連

4、續(xù)性即 當(dāng)000lim(,)0 xxf xy f0yy0( ,)f x yx0 x000lim(,)0 xyf xy 0(, )f xyy0y若一個(gè)偏增量的極限為零，例如它表示在的兩個(gè)自變量中，當(dāng)固定時(shí)，作為的一元函數(shù)在連續(xù).，則表示作為的一元函數(shù)在連續(xù). 同理，若f00(,)xy0( ,)f x y0 x0(, )f xy0y容易證明：當(dāng)在其定義域的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)時(shí)，在和在都連續(xù).但反過來，二元函數(shù)對(duì)單個(gè)自變量都連續(xù)并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性. 0001),(xyxyyxf0, 0例如函數(shù) 在點(diǎn)處顯然不連續(xù). 0)0 ,(), 0(xfyf0, 0),(yxfxy但由于,因此在點(diǎn)處對(duì)和對(duì)分別都連續(xù).

5、 4 一般區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) fa0)(afa a ax0)(xf（1）若在點(diǎn)連續(xù)，并且則存在點(diǎn)的鄰域，當(dāng)時(shí),有（2）兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為零）都是連續(xù)函數(shù) .（3）（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性） D2RDyxP),(000yxu,yxv,DyxP),(000vuf,uv),(000vuQ),(000vuQ000, yxu000, yxvyxyxfyxg,DyxP),(000定理16.7 設(shè)是中的開集，函數(shù)和在點(diǎn)連續(xù).又設(shè)函數(shù)在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并在連續(xù),其中.則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也連續(xù).多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)

6、經(jīng)過有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表 示的多元函數(shù)叫示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例例1 1 求極限求極限 .lim21xyyxyx xyyxyxf ),(解解是多元初等函數(shù)。是多元初等函數(shù)。定義域：定義域：.0 , 0 | ),( yxyxD0 , 0 | ),()2 , 1( 1 yxyxD點(diǎn)點(diǎn).D 于是，于是， xyyxyx21lim2121 .23 （不連通）（不

7、連通）在在定義區(qū)域內(nèi)的定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定義區(qū)域定義區(qū)域 PPfPfPP例例2 2.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00定義在區(qū)域 D 上的二元連續(xù)函數(shù)z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片沒有 空洞, 沒有 裂縫 的連續(xù)曲面.這里條件 D 是一區(qū)域 是必要的. 若D不是區(qū)域, z = f (X)可能不是通常意義下的連續(xù)曲面.二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義例例. 設(shè) D = (x, y) |

8、x, y 均為有理數(shù) R2. z =f (x, y)是定義在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在別的點(diǎn)上無定義的函數(shù),即f (x, y) = 1, 當(dāng)(x, y) D時(shí),無定義, 當(dāng)(x, y) D時(shí). 如圖xyzo1可知, (x0, y0) D,),(1),(lim0000yxfyxfyyxx但曲面z = f (x, y)不是通常意義下的連續(xù)曲面.二 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ),(yxf2RD ),(yxfD定理16.8 (有界性與最大、最小值定理)在有界閉區(qū)域上連續(xù),則在上有界,且能取得最大值與最小值. (1) 有界性與最值性.若函數(shù)),(yxf2RD ),(yxfD0PQ),(QP

9、)()(QfPf若函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),則在 即對(duì)任何,總存在只依賴于的正數(shù),使得對(duì)一切點(diǎn)，只要就有 (2) 一致連續(xù)性定理16.9 (一致連續(xù)性定理)上一致連續(xù).),(yxf2RD 1P2PD)()(21PfPf)()(21PfPfDP 0)(0Pf在有界閉區(qū)域上連續(xù),若和為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且則對(duì)任何滿足不等式的實(shí)數(shù)，必存在點(diǎn)，使得. 16.10 定理 (介值性定理)設(shè)函數(shù)（3）介值性與零點(diǎn)定理 ),(yxf2RD 1P2PD12( )0()f Pf PDP 00()0f P在有界閉區(qū)域上連續(xù),若和為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且必存在點(diǎn)，使得. （零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)P.105 習(xí)題 66. 若 在某一區(qū)域 內(nèi)對(duì)變量 為連續(xù)，對(duì)變量 滿足李普希茲條件，即對(duì)任何有其中 為常數(shù)，則此函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)。),(yxfxyGyxGyx ),( ,),(| ),(),(|yyLyxfyxf GGL證明證明因?yàn)?對(duì)變量 連續(xù)，所以),(yxfx, 0, 01使得當(dāng)10|xx2| ),(),(|0yxfyxf取2,min1L當(dāng) 時(shí)，| ,|00yyxx時(shí)，LLLyyLyxfyxfyxfyxfyxfy