函數(shù)的極值新實用教案

1、 單調(dndio)性與導數(shù)有何關系?設函數(shù)(hnsh)y=f(x)在某個區(qū)間內可導，如果(rgu)f (x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f (x)0，則f(x)為減函數(shù)；如果f (x)=0，則f(x)為常數(shù)函數(shù)；復習回顧第1頁/共23頁第一頁，共24頁。 yxOaby=f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函數(shù) y=f (x)在點x1 、x2 、x3 、x4處的函數(shù)值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，與它們左右附近各點處的函數(shù)值相比有什么(shn me)特點?觀察(gunch)圖像第2頁/共23頁第二頁，共24頁。一、函數(shù)的極

2、值(j zh)定義一般(ybn)的，設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對X0附近(fjn)的所有點，都有f(x)f(x0), 則f(x0) 是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值. (極值即峰谷處的值-不一定最大或最?。┦购瘮?shù)取得極值的點x0稱為極值點第3頁/共23頁第三頁，共24頁。二、新課函數(shù)(hnsh)的極值:請注意(zh y)以下幾點: (1)極值是一個局部概念.由定義,極值只是某個點的函數(shù)(hnsh)值與它附近點的函數(shù)(hnsh)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)(hnsh)的整個的定義域內最大或最小.也

3、就是說極值與最值是兩個不同的概念.第4頁/共23頁第四頁，共24頁。 (2)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個(y )函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個(y ). (3)極大值與極小值之間無確定的大小(dxio)關系.即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點,x4是極小值點,而f(x4)f(x1).oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xf第5頁/共23頁第五頁，共24頁。 (4)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部,區(qū)間的端點(dun din)不能成為極值點.而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部,也可能在區(qū)間的端點(dun din). 在上節(jié)課中,我

4、們是利用(lyng)函數(shù)的導數(shù)來研究函數(shù)的單調性的.下面我們利用(lyng)函數(shù)的導數(shù)來研究函數(shù)的極值問題. 由上圖可以看出,在函數(shù)取得極值處,如果曲線有切線的話,則切線是水平的,從而有 .但反過來不一定.如函數(shù)y=x3,在x=0處,曲線的切線是水平的,但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大,也不比它附近的點的函數(shù)值小.假設x0使 .那么在什么情況下x0是f(x)的極值點呢？0)(0= = xf0)(0= = xf第6頁/共23頁第六頁，共24頁。 f (x)0 yxOx1aby=f(x)在極大值點附近(fjn)在極小值點附近(fjn) f (x)0 f (x)01、如果在x0附近的左側f

5、(x)0，右側f (x)0，則f (x0)是極大值；2、如果在x0附近的左側f (x)0， 則f (x0)是極小值；已知函數(shù)f(x)在點x0處是連續(xù)的（未必可導?。?，則二、判斷(pndun)函數(shù)極值的方法x2（1）導數(shù)為0的點一定是極值點嗎？不一定?。?）若極值點處可導則一定為0嗎？一定?。?）端點會是極值點嗎？不會！（4）極值只有一個嗎？不一定?。?）極大值一定比極小值大嗎？不一定！第7頁/共23頁第七頁，共24頁。 yxO觀察(gunch)思考 極值與導數(shù)有何關系？在極值點處，曲線(qxin)如果有切線，則切線是水平的。aby=f(x)x1 f (x1)=0 x2 f (x2)=0 x3

6、f (x3)=0 x4 f (x5)=0 x5不存在(cnzi)第8頁/共23頁第八頁，共24頁。要注意(zh y)以下兩點: (1)不可導函數(shù)也可能有極值點.例如函數(shù)y=|x|,它在點x=0處不可導,但x=0是函數(shù)的極小值點.故函數(shù)f(x)在極值點處不一定(ydng)存在導數(shù). (2)可導函數(shù)的極值點一定是它導數(shù)為零的點,反之函數(shù)的導數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點.例如,函數(shù)y=x3,在點x=0處的導數(shù)為零,但它不是極值點,原因是函數(shù)在點x=0處左右兩側的導數(shù)都大于零.因此(ync)導數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側的導數(shù)異號. 因此,利用求導的方法,求函數(shù)的

7、極值時,在函數(shù)的定義域內尋求可能取到極值的“可疑點”,除了確定其導數(shù)為零的點外,還必須確定函數(shù)定義域內所有不可導的點,這兩類點構成了函數(shù)定義域內所有的可能取到極值的“可疑點”.第9頁/共23頁第九頁，共24頁。注意：函數(shù)(hnsh)極值是在某一點附近的小區(qū)間內定義的，是局部性質。因此一個函數(shù)(hnsh)在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)(hnsh)來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值。1、判斷下面(xi mian)4個命題，其中是真命題序號為 ?？蓪Ш瘮?shù)必有極值；函數(shù)在極值點必有定義；函數(shù)的極小值一定小于極大值（設極小值、極大值都存在）；函數(shù)的極小值（或極大值

8、）不會多于一個。課堂練習第10頁/共23頁第十頁，共24頁。 2、（1）如圖是函數(shù) 的圖象,試找出函數(shù) 的 極值點,并指出(zh ch)哪些是極大值點,哪些是極小值點？（2）如果(rgu)把函數(shù)圖象改為導函數(shù) 的圖象? yf x=答： yfx=1、x1,x3,x5,x6是函數(shù)(hnsh)y=f(x)的極值點，其中x1,x5是函數(shù)y=f(x)的極大值點，x3,x6函數(shù)(hnsh)y=f(x)的極小值點。2、x2,x4是函數(shù)y=f(x)的極值點,其中x2是函數(shù)y=f(x)的極大值點，x4是函數(shù)y=f(x)的極小值點。第11頁/共23頁第十一頁，共24頁。 下面分兩種情況(qngkung)討論: （

9、1）當 ，即x2,或x-2時;（2）當 ，即-2 x2時。例1.求函數(shù) 的極值(j zh). 31443f xxx=解:當x變化(binhu)時， 的變化(binhu)情況如下表： x當x=-2時, f(x)的極大值為 令解得x=2,或x=-2.單調遞減當x=2時, f(x)的極小值為22第12頁/共23頁第十二頁，共24頁。求可導函數(shù)(hnsh)f(x)極值的 步驟：(2)求導數(shù)(do sh)f (x)；(3)求方程(fngchng)f (x）=0的根和導數(shù)不存在的點； (4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f (x)在方程根及導數(shù)不存在點左右的符號如果左正右負（+ -）， 那么f(x

10、)在這個根處取得極大值；如果左負右正（- +）， 那么f(x)在這個根處取得極小值；(1) 確定函數(shù)的定義域；第13頁/共23頁第十三頁，共24頁。例2 求函數(shù) y=(x2-1)3+1 的極值(j zh)。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y無極值無極值極小值極小值0無極無極值值解：定義域為R， y=6x(x2-1)2。由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1當x變化時，y , y的變化情況(qngkung)如下表：因此(ync)，當x=0時， y極小值=0點評：一點是極值點的充分條件是這點兩側的導數(shù)異號。第14頁/共23頁第十四頁，共24頁。例3. 已知

11、函數(shù) 在 處取得極值。（1）求函數(shù) 的解析式 （2）求函數(shù) 的單調區(qū)間 322f xaxbxx=2,1xx= = f x f x解：（1） f x2,1xx= = 在 取得極值， 第15頁/共23頁第十五頁，共24頁。xyo11x2x2課堂練習第16頁/共23頁第十六頁，共24頁。0第17頁/共23頁第十七頁，共24頁。例4:已知函數(shù) f(x)滿足條件:當x2時, ;當 x2,由條件可知 ,即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 = = xxfxg當 時,x20,0)(= = xf故 有不相等的兩實根、,設.0)(= = xf又設g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0，則f(x)為增函數(shù)；如果f (x)0，則f(x)為減函數(shù)；如果f (x)=0，則f(x)為常數(shù)函數(shù)；B(04全國卷理10) 函數(shù) 在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù) （ ） A B C Dxxxysincos = =)23,2( )2 ,( )25,23( )3 ,2( 如:復習回顧第22頁/共23頁第二十二頁，共24頁。感謝您的觀看(gunkn)！第23頁/共23頁第二十三頁，共24頁。NoImage內容(nirng)總結單調性與導數(shù)有何關系(gun x)。一