控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性

1、 穩(wěn)定性指控制系統(tǒng)在外作用消失后自動恢復原有平衡狀態(tài)或自動地趨向于一個新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。 如果系統(tǒng)不能恢復穩(wěn)定狀態(tài)，則認為系統(tǒng)不穩(wěn)定。FFmabcde單擺系統(tǒng)穩(wěn)定倒擺系統(tǒng)不穩(wěn)定設線性控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為nnnnnmmmmmasasasasabsbsbsbsbsG122110122110)(閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為0122110nnnnnasasasasa特征方程式的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。 不穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨 界穩(wěn) 定穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)s 平 面j 系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部分布在s平面的左半平面； 系統(tǒng)不穩(wěn)定，至少有一個極點分布在s平面的右半平面； 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在s平面上的右半平

2、面無極點，至少有一個極點在虛軸上。 一一. 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件假設特征方程為0122110nnnnnasasasasa根據(jù)代數(shù)理論中韋達定理所指出的方程根和系數(shù)的關(guān)系可知，為使系統(tǒng)特征方程的根都為負實部，其必要條件：特征方程的各項系數(shù)均為正。特征方程的各項系數(shù)均為正。含義：1 各項系數(shù)符號相同（即同號）各項系數(shù)符號相同（即同號） 2 各項系數(shù)均不等于各項系數(shù)均不等于0（即不缺項）（即不缺項）0122110nnnnnasasasasa1 ,01 ,112,21 ,2244434241334333231297531186420nnnnnnnnasasaasaaaasaaaasaa

3、aaasaaaaasRouth陣列 特征方程全部為負實部根的充分必要條件是Routh表中第一列各值為正， 如Routh表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各數(shù)符號的改變次數(shù)，代表特征方程式的正實部根的數(shù)目。例5-1 判別特征方程為 0516178102345sssss的某系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解 利用Routh判據(jù) 56 .1956 . 75 .153 . 651710168161511424123231353144205asasaasaasaaasaaaso符號改變兩次，則說明系統(tǒng)有兩個正實部的特征根，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。Routh表中某行的第一個元素為零，而其余各元素均不為零或部分不為零。

4、這時用一個很小的正數(shù)來代替零元素，Routh表繼續(xù)進行。2. 如果Routh表中出現(xiàn)全零行，表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根，這時，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程，對輔助方程求導，用所得導數(shù)方程的系數(shù)代替全零行，便可按Routh穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運算下去，直到得出全部Routh計算表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同、符號相反的根數(shù)。所有這些數(shù)值相同、符號相反的根，都可以從輔助方程中求出。若開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面無極點時，當從0變化時，如果Nyquist曲線不包圍臨界點不包圍臨界點(-1,j0)，則系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定。如果Nyquist曲線包圍臨界點包圍臨界點(-

5、1,j0)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)的Nyquist曲線經(jīng)過經(jīng)過(-1,j0)點點，則系統(tǒng)處于臨界臨界穩(wěn)定狀態(tài)。ReI m( - 1, j 0)ReReI m( - 1, j 0)( - 1, j 0)I mI m( - 1, j 0)Re 如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有P個開環(huán)極點位于s右半平面，當從0變化時，開環(huán)幅相曲線包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為N(反時針方向為正，順時針方向為負)和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面上的極點個數(shù)P的關(guān)系為 M=P2N M：閉環(huán)極點在：閉環(huán)極點在s右半平面的個數(shù)右半平面的個數(shù)如果M為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，假設為型，則繪制開環(huán)幅相

6、曲線后，頻率再從 開始，反時針補畫 個半徑為無窮大的圓。04例1 一個單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1()(2TssKsG試用Nyquist判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖所示。 從Nyquist曲線上看到，曲線順時針包圍(-1,j0)點一圈， 即N= -1，而開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)P=0，因此閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)22NPM故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ImR e(-1,j0)(-1,j0)ReImAB(+)(-)C)-L)(-)(+)Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù)可定義為圖上的穩(wěn)定性判據(jù)可定義為 一個反饋控制系統(tǒng), 其閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)為Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)s右

7、半平面極點的個數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性大于0dB的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與-線的正負穿越之差N = N+-N-來確定, 即 NPZ2若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定0ZZ為閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)。例：如圖5-17所示的四種開環(huán)Bode曲線，試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù), 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知P=0，在L()0的范圍內(nèi)，1N1N0NNN02NPZ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。已知P=1 ，在L()0時 相頻曲線有一次從負到正穿越-線 2/1N02NPZ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。已知P=2, 在L()0的范圍內(nèi), 2N1N112NNN02NPZ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)可以判別一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但是

8、要使一個實際控制系統(tǒng)能夠穩(wěn)定可靠的工作，剛好滿足穩(wěn)定性條件是不夠的，還必須留有余地。穩(wěn)定裕度可以定量地確定一個系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。它包括相位裕度和幅值裕度相位裕度和幅值裕度。定義為Nyquist曲線與負實軸(-)交點處的頻率所對應的幅值的倒數(shù)，即)()(1gggjHjGK=g 稱為交點頻率。含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)增益增大到原來的倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 正相位裕度G (j )-1gK1正 幅 值 裕 度Im負 相 位 裕 度負 幅 值 裕 度R eG (j )-1gK1R eIm11穩(wěn)定系統(tǒng) 11gK(-1 ,j0 )R eImI II00Kg相同但穩(wěn)定程度不同的兩條開環(huán)Nyquist曲

9、線它們具有相同的幅值裕度，但系統(tǒng)I的穩(wěn)定性不如系統(tǒng)II的穩(wěn)定性。因此需要增加穩(wěn)定性的性能指標，即相位裕度 定義為加上Nyquist曲線上幅值為1這一點的相角 ，此時=c 稱為截止頻率。)(c相位裕度的含義為：如果系統(tǒng)截止頻率c信號的相位遲后再增大 度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這個遲后角稱為相位裕度。 c由于01lg20)(lg20)(ccAL故在Bode圖中，相角裕度表現(xiàn)為 L()=0dB處的相角(c)與-180度水平線之間的角度差。 )-L )cKgg正 幅 值 裕 度正 相 位 裕 度 )-gL )c負 幅 值 裕 度Kg負 相 位 裕 度 )- L )cKgg正 幅 值 裕 度正 相 位

10、 裕 度 )- gL )c負 幅 值 裕 度Kg負 相 位 裕 度正相位裕度G (j )-1gK1正 幅 值 裕 度Im負 相 位 裕 度負 幅 值 裕 度R eG (j )-1gK1R eIm11不穩(wěn)定系統(tǒng) 11gK0二階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標與動態(tài)性能指標的關(guān)系二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 )2()(2nnjjjGn2arctan2)(開環(huán)幅頻特性：開環(huán)相頻特性：222)2()(nnA在=c 時，A(c )=11)2()(222nccncAcn14242解得2241arctan22arctan2)(24ncc二階系統(tǒng)的相位裕度為： 242412arctan)(c與%都只是阻尼比的函數(shù)。242412ar

11、ctan)(c21 e 增加時%減小。相位裕度可反映時域中超調(diào)量%的大小，是頻域中的平穩(wěn)性指標。通常為使二階系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下引起的過程不至于振蕩得太厲害，以及調(diào)節(jié)時間不致太長 3060二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間nst3tan6241324cst若 一定， c 與ts 成反比。 c 越大， ts 越短。開環(huán)頻域指標c 可反映系統(tǒng)響應快速性，是頻域中的快速性指標。圖示為1類系統(tǒng)所對應的典型閉環(huán)幅頻特性。零頻幅值A(chǔ)(0)：指=0時的閉環(huán)幅頻特性值。2) 諧振頻率指系統(tǒng)產(chǎn)生峰值時對應的頻率。3) 諧振峰值指在諧振頻率處對應的幅值。4)頻寬 指系統(tǒng)的頻率從0開始，對數(shù)幅頻特性下降-3dB(或幅值下降為 ) 時所對應的頻率范圍。 2/ )0(A二階系統(tǒng)的