理論力學(xué)-第五章

1、圓盤的運動分析 5 51 1 剛體繞定點運動的運動學(xué)描述剛體繞定點運動的運動學(xué)描述 剛體運動時，若體內(nèi)或其外延部分上有一點在空間的位置剛體運動時，若體內(nèi)或其外延部分上有一點在空間的位置 保持不變，則這種運動稱為保持不變，則這種運動稱為剛體繞定點運動剛體繞定點運動。1.1.運動方程運動方程 以定點以定點O為原點，為原點， 取定坐標(biāo)系取定坐標(biāo)系Oxyz 另取與剛體固結(jié)的動坐標(biāo)系另取與剛體固結(jié)的動坐標(biāo)系zyxOON節(jié)線節(jié)線 進(jìn)動角進(jìn)動角 自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角 章動角章動角 歐拉角歐拉角)()()(321tftftf，剛體繞定點運動的運動方剛體繞定點運動的運動方 程程 歐拉角的定義歐拉定理歐拉定理 2.2.歐

2、拉定理歐拉定理 繞定點運動的剛體，從某一位置到另一位置的任何位繞定點運動的剛體，從某一位置到另一位置的任何位 移可以繞通過定點的某一軸轉(zhuǎn)動一次而實現(xiàn)。移可以繞通過定點的某一軸轉(zhuǎn)動一次而實現(xiàn)。證證 明：明： BCABACBACBCABACBACAACBBC3.3.瞬時轉(zhuǎn)動軸瞬時轉(zhuǎn)動軸角速度角速度角加速度角加速度 tt0lim矢量沿瞬軸，矢量沿瞬軸， 指向按右手法則規(guī)定指向按右手法則規(guī)定 tttddlim0一般情況下一般情況下與與 不共線不共線 方向沿角速度矢量的矢端曲線的切線。方向沿角速度矢量的矢端曲線的切線。 4.4.剛體上各點的速度和加速度剛體上各點的速度和加速度 vrddddddvrart

3、ttarvra1轉(zhuǎn)動加速度轉(zhuǎn)動加速度 大小為大小為2h方向垂直于方向垂直于 和和r指向如上圖。指向如上圖。2av向軸加速度向軸加速度 其大小為其大小為12h方向垂直于方向垂直于 和和v指向瞬軸。指向瞬軸。 剛體繞定點運動時，剛體內(nèi)任一點的速度等于繞瞬軸剛體繞定點運動時，剛體內(nèi)任一點的速度等于繞瞬軸 轉(zhuǎn)動的角速度與矢徑的矢量積；該點的加速度等于繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度與矢徑的矢量積；該點的加速度等于繞瞬軸的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動加速度的矢量和。的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動加速度的矢量和。例例 5 51 1求：齒輪上點求：齒輪上點M 的速度和加速度。的速度和加速度。 設(shè)設(shè) OA=l， 已知：

4、行星錐齒輪的軸已知：行星錐齒輪的軸OA以勻角速度以勻角速度 , ,繞鉛直軸繞鉛直軸OB 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 1AC=r。解：解： 齒輪中心點齒輪中心點A 的速度為的速度為 sinAvOA 點點A 繞定點繞定點O 在水平面內(nèi)作圓周運動在水平面內(nèi)作圓周運動 1AvOA繞瞬軸繞瞬軸OC 轉(zhuǎn)動的角速度的大小為轉(zhuǎn)動的角速度的大小為 sin1= =常量常量 它沿著它沿著OC 指向如圖所示指向如圖所示 點點M 的速度為的速度為 1112 cos2 sin2sinsinMvMErll它的方向垂直于平面它的方向垂直于平面 OMC 指向如圖指向如圖 行星齒輪的角速度為行星齒輪的角速度為 ddt因為因為 只改變方向不改變大小

5、只改變方向不改變大小 而且它和而且它和z z 軸間夾角軸間夾角的大小保的大小保 持不變，所以它的矢端曲線是持不變，所以它的矢端曲線是水平的圓周。水平的圓周。1ddt沿此圓周的切線，沿此圓周的切線， 指向指向 轉(zhuǎn)動的一轉(zhuǎn)動的一 方方 1的大小為的大小為cotcossinsin21111現(xiàn)在計算點現(xiàn)在計算點M的加速度。的加速度。 轉(zhuǎn)動加速度轉(zhuǎn)動加速度 的大小的大小 為為 1a21211sincoscotllOMa它垂直由它垂直由 和和OM 形成的平面，形成的平面， 指向如圖指向如圖 向軸加速度向軸加速度 的大小為的大小為 2a21222sin2sin2llMEa它的方向自它的方向自M 指向點指向點

6、E（在鉛直平面（在鉛直平面OAC 內(nèi)）內(nèi)） 21aaa2cos22122212aaaaa將將 值代入上式，值代入上式， 21aa 、并注意到并注意到 22sincotlrrrl和和得得221)(9rlla 5 52 2 自由剛體的運動自由剛體的運動)()()()()()(654321tftftftfztfytfxOOO，自由剛體運動方程自由剛體運動方程 自由剛體內(nèi)任一點自由剛體內(nèi)任一點M 的速度的速度 aervvvOv設(shè)動點設(shè)動點M M 在動坐標(biāo)系在動坐標(biāo)系 中的矢徑為中的矢徑為Or剛體繞基點剛體繞基點 轉(zhuǎn)動的瞬時角速度為轉(zhuǎn)動的瞬時角速度為Or則則vrrr自由剛體內(nèi)自由剛體內(nèi)任一點的速度公式任

7、一點的速度公式為為 MOvvrr由于牽連運動為平移，由于牽連運動為平移， 自由剛體內(nèi)任一點的加速度合成式為自由剛體內(nèi)任一點的加速度合成式為 reaaaa其中其中Oaaerrrrraara為剛體繞基點為剛體繞基點 轉(zhuǎn)動的瞬時角加速度轉(zhuǎn)動的瞬時角加速度 O自由剛體內(nèi)自由剛體內(nèi)任一點的加速度公式任一點的加速度公式為為 rr2r121araaaaaaOM， 5 53 3 剛體運動的合成剛體運動的合成剛體的任何復(fù)雜運動都可以由幾個簡單運動的合成而得到。剛體的任何復(fù)雜運動都可以由幾個簡單運動的合成而得到。 1.1.平移與平移的合成平移與平移的合成 小車上任一點的速度：小車上任一點的速度： 21vvvvve

8、r12reaaaaa當(dāng)剛體同時作兩個平移時，剛體的合成運動仍為平移。當(dāng)剛體同時作兩個平移時，剛體的合成運動仍為平移。 加速度：加速度： 2.2.繞兩個平行軸轉(zhuǎn)動的合成繞兩個平行軸轉(zhuǎn)動的合成 齒輪齒輪IIII上任一點上任一點M 的速度的速度 Mv牽連速度的大小為牽連速度的大小為 Mrvvvee1eMO方向垂直于方向垂直于MO1相對速度的大小為相對速度的大小為 2vO Mrr方向垂直于方向垂直于MO2這時點這時點M 的速度等于的速度等于 與與 的矢量和。的矢量和。vevr瞬軸與兩軸間的距離分別為瞬軸與兩軸間的距離分別為 和和CO1CO2在點在點C reCOCO2r1eer21COCO與與 同向的情

9、形如圖同向的情形如圖 er2122OvOOO Cea齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度為齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度為 21222OvOOO CO CaeCOCOOO2121era方向根據(jù)方向根據(jù) 的方向確定的方向確定 2O 當(dāng)剛體同時繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動時，剛體的合成運動當(dāng)剛體同時繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動時，剛體的合成運動 為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，絕對角速度等于牽連角速度與相對角速為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，絕對角速度等于牽連角速度與相對角速度的和；瞬軸的位置內(nèi)分兩軸間的距離，內(nèi)分比與兩個角度的和；瞬軸的位置內(nèi)分兩軸間的距離，內(nèi)分比與兩個角速度成反比。速度成反比。當(dāng)當(dāng) 和和 反向時如圖反向時如圖erCOCOOO2121rea絕對角速度的

10、轉(zhuǎn)向，絕對角速度的轉(zhuǎn)向，與與 中較大的一個相同。中較大的一個相同。 er 當(dāng)剛體同時繞兩平行軸反向轉(zhuǎn)動，當(dāng)剛體同時繞兩平行軸反向轉(zhuǎn)動， 剛體的合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，絕對剛體的合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，絕對 角速度等于牽連角速度與相對加速度之角速度等于牽連角速度與相對加速度之 差，它的轉(zhuǎn)向與較大的角速度的轉(zhuǎn)向相差，它的轉(zhuǎn)向與較大的角速度的轉(zhuǎn)向相同；瞬軸的位置外分兩軸間的距離，在同；瞬軸的位置外分兩軸間的距離，在較大角速度的軸的外側(cè)，外分與兩個角較大角速度的軸的外側(cè)，外分與兩個角速度成反比。速度成反比。當(dāng)當(dāng) 和和 等值而反向時等值而反向時er0a 當(dāng)剛體以同樣大小的角速度，同時繞兩平行軸而反向轉(zhuǎn)當(dāng)

11、剛體以同樣大小的角速度，同時繞兩平行軸而反向轉(zhuǎn) 動時，剛體的合成運動為平移，這種運動稱為動時，剛體的合成運動為平移，這種運動稱為轉(zhuǎn)動偶轉(zhuǎn)動偶。轉(zhuǎn)動偶3.3.繞相交軸轉(zhuǎn)動的合成繞相交軸轉(zhuǎn)動的合成 er1 12222COCBOACvvvhhAAOACOCBAA點點C 的絕對速度等于零。的絕對速度等于零。 直線直線OC 是剛體的瞬軸。是剛體的瞬軸。 ADA1AEAa1aAEADOACBOACBAAEOCAAD，11AEADOCOCa角速度角速度 的指向可由點的指向可由點A A 的速度方向確定。的速度方向確定。 a21a 當(dāng)剛體同時繞兩相交軸轉(zhuǎn)動時，合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，當(dāng)剛體同時繞兩相交軸轉(zhuǎn)動時，

12、合成運動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動， 繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞兩軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞兩軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。如果剛體繞相交于一點的如果剛體繞相交于一點的3 3個軸或更多的軸轉(zhuǎn)動時個軸或更多的軸轉(zhuǎn)動時 niin121 當(dāng)剛體同時繞相交于一點的多軸轉(zhuǎn)動時，合成運動為繞當(dāng)剛體同時繞相交于一點的多軸轉(zhuǎn)動時，合成運動為繞 瞬軸的轉(zhuǎn)動。繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞各軸轉(zhuǎn)動的角速度瞬軸的轉(zhuǎn)動。繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞各軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和，而瞬軸則沿此合矢量方向。的矢量和，而瞬軸則沿此合矢量方向。4.4.平移與轉(zhuǎn)動的合成平移與轉(zhuǎn)動的合成 （1 1）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢垂直的情形）平移速度

13、矢與轉(zhuǎn)動角速度矢垂直的情形 OvO C繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度a等于繞動軸等于繞動軸 轉(zhuǎn)動的角速度轉(zhuǎn)動的角速度zO （2 2）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢平行的情形）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢平行的情形 剛體繞軸剛體繞軸 轉(zhuǎn)動，同時又沿軸向運動轉(zhuǎn)動，同時又沿軸向運動 螺旋運動。螺旋運動。zO 平移速度與轉(zhuǎn)動角速度的比值平移速度與轉(zhuǎn)動角速度的比值 螺旋率。螺旋率。Ovp若以若以s表示剛體沿軸表示剛體沿軸 的軸向位移的軸向位移 zO 為剛體繞軸為剛體繞軸 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 zO ddddOsvtt，螺旋率可寫成螺旋率可寫成 ddsp 一般情況下，螺旋率為一恒值，上式積分一次：一般情況下，螺旋率為

14、一恒值，上式積分一次： ps 2sp2s s表示剛體轉(zhuǎn)過一周沿軸前進(jìn)的距離表示剛體轉(zhuǎn)過一周沿軸前進(jìn)的距離螺距螺距。 （3 3）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢成任意角的情形）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢成任意角的情形 剛體以角速度剛體以角速度 繞動軸繞動軸 轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，zO 同時又以速度同時又以速度 平移，平移，OvOv和和 之間的夾角為之間的夾角為 。 剛體的運動成為以剛體的運動成為以 的平移，和以的平移，和以 繞瞬軸繞瞬軸CC 的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動 的合成運動的合成運動瞬時螺旋運動瞬時螺旋運動。2v例例 5 52 2已知：如圖所示，系桿已知：如圖所示，系桿 以角速度以角速度 繞軸繞軸 轉(zhuǎn)動，半徑轉(zhuǎn)動，半徑 為

15、為 的行星齒輪活動地套在與系桿一端固結(jié)的軸的行星齒輪活動地套在與系桿一端固結(jié)的軸 上，上， 并與半徑為并與半徑為 的固定齒輪相嚙合。的固定齒輪相嚙合。21OOe1O2r2O1r求：行星齒輪的絕對角速度求：行星齒輪的絕對角速度 。 2以及它相對于系桿的角速度以及它相對于系桿的角速度 。 r解：解：er21rr行星齒輪相對于系桿的角速度為行星齒輪相對于系桿的角速度為 e21rrr行星齒輪的絕對角速度為行星齒輪的絕對角速度為 e21er2)1 (rr2 2、以逆時針為正以逆時針為正 1 1、211r2rrrre2re2r1e10，r2rer1e21rrre212)1 (rr例例 5 53 3已知：行

16、星齒輪已知：行星齒輪IIII與固定錐齒輪與固定錐齒輪I I相嚙合，可繞動軸相嚙合，可繞動軸 轉(zhuǎn)動，而動軸以角速度轉(zhuǎn)動，而動軸以角速度 繞定軸繞定軸 轉(zhuǎn)動。設(shè)在點轉(zhuǎn)動。設(shè)在點C 處輪處輪I I的半徑為的半徑為 ，輪，輪IIII的半徑為的半徑為 。 2OOe1OO1r2r求：錐齒輪求：錐齒輪IIII相對于動軸的角速度相對于動軸的角速度 。 r解：解：1e2rOOOOe21e12rrrOOOO2 2、研究齒輪研究齒輪I I和和IIII相對于動軸相對于動軸 的運動的運動2OO如圖所示如圖所示 兩齒輪相對于動軸兩齒輪相對于動軸 的角速度分別為的角速度分別為 和和2OO1r2r傳動比傳動比211rr2rr

17、將將 代入上式代入上式r21r得得e21rr2rr1 1、例例 5 54 4已知：框架已知：框架K和軸和軸A一起以角速度一起以角速度繞軸繞軸I IIIII轉(zhuǎn)動，半徑轉(zhuǎn)動，半徑 為為 和和 彼此相固結(jié)的兩個傘齒輪彼此相固結(jié)的兩個傘齒輪B和和C 可在軸可在軸 A上自由轉(zhuǎn)動。傘齒輪上自由轉(zhuǎn)動。傘齒輪B與軸與軸I I上半徑為上半徑為 的傘齒輪的傘齒輪 D 相嚙合，傘齒輪相嚙合，傘齒輪C與軸與軸IIII上半徑為上半徑為 的傘齒輪的傘齒輪E相相 嚙合。軸嚙合。軸I I的角速度的角速度 和軸和軸IIII的角速度的角速度 。1r2r1R2RIII求：框架的角速度求：框架的角速度和齒輪和齒輪B相對于框架的角速度

18、相對于框架的角速度 。 Br解：解：IIIIrIIr，齒輪的傳動關(guān)系如下齒輪的傳動關(guān)系如下 22BrIIr11BrIrRrRr，和和 中必定有一個的轉(zhuǎn)向與圖示的轉(zhuǎn)向相反中必定有一個的轉(zhuǎn)向與圖示的轉(zhuǎn)向相反 IIrBr1221IIIRrRr2112II21I12RrRrRrRr)(I11Ir11BrrRrR)(III211221BrRrRrRR例例 5 55 5求：求：t=1s時陀螺繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度。時陀螺繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度。 已知：陀螺繞定點運動時，如圖所示已知：陀螺繞定點運動時，如圖所示3 3個歐拉角表示的運動個歐拉角表示的運動 方程為方程為式中式中223246ttt，t以以s s計計 以以

19、rad計計，解：解：24034t，當(dāng)當(dāng)t t=1s=1s時時2407，a因為因為0rad/s27.30cos222a 332123)180sin(arcsinattt246322， 5 54 4 陀螺儀近似理論陀螺儀近似理論陀螺現(xiàn)象陀螺現(xiàn)象 工程中把具有一個固定點，并繞自身的工程中把具有一個固定點，并繞自身的 對稱軸高速轉(zhuǎn)動的剛體對稱軸高速轉(zhuǎn)動的剛體陀螺陀螺。設(shè)陀螺以設(shè)陀螺以 繞對稱軸繞對稱軸 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動zO 軸又以角速度軸又以角速度 繞定軸繞定軸Oz 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動ezO ea)e(ddOOMtL自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)進(jìn)動進(jìn)動在一般情況下，在一般情況下，與自轉(zhuǎn)軸與自轉(zhuǎn)軸 不重合。不重合。) e (OOML，zO

20、其中其中 是陀螺對于對稱軸是陀螺對于對稱軸 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量zJzO 動量矩矢近似與對稱軸動量矩矢近似與對稱軸 重合重合zO 其大小等于其大小等于zJtLuOdd)e(OMu質(zhì)點系動量定理的運動學(xué)解釋質(zhì)點系動量定理的運動學(xué)解釋 賴柴定理賴柴定理質(zhì)點系對某定點的動量矩矢端的速度等于外力對同一點的主矩。質(zhì)點系對某定點的動量矩矢端的速度等于外力對同一點的主矩。 zOJL)e(ddOOMtL1.1.自由陀螺保持自身對稱軸在慣性參考系中的方位不變自由陀螺保持自身對稱軸在慣性參考系中的方位不變 不計摩擦，外力對其質(zhì)心不計摩擦，外力對其質(zhì)心O 的力矩為零的力矩為零 自由陀螺自由陀螺0dd0)e(tLMO

21、O，OL恒量恒量2.2.陀螺受力矩的作用，當(dāng)力矩矢與對稱軸不重合，對稱軸將進(jìn)動陀螺受力矩的作用，當(dāng)力矩矢與對稱軸不重合，對稱軸將進(jìn)動 )(PMuO根據(jù)賴柴定理根據(jù)賴柴定理在重力在重力 的持續(xù)作用下，的持續(xù)作用下，P對稱軸對稱軸 將繞將繞Oz 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 zO 這種運動稱為進(jìn)動這種運動稱為進(jìn)動 zOJLuee)e(eOzMJsin)e(ezOJM3.3.陀螺效應(yīng)和陀螺力矩陀螺效應(yīng)和陀螺力矩 陀螺效應(yīng)陀螺效應(yīng)是在高速轉(zhuǎn)動的機械中，當(dāng)轉(zhuǎn)子的對稱軸的方是在高速轉(zhuǎn)動的機械中，當(dāng)轉(zhuǎn)子的對稱軸的方 位改變時發(fā)生的一種物理現(xiàn)象。位改變時發(fā)生的一種物理現(xiàn)象。它的動量矩矢它的動量矩矢zJL 方向沿此對稱軸。方向沿此對稱軸。 如果軸如果軸z z以角速度以角速度 繞軸繞軸y y轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動e則動量矩矢端點則動量矩矢端點A A獲得速度獲得速度uLuezeOJuMe)(e)(gzeOJMMgM陀螺力