正交試驗(yàn)習(xí)題與解答

1、1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的基本思想 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，就是使用已經(jīng)造好了的表格 -正交表 -來(lái)安排試驗(yàn)并 進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的一種方法。它簡(jiǎn)單易行，計(jì)算表格化，使用者能夠迅速 掌握。下邊通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的基本想法。例 1為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率， 選擇了三個(gè)有關(guān)因素進(jìn)行條件試驗(yàn)，反應(yīng)溫度（A），反應(yīng)時(shí)間（B），用堿量（C），并確定了它們的試驗(yàn)范圍：A: 80-90 CB： 90-150 分鐘C： 5-7試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄蜃?A、B、C對(duì)轉(zhuǎn)化率有什么影響，哪些是主要的，哪些是次要的，從而確定最適生產(chǎn)條件，即溫度、時(shí)間及用堿量各為多 少才能使轉(zhuǎn)化率高。試制定試驗(yàn)方案。這里，對(duì)因子A，在試驗(yàn)范圍內(nèi)

2、選了三個(gè)水平；因子 B和C也都取三 個(gè)水平：A: Ai= 80°C, A2= 85C, A3=90°CB: Bi = 90 分，B2 = 120 分，B3=150 分C: Ci = 5%, C2 = 6%, C3= 7%當(dāng)然,在正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中,因子可以是定量的,也可以是定性的。而定 量因子各水平間的距離可以相等,也可以不相等。這個(gè)三因子三水平的條件試驗(yàn),通常有兩種試驗(yàn)進(jìn)行方法:即 AiBiCi, A1B1C2, A1B2C1,A3B3C3，共有(I)取三因子所有水平之間的組合,33=27 次 試驗(yàn)。用圖表示就是圖1立方體的27個(gè)節(jié)點(diǎn)。這種試驗(yàn)法叫做全面試 驗(yàn)法。全面試驗(yàn)對(duì)各

3、因子與指標(biāo)間的關(guān)系剖析得比較清楚。但試驗(yàn)次數(shù)太多。 特別是當(dāng)因子數(shù)目多，每個(gè)因子的水平數(shù)目也多時(shí)。試驗(yàn)量大得驚人。 如選六個(gè)因子，每個(gè)因子取五個(gè)水平時(shí)，如欲做全面試驗(yàn)，則需56 =15625次試驗(yàn)，這實(shí)際上是不可能實(shí)現(xiàn)的。如果應(yīng)用正交實(shí)驗(yàn)法，只做25次試驗(yàn)就行了。而且在某種意義上講，這25次試驗(yàn)代表了 15625次試驗(yàn)。(n)簡(jiǎn)單對(duì)比法，即變化一個(gè)因素而固定其他因素，如首先固定b、C于Bi、Ci，使A變化之: / AiB1C1 A 2' A3 (好結(jié)果)如得出結(jié)果A3最好，則固定A于A3, C還是Ci,使B變化之:A3C1 B 2 （好結(jié)果） B3得出結(jié)果以B2為最好，則固定B于B2,

4、 A于A3,使C變化之：/ CiA3B2TC 2 (好結(jié)果) C3試驗(yàn)結(jié)果以C2最好。于是就認(rèn)為最好的工藝條件是A3B2C2。這種方法一般也有一定的效果，但缺點(diǎn)很多。首先這種方法的選點(diǎn)代表性很差，如按上述方法進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)點(diǎn)完全分布在一個(gè)角上，而在一 個(gè)很大的范圍內(nèi)沒(méi)有選點(diǎn)。因此這種試驗(yàn)方法不全面，所選的工藝條件A3B2C2不一定是27個(gè)組合中最好的。其次，用這種方法比較條件好壞 時(shí)，是把單個(gè)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)拿來(lái)，進(jìn)行數(shù)值上的簡(jiǎn)單比較，而試驗(yàn)數(shù)據(jù)中 必然要包含著誤差成分，所以單個(gè)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單比較不能剔除誤差的干擾， 必然造成結(jié)論的不穩(wěn)定。簡(jiǎn)單對(duì)比法的最大優(yōu)點(diǎn)就是試驗(yàn)次數(shù)少，例如六因子五水平試驗(yàn)，在不重

5、復(fù)時(shí)，只用5+(6-1) (5-1) = 5+5X4 = 25次試驗(yàn)就可以了。面試驗(yàn)的點(diǎn)中選擇具有典型性、代表性的點(diǎn)，使試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)分布得很均勻，能反映全面情況。但我們又希望試驗(yàn)點(diǎn)盡量地少，為此還 要具體考慮一些問(wèn)題。如上例，對(duì)應(yīng)于 A有Ai、A2、A3三個(gè)平面，對(duì)應(yīng)于 B、C也各有三個(gè) 平面，共九個(gè)平面。則這九個(gè)平面上的試驗(yàn)點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)一樣多，即對(duì)每個(gè) 因子的每個(gè)水平都要同等看待。具體來(lái)說(shuō)，每個(gè)平面上都有三行、三列， 要求在每行、每列上的點(diǎn)一樣多。這樣，作出如圖2所示的設(shè)計(jì)，試驗(yàn)點(diǎn)用0表示。我們看到，在9個(gè)平面中每個(gè)平面上都恰好有三個(gè)點(diǎn)而每 個(gè)平面的每行每列都有一個(gè)點(diǎn)，而且只有一個(gè)點(diǎn)，總共

6、九個(gè)點(diǎn)。這樣的 試驗(yàn)方案，試驗(yàn)點(diǎn)的分布很均勻，試驗(yàn)次數(shù)也不多。當(dāng)因子數(shù)和水平數(shù)都不太大時(shí)，尚可通過(guò)作圖的辦法來(lái)選擇分布很均勻的試驗(yàn)點(diǎn)。但是因子數(shù)和水平數(shù)多了，作圖的方法就不行了。試驗(yàn)工作者在長(zhǎng)期的工作中總結(jié)出一套辦法，創(chuàng)造出所謂的正交表。按照正交表來(lái)安排試驗(yàn)，既能使試驗(yàn)點(diǎn)分布得很均勻，又能減少試驗(yàn)次數(shù)，圖2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)圖例而且計(jì)算分析簡(jiǎn)單，能夠清晰地闡明試驗(yàn)條件與指標(biāo)之間的關(guān)系。用正交表來(lái)安排試驗(yàn)及分析試驗(yàn)結(jié)果，這種方法叫正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。2. 正交表本書(shū)附錄給出了常用的正交表。為了敘述方便，用L代表正交表，常用的有 L8(27), L9(34), L16(45), L8(4 星4), L12(

7、211),等等。此符號(hào)各數(shù) 字的意義如下：L8(27)7 為此表列的數(shù)目(最多可安排的因子數(shù))2 為因子的水平數(shù)8 為此表行的數(shù)目(試驗(yàn)次數(shù))L18(2 0)有 7 列是 3 水平的有1列是 2水平的L18(2怡7)的數(shù)字告訴我們，用它來(lái)安排試驗(yàn)，做 18個(gè)試驗(yàn)最多可以考 察一個(gè) 2 水平因子和 7 個(gè) 3 水平因子。在行數(shù)為 mn 型的正交表中 (m， n 是正整數(shù) )，試驗(yàn)次數(shù)(行數(shù))=(每列水平數(shù)-1) X列數(shù)+1,如L8(27),8= 7X2-1)+I 利用上述關(guān)系式可以從所要考察的因子水平數(shù)來(lái)決定最低的試驗(yàn)次數(shù), 進(jìn)而選擇合適的正交表。 比如要考察五個(gè) 3水平因子及一個(gè) 2水平因子,

8、 則起碼的試驗(yàn)次數(shù)為5>(3-1)+1 (X-1)+1 = 12 (次)這就是說(shuō), 要在行數(shù)不小于 12,既有 2水平列又有 3水平列的正交表中 選擇，L18(2 $7)適合。正交表具有兩條性質(zhì)： (1)每一列中各數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。 (2)任 何兩列所構(gòu)成的各有序數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。所以稱之謂正交表。例如在L9(34)中(見(jiàn)表1),各列中的l、2、3都各自出現(xiàn)3次；任何兩列，例如第 3、4 列,所構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)從上向下共有九種,既沒(méi)有重復(fù)也沒(méi)有遺漏。其他任何兩列所構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)也是這九種各出現(xiàn)一次。這 反映了試驗(yàn)點(diǎn)分布的均勻性。表1 5 （旳列行號(hào)1234水平111112122

9、23133342123512316231273132&3213g33213. 試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)時(shí)，只要把所考察的每一個(gè)因子任意地對(duì)應(yīng)于正交表的一列(一個(gè)因子對(duì)應(yīng)一列，不能讓兩個(gè)因子對(duì)應(yīng)同一列),然后把每列的數(shù)字 翻譯"成所對(duì)應(yīng)因子的水平。這樣，每一行的各水平組合就構(gòu)成了一個(gè) 試驗(yàn)條件(不考慮沒(méi)安排因子的列)。對(duì)于例1,因子A、B、C都是三水平的，試驗(yàn)次數(shù)要不少于3>(3-1)+1 = 7(次)可考慮選用L9(34)。因子A、B、C可任意地對(duì)應(yīng)于L9(34)的某三列， 例如A、B、C分別放在I、2、3列，然后試驗(yàn)按行進(jìn)行，順序不限，每一行中各因素的水平組合就是每一次

10、的試驗(yàn)條件，從上到下就是這個(gè)正交試驗(yàn)的方案，見(jiàn)表2。這個(gè)試驗(yàn)方案的幾何解釋正好是圖 2。表2因子安攤試驗(yàn)方案AB0試驗(yàn)水平組合試驗(yàn)條件行號(hào)1234泡度時(shí)間加膩量（分）111L11809052I222280120百31333so1507斗2123斗占心&5906522315851207623126£已C851505131321909073321339012059了3219901506三個(gè)3水平的因子，做全面試驗(yàn)需要33= 27次試驗(yàn)，現(xiàn)用L9（34）來(lái)設(shè)計(jì) 試驗(yàn)方案，只要做9次，工作量減少了 2/3,而在一定意義上代表了 27次試驗(yàn).。再看一個(gè)用L9（34）安排四個(gè)3水平因子的

11、例子。例2某礦物氣體還原試驗(yàn)中，要考慮還原時(shí)間（A）、還原溫度（B）、還原 氣體比例（D）、氣體流速（C）這四個(gè)因子對(duì)全鐵合量 X越高越好）、金屬 化率Y（越高超好）、二氧化鈦含量Z（越低越好）這三項(xiàng)指標(biāo)的影響。希望 通過(guò)試驗(yàn)找出主要影響因素，確定最適工藝條件。首先根據(jù)專業(yè)知以確定各因子的水平：時(shí)間：Ai = 3（小時(shí)）,A2= 4（小時(shí)）,A3 = 5（小時(shí)）溫度：Bi= 1000CC ）, B2= 1100C ）, B3 = 1200（C）流速：C尸600（毫升/分），C2= 400（毫升/分）,C3= 800（毫升/分）CO:H2： Di= 1:2, D2 = 2:1, D3= 1:1這

12、是四因子3水平的多指標(biāo)（X、Y、Z）問(wèn)題，如果做全面試驗(yàn)需34 = 81 次試驗(yàn)，而用L9（34）來(lái)做只要9次。具體安排如表3。同全面試驗(yàn)比較，工作量少了 8/9。由于縮短了試驗(yàn)周期，可以提高試驗(yàn)精度，時(shí)間越長(zhǎng)誤差于擾越大。并且對(duì)于多指標(biāo)問(wèn)題，采用簡(jiǎn)單對(duì)比法，往往顧此失彼，最適工藝條件很難找；而應(yīng)用正交表來(lái)設(shè)計(jì)試驗(yàn)時(shí)可對(duì)各指標(biāo)通盤(pán)考慮，結(jié)論明確可靠。蔻3試驗(yàn)方案試農(nóng)號(hào)水平組合試監(jiān)J條件時(shí)間（小時(shí)蠱度（匸）流量套升/分）C:h2131000600Il 22311U04002： 13如唧列3120080D1： 1441000400h 15每唧亠4110D8001： 26412006002 17A3

13、P510008002i 1351100600L 19AjBlV II-L U1： 24. 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的直觀分析正交表的另一個(gè)好處是簡(jiǎn)化了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算分折。還是以 例1為例 來(lái)說(shuō)明。按照表2的試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)得9個(gè)轉(zhuǎn)化率數(shù)據(jù)，見(jiàn)表4。表4轉(zhuǎn)化率試噴迫據(jù)與it簞井析因子溫匱時(shí)間加膩量試驗(yàn)結(jié)果水平134轉(zhuǎn)化率（）11(30T3>1(90 分)1(5%)1312l(80r)2(120)2（旅）25431(30 C)了。分）3(7絢33842(85C)1（如分）2(0附35352(8513)20分）3（）149(53（1分）1(5附24273（por）1（呃分）37饒）2刃33（gor）3(1

14、20 分)1(兩393(150)2(5%)1(54I123141135144II144怕5171153III1：33144144153Ki414745TT50冷4S5557陽(yáng)們4S45R.20S12SSIS11斗23413通過(guò)9次試驗(yàn)，我們可以得兩類(lèi)收獲。第一類(lèi)收獲是拿到手的結(jié)果。第 9號(hào)試驗(yàn)的轉(zhuǎn)化率為64,在所做過(guò)的試驗(yàn)中最好，可取用之。因?yàn)橥ㄟ^(guò) L9（34）已經(jīng)把試驗(yàn)條件均衡地打散到不同的部位，代表性是好的。假如 沒(méi)有漏掉另外的重要因素，選用的水平變化范圍也合適的話，那么，這 9次試驗(yàn)中最好的結(jié)果在全體可能的結(jié)果中也應(yīng)該是相當(dāng)好的了，所以 不要輕易放過(guò)。第二類(lèi)收獲是認(rèn)識(shí)和展望。9次試驗(yàn)在全

15、體可能的條件中（遠(yuǎn)不止33= 27 個(gè)組合，在試驗(yàn)范圍內(nèi)還可以取更多的水平組合）只是一小部分，所以還可能擴(kuò)大。精益求精。尋求更好的條件。利用正交表的計(jì)算分折，分 辨出主次因素，預(yù)測(cè)更好的水平組合，為進(jìn)一步的試驗(yàn)提供有份量的依其中I、U、川分別為各對(duì)應(yīng)列(因子)上1、2、3水平效應(yīng)的估計(jì)值， 其計(jì)算式是：I i( n i, m i)=第i列上對(duì)應(yīng)水平1 (2, 3)的數(shù)據(jù)和K1為1水平數(shù)據(jù)的綜合平均=I /水平1的重復(fù)次數(shù)Si為變動(dòng)平方和二例1的轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算分析見(jiàn)表 4。先考慮溫度對(duì)轉(zhuǎn)比率的影響。但單個(gè)拿出不同溫度的數(shù)據(jù)是不能比較的， 因?yàn)樵斐蓴?shù)據(jù)差異的原因除溫度外還有其他因素。但從整體

16、上看，80 C時(shí)三種反應(yīng)時(shí)間和三種用堿量全遇到了，86C時(shí)、90C時(shí)也是如此。這樣，對(duì)于每種溫度下的三個(gè)數(shù)據(jù)的綜合數(shù)來(lái)說(shuō)，反應(yīng)時(shí)間與加堿量處于 完全平等狀態(tài)，這時(shí)溫度就具有可比性。所以算得三個(gè)溫度下三次試驗(yàn) 的轉(zhuǎn)化率之和：80°C： I A = xl+x2+x3 = 31+54+38= 123;85C： n A = x4+x5+x6 = 53+49+42= 144;90 C： m A = x7+x8+x9 = 57+62+64= 183。分別填在A列下的I、n、m三行。再分別除以 3,表示80C、85C、 90 C時(shí)綜合平均意義下的轉(zhuǎn)化率，填入下三行 Kl、K2、K3。R行稱為 極差

17、，表明因子對(duì)結(jié)果的影響幅度。同樣地，為了比較反應(yīng)時(shí)間；用堿量對(duì)轉(zhuǎn)化率的影響，也先算出同一水平下的數(shù)據(jù)和IB、n b、m b , Ic、n c、m c,再計(jì)算其平均值和極差。 都填入表4中；由此分別得出結(jié)論：溫度越高轉(zhuǎn)化率越好，以90 C為最好，但可以進(jìn)一步探索溫度更好的情況。反應(yīng)時(shí)間以120分轉(zhuǎn)化率最高。用堿量以6%轉(zhuǎn)化率最高。所以最適水平是A3B2C2。5正交試驗(yàn)的方差分析（一）假設(shè)檢驗(yàn)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法是：提出一個(gè)假設(shè)，把它與數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)照，判斷是否舍棄它。其判斷步驟如下：（1）設(shè)假設(shè)H。正確，可導(dǎo)出一個(gè)理論結(jié)論，設(shè)此結(jié)論為R。；（2）再根據(jù)試驗(yàn)得出一個(gè)試驗(yàn)結(jié)論，與理論結(jié)論相對(duì)應(yīng)

18、，設(shè)為R1;比較R。與Rl，若R。與Rl沒(méi)有大的差異，則沒(méi)有理由懷疑 H。， 從而判定為："不舍棄H。"（采用H。）；若R。與R1有較大差異，則可 以懷疑H。，此時(shí)判定為："舍棄H。"。但是，R1/R。比丨大多少才能舍棄H。呢？為確定這個(gè)量的界限，需要利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中關(guān)于 F分布的理論。若yl服從自由度為©1的x2分布，y2服從自由度為©2的x2分布，并且yl、y2相互獨(dú)立，則（yl/ ©） /（y2/ ©服從自由度為（© 1 © 2的F分 布。F分布是連續(xù)分布，分布模數(shù)是兩個(gè)自由度 （©

19、; 1 © 2）稱©1為分子 自由度，稱©2為分母自由度。在自由度為（©1 © 2的F分布中，某點(diǎn) 右側(cè)面積為p,也就是F比此值大的概率為p,把這個(gè)值寫(xiě)為（p）。若檢 驗(yàn)的顯著性水平（或危險(xiǎn)率）給定為a時(shí)，貝何以把（a作為臨界值來(lái)檢 驗(yàn)假設(shè)這里，Se/c2服從自由度為©e,的分布；當(dāng)H。成立，(T 2= 0時(shí), SA/昇也服從自由度為©A的分布；又SA與Se相互成立，所以 (SA/( © Ac 2)/ Se/( © e c 2)服從/自曲度為(©A © e的 F分布。這就 是假定H。正

20、確時(shí)的理論結(jié)論 R。而試驗(yàn)結(jié)論RI要與理論結(jié)論R。相 比較。由給定的顯著性水平，通常是a= 0. 05;分子自由度© = ©A=a-l，分母自由度 © 2 © e=a(n1);查F分布表得出(a。)所以H。： al =a 2=a a 0( c A= 0)的檢驗(yàn)是：(顯著性水平 a)FA=VA/Ve> ( a )苗棄 H。FA=VA/Ve< ( a )不舍棄 H。通常，(a一般性地表示成Fa ( © A, © )。假設(shè)因子A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著，那么A的兩個(gè)水平的效應(yīng)該表現(xiàn)為相等或相近，即假設(shè) H。： a 1 a 2 0。如果因子A顯著，則舍棄 假設(shè)。為了判斷因子A是否顯著，首先要計(jì)算比值顯然，這個(gè)比值越大，因子 A對(duì)指標(biāo)的影響越顯著；反之，因子 A就 不顯著。在給定置信度 a后，如a= 0.05，查F分布表，自由度©A是 因子A的，自由度©e是誤差的，其臨界值Fa ( © A,