北師大數(shù)學必修三最小二乘估計學習教案

1、會計學1北師大數(shù)學必修北師大數(shù)學必修(bxi)三最小二乘估計三最小二乘估計第一頁，共29頁。 在上節(jié)課的討論中，我們知道，人體脂肪含量在上節(jié)課的討論中，我們知道，人體脂肪含量和年齡之間近似存在和年齡之間近似存在(cnzi)(cnzi)著線性關(guān)系，這種線著線性關(guān)系，這種線性關(guān)系可以有多種方法來進行刻畫性關(guān)系可以有多種方法來進行刻畫. .但是這些方法但是這些方法都缺少數(shù)學思想依據(jù)都缺少數(shù)學思想依據(jù). .問題問題1.1.用什么樣的線性關(guān)系刻畫用什么樣的線性關(guān)系刻畫(khu)(khu)會更好一些會更好一些？想法想法(xing f)(xing f)：保證這條直線與所有點都接近（：保證這條直線與所有點都接

2、近（也就是距離最小）也就是距離最?。? .最小二乘法就是基于這種想法最小二乘法就是基于這種想法. .本節(jié)課我們來進行詳細本節(jié)課我們來進行詳細學習！學習！第1頁/共29頁第二頁，共29頁。1.1.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想(sxing).(sxing).2. 2. 能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程方程.(.(重點重點) )3.3.會用線性回歸方程對總體進行估計會用線性回歸方程對總體進行估計.(.(難點）難點）第2頁/共29頁第三頁，共29頁。思考思考(sko)1.(sko)1.用什么樣的方法刻畫點與直線的距離用什么樣的方法

3、刻畫點與直線的距離會更方便有效？設(shè)直線方程為會更方便有效？設(shè)直線方程為y=a+bxy=a+bx，樣本點，樣本點A A（xixi，yiyi）方法方法(fngf)(fngf)一一: :點到直線的距點到直線的距離公式離公式方法方法(fngf)(fngf)二二: :12baybxdii2iibxayyiiy,xiibxa,xbxayxA A0 0第3頁/共29頁第四頁，共29頁。顯然方法二能有效地表示顯然方法二能有效地表示(biosh)(biosh)點點A A與直線與直線y=a+bxy=a+bx的距離的距離，而且比方法一計算更方便，所以我們用它來表示，而且比方法一計算更方便，所以我們用它來表示(bio

4、sh)(biosh)二者之間的接近程度二者之間的接近程度. .第4頁/共29頁第五頁，共29頁。思考思考2.2.怎樣刻畫多個點與直線怎樣刻畫多個點與直線(zhxin)(zhxin)的的接近程度？接近程度？ 例如有例如有5 5個樣本個樣本(yngbn)(yngbn)點，其坐標分別為（點，其坐標分別為（x1x1，y1y1），（），（x2x2，y2y2），（），（x3x3，y3y3），（），（x4x4，y4y4），（），（x5x5，y5y5），與直線），與直線y=a+bxy=a+bx的接近程度：的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay提示提示(tsh)：第5

5、頁/共29頁第六頁，共29頁。若有若有n n個樣本個樣本(yngbn)(yngbn)點：（點：（x1x1，y1y1）, , ,（xnxn，ynyn），），可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y ya+bxa+bx的接近程度的接近程度: :2211nny(abx )y(abx ) 使上式達到最小值的直線使上式達到最小值的直線y=a+bxy=a+bx就是所要求的直線，就是所要求的直線，這種方法這種方法(fngf)(fngf)稱為最小二乘法稱為最小二乘法. .第6頁/共29頁第七頁，共29頁。先來討論先來討論3 3個樣本個樣本(yngbn)(yngbn)點的情況點

6、的情況2211nny(abx )y(abx )思考思考(sko)3(sko)3：怎樣使怎樣使達到最小值？達到最小值？第7頁/共29頁第八頁，共29頁。利用利用(lyng)(lyng)配方配方法可得法可得22221122333-2-)( -)(-)(-)aa y bxy bxy bxy bx（第8頁/共29頁第九頁，共29頁。第9頁/共29頁第十頁，共29頁。同樣使用配方法同樣使用配方法(fngf)(fngf)可以得到可以得到，當，當從而得到直線從而得到直線y=+bxy=+bx的系數(shù)的系數(shù)(xsh)(xsh)，b b，且稱直線，且稱直線y=+bxy=+bx為這為這3 3個樣本點的線性回歸方程個樣

7、本點的線性回歸方程. .第10頁/共29頁第十一頁，共29頁。用同樣的方法我們可以用同樣的方法我們可以(ky)(ky)推導出推導出n n個點的線性個點的線性回歸方程的系數(shù)：回歸方程的系數(shù)：niii 1n22ii 1x ynx yxnx牢記牢記(loj)公公式式第11頁/共29頁第十二頁，共29頁。特別提醒：在回歸直線方程中，特別提醒：在回歸直線方程中，b b是回歸直線方程是回歸直線方程的斜率，的斜率，a a是截距；是截距；b b的含義容易理解成增加的單位的含義容易理解成增加的單位數(shù)，而實際上，它代表數(shù)，而實際上，它代表x x每增加一個單位，每增加一個單位，y y的平均的平均增加單位數(shù)增加單位數(shù)

8、. .一般地說，當回歸系數(shù)一般地說，當回歸系數(shù)b b0 0時，說明時，說明兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義(yy)(yy)是：當是：當x x每增加一個單位時，每增加一個單位時，y y就增加就增加b b個單位；當個單位；當b b0 0時，時，說明兩個變量呈負相關(guān)關(guān)系，它的意義說明兩個變量呈負相關(guān)關(guān)系，它的意義(yy)(yy)是：是：當當x x每增加一個單位時，每增加一個單位時，y y就減少就減少b b個單位個單位. .第12頁/共29頁第十三頁，共29頁。思考思考4:4:如果樣本點只有兩個，用最小二乘法得到如果樣本點只有兩個，用最小二乘法得到(d (d do)do)的

9、直線與用兩點式求出的直線一致嗎？的直線與用兩點式求出的直線一致嗎？提示提示(tsh):(tsh):是一是一致的致的. .與用兩點式相同與用兩點式相同(xin(xin tn tn).).第13頁/共29頁第十四頁，共29頁。例例1 1 在上一節(jié)練習在上一節(jié)練習(linx)(linx)中，從散點圖可以看出，某中，從散點圖可以看出，某小賣部小賣部6 6天賣出熱茶的杯數(shù)（天賣出熱茶的杯數(shù)（y y）與當天氣溫（）與當天氣溫（x x）之間是）之間是線性相關(guān)的線性相關(guān)的. .數(shù)據(jù)如下表數(shù)據(jù)如下表: :氣溫（氣溫（xi） 26261818131310104 4-1-1杯數(shù)（杯數(shù)（yi）杯）杯202024243

10、434383850506464(1)(1)試用最小二乘法求出線性回歸方程試用最小二乘法求出線性回歸方程. .(2)(2)如果某天的氣溫如果某天的氣溫(qwn)(qwn)是是33，請預測這天可，請預測這天可能會賣出熱茶多少杯能會賣出熱茶多少杯. . 第14頁/共29頁第十五頁，共29頁。解：（解：（1 1）由散點圖可以看出，兩個）由散點圖可以看出，兩個(lin(lin )變量變量是線性相關(guān)的是線性相關(guān)的. .648. 1-557.57557.57648. 1612866191031153353353353115335xyabyx于是，線性回歸方程為于是，線性回歸方程為所以所以由表格可得：由表格可

11、得：，35115xy =33351151 910633b1.64835351 286633a57.557由表格得：，所以第15頁/共29頁第十六頁，共29頁。（2 2）由上面的最小二乘法估計得出）由上面的最小二乘法估計得出(d ch)(d ch)的線性回歸的線性回歸方程知，當某天的氣溫是方程知，當某天的氣溫是33時，賣出熱茶的杯數(shù)估計為時，賣出熱茶的杯數(shù)估計為：57.557-1.64857.557-1.648(-3)63(-3)63(杯）杯）. . 第16頁/共29頁第十七頁，共29頁。1.1.利用最小二乘法利用最小二乘法(chngf)(chngf)估計時，首先要作出數(shù)據(jù)的散點估計時，首先要作

12、出數(shù)據(jù)的散點圖，利用散點圖觀察數(shù)據(jù)是否具有線性關(guān)系圖，利用散點圖觀察數(shù)據(jù)是否具有線性關(guān)系. .2.2.散點圖呈現(xiàn)線性關(guān)系時，利用散點圖呈現(xiàn)線性關(guān)系時，利用(lyng)(lyng)最小二乘法公式最小二乘法公式求出方程求出方程. .3.3.直線直線(zhxin)(zhxin)擬合只是擬合的方式之一，散點圖呈擬合只是擬合的方式之一，散點圖呈現(xiàn)其他的規(guī)律時，我們也可以利用其他的曲線進行擬現(xiàn)其他的規(guī)律時，我們也可以利用其他的曲線進行擬合合. .【說明說明】第17頁/共29頁第十八頁，共29頁。例例2 2 下面是兩個下面是兩個(lin )(lin )變量的一組數(shù)據(jù)：變量的一組數(shù)據(jù)：x x1 12 23 3

13、4 45 56 67 78 8y y1 14 49 916162525363649496464請用最小二乘法請用最小二乘法(chngf)(chngf)求出這兩個變量之間的線性回求出這兩個變量之間的線性回歸方程歸方程. .解解5.25, 5.4yx根據(jù)根據(jù)(gnj)上表數(shù)據(jù)，可以計算出：上表數(shù)據(jù)，可以計算出：其他數(shù)據(jù)如下表其他數(shù)據(jù)如下表第18頁/共29頁第十九頁，共29頁。i i1 11 11 11 11 12 22 24 44 48 83 33 39 99 927274 44 41616161664645 55 5252525251251256 66 6363636362162167 77 7

14、494949493433438 88 864646464512512合計合計36362042042042041 2961 296iiyxiy2ixix，第19頁/共29頁第二十頁，共29頁。思考思考(sko)(sko)：哪一：哪一個對呢？個對呢？y=-15+9x.y=-15+9x.第20頁/共29頁第二十一頁，共29頁。所以，利用最小二乘法所以，利用最小二乘法(chngf)(chngf)估計時，要先作出數(shù)據(jù)估計時，要先作出數(shù)據(jù)的散點圖的散點圖. .如果散點圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性如果散點圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性, ,我們再根據(jù)這個我們再根據(jù)這個規(guī)律性進行擬合規(guī)律性進行擬合. .如果散點圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系如果

15、散點圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系, ,我們可以用我們可以用最小二乘法最小二乘法(chngf)(chngf)估計出線性回歸方程估計出線性回歸方程; ;如果散點圖呈如果散點圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系, ,我們就要利用其他的工具進行擬合我們就要利用其他的工具進行擬合. .第21頁/共29頁第二十二頁，共29頁。x0 01 12 23 3y1 13 35 57 7D D1.1.已知已知x x，y y之間的一組數(shù)據(jù)如下之間的一組數(shù)據(jù)如下(rxi)(rxi)表，則表，則y y與與x x的線性的線性回歸方程回歸方程y=a+bxy=a+bx必經(jīng)過點必經(jīng)過點 ( ) ( )A.A.（2 2，2 2） B. B

16、.（1.51.5，0 0）C.C.（1 1，2 2） D. D.（1.51.5，4 4）第22頁/共29頁第二十三頁，共29頁。A A第23頁/共29頁第二十四頁，共29頁。A A第24頁/共29頁第二十五頁，共29頁。4.4.某連鎖經(jīng)營公司所屬某連鎖經(jīng)營公司所屬5 5個零售店某月的銷售額和利個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下潤額資料如下(rxi)(rxi)表：表：（1 1）畫出銷售額和利潤額的散點圖）畫出銷售額和利潤額的散點圖. .（2 2）若銷售額和利潤額具有相關(guān)關(guān)系，計算利潤額）若銷售額和利潤額具有相關(guān)關(guān)系，計算利潤額y y對銷售額對銷售額x x的線性回歸方程的線性回歸方程. .商店名稱商店名稱A AB BC CD DE E銷售額（銷售額（x x）/ /千萬元千萬元3 35 56 67 79 9利潤額（利潤額（y y）/ /百萬元百萬元2 23 33 34 45 5第25頁/共29頁第二十六頁，共29頁。i ix xi iy yi ix xi i2 2x xi iy yi i1 13 32 29 96 62 25 53 3252515153 36 63 3363618184 47 74 4494928285 59 95 581814545合計合計30301717200200112112（2 2）數(shù)據(jù)如下）數(shù)據(jù)如下(rxi)(rxi)表