7.2,第七章,《復數(shù)》,,綜合測試（解析版）

1、7.2,第七章,復數(shù),綜合測試（解析版） 第七章 復數(shù) 綜合測試 一、單選題 1（2021山東高考真題）2 i1 2i-=+（ ） a1 b1 ci di 【答案】d 【解析】 2 (2 )(1 2 ) 51 2 (1 2 )(1 2 ) 5i i i iii i i- - - -= = = -+ + - 故選：d 2（2021江西期末（理）已知 i 是虛數(shù)單位，復數(shù)12ii -的虛部為（ ） a-1 b i - c 1 d i 【答案】c 【解析】 2 2 (1 ) 2 (1 )11 (1 )(1 ) 2i i i i iii i i+ += = = - +- - +，虛部為 1 故選：c

2、3（2021.期末）若 a 為實數(shù),且 2 i3 i1 ia += +,則 a =（ ） a 4 - b 3 - c 3 d 4 【答案】d 【解析】 由題意可得 ( )( ) 2 i 1 i 3 i 2 4i 4 a a + = + + = + Þ = ,故選 d. 4（2021山東臨沂期末）已知復數(shù)1z ，2z 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為 ( ) 2,1 ， ( ) 1,b ，若1 2z z 是純虛數(shù)，則 b= （ ） a2 b12 c12- d2 【答案】a 【解析】 由題意得：1 22 , 1 z i z bi = + = + ， 所以21 2(2 )(1 ) 2 2 2 (2

3、 1) z z i bi bi i bi b b i = + + = + + + = - + + ， 又1 2z z 是純虛數(shù)，所以2 02 1 0bb- = ìí+ ¹î， 解得 2 b = ， 故選：a. 5（2021福建高考真題（理）復數(shù) ( ) 3 2 z i i = - 的共軛復數(shù) z 等于（ ） a 2 3i - - b 2 3i - + c 2 3i - d 2 3i + 【答案】c 【解析】 依題意可得 3 2, 2 3 z i z i = + = - .故選 c. 6（2021全國高考真題（文）若31 2i i z = + +，則 |

4、|=z（ ） a0 b1 c2 d2 【答案】c 【解析】 因為31+2 1+2 1 z i i i i i = + = - = + ，所以2 21 1 2 z = + = 故選：c 7（2021全國高考真題（理）設(shè)復數(shù) z滿足 =1 i z- ，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則（ ） a2 2+1 1 ( ) x y + = b2 2( 1) 1 x y - + = c2 2( 1) 1 y x + - = d2 2( +1) 1 y x + = 【答案】c 【解析】 , ( 1) , z x yi z i x y i = + - = + -2 2( 1) 1, z i x y - =

5、+ - = 則2 2( 1) 1 y x + - = 故選 c 8 （2021黑龍江龍鳳大慶四中月考（文）已知復數(shù)z 滿足 () 1 2 i z i - = （其中 i 為虛數(shù)單位），則 z = （ ） a2 b2 c1 d4 【答案】a 【解析】 由 ( ) 1 2 i z i - = 得2i 2i(1 i) 2 2i1 i1 i (1 i)(1 i) 2z+ - += = = = - +- - +， 所以 | | | 1 | 1 1 2 z i = - + = + = . 故選：a. 9（2021山東高考真題（文）已知2 a ib ii+= + ， , a bÎr ，其中 i 為

6、虛數(shù)單位，則 + a b =（ ） a-1 b1 c2 d3 【答案】b 【解析】 因為222 22a i ai iai b ii i+ - -= = - = +- ， , a bÎr ， 所以2 21 1b ba a= = ì ìÞí í- = = -î î，則 + 1 a b= ，故選 b. 10（2021河南商丘期末（理）設(shè)復數(shù) ( ) ( ) 2 cos sin z a a i q q = + + + （ i 為虛數(shù)單位）.若對任意實數(shù) q ，2 z ，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） a10,5é

7、 ùê úë û b 1,1 - c5 5,5 5é ù-ê úë û d1 1,5 5é ù-ê úë û 【答案】c 【解析】 因為對任意 q ， 2 z ，則max2 z £, ( ) ( ) cos sin 2 cos sin 2 1 5 z i a ai i a ai a q q q q = + + + £ + + + = + ， 1 5 2 a + £ ，解得5 55 5a -

8、63; £. 故選：c. 二、多選題 11（2021膠州市教育局期末）已知復數(shù) z 滿足 (2 i) i z - = ( i 為虛數(shù)單位 ) ，復數(shù) z 的共軛復數(shù)為 z ，則 （ ） a3| |5z = b1 2i5z+= - c復數(shù) z 的實部為 1 - d復數(shù) z 對應(yīng)復平面上的點在第二象限 【答案】bd 【解析】 因為復數(shù) z 滿足 (2 i) i z - = ， 所以( )(2 ) 1 22 2 (2 ) 5 5i i iz ii i i+= = = - +- - + 所以2 21 2 55 5 5z = - +æ ö æ ö

9、1; ÷ ç ÷è ø=è ø，故 a錯誤； 1 25 5z i = - - ，故 b正確； 復數(shù) z 的實部為15- ，故 c錯誤； 復數(shù) z 對應(yīng)復平面上的點1 2,5 5æ ö-ç ÷è ø在第二象限，故 d正確. 故選：bd 12（2021臨高縣臨高中學高一期末）已知復數(shù)1 22 , 2 z i z i = - = 則（ ） a2z 是純虛數(shù) b1 2z z - 對應(yīng)的點位于第二象限 c1 23 z z + = d1 22 5 z z = 【答案】ad 【解

10、析】 利用復數(shù)的相關(guān)概念可判斷 a 正確； 對于 b選項，1 22 3 z z i - = - 對應(yīng)的點位于第四象限，故 b 錯； 對于 c選項，1 22 + = + z z i ，則2 21 22 1 5 z z + = + = ，故 c錯； 對于 d選項， ( )1 22 2 2 4 z z i i i × = - × = + ，則2 21 22 4 2 5 z z = + = ，故 d正確. 故選：ad 13（2021海南楓葉國際學校期中）已知 i 為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（ ） a若復數(shù) 3 i z = + ，則1 310 10iz= - b復數(shù) z 滿足 2

11、 1 z i - = ， z 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為 () , x y ，則 ( )222 1 x y + - = c若復數(shù)1z ，2z 滿足21z z = ，則1 20 z z ³ d復數(shù) 1 3 z i = - 的虛部是 3 【答案】abc 【解析】 由( )( )1 1 3 33 i 3 i 3 i 10 10i iz-= = = -+ + -，故 a 正確； 由 z 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為 ( ) , x y ，則 ( ) 2 2 1 z i x y i - = + - = ，即( )222 1 x y + - = ， 則 ( )222 1 x y + - = ，故 b 正確；

12、設(shè)復數(shù)1z a bi = + ，則2z a bi = - ，所以 ( )( )21220 a bi a b z bi z a + - = + = ³ ，故 c正確； 復數(shù) 1 3 z i = - 的虛部是-3，故 d 不正確. 故選：a、b、c 14（2021山東濟南高一期末）任何一個復數(shù) z a bi = + （其中 a 、 b r Î ， i 為虛數(shù)單位）都可以表示成：( ) cos sin z r i q q = + 的形式，通常稱之為復數(shù) z 的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：( ) ( )( ) n cos sin co i s snn nz i n r i r

13、n n n q q q q+= = + é ùëÎû+ ，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（ ） a22z z = b當 1 r = ，3pq = 時，31 z = c當 1 r = ，3pq = 時，1 32 2z i = - d當 1 r = ，4pq = 時，若 n 為偶數(shù)，則復數(shù)nz為純虛數(shù) 【答案】ac 【解析】 對于 a選項， ( ) cos sin z r i q q = + ，則 ( )2 2cos2 sin2 z r i q q = + ，可得 ( )2 2 2cos2 sin2 z r i r q

14、q = + = ， ( )222cos sin z r i r q q = + = ，a 選項正確； 對于 b選項，當 1 r = ，3pq = 時，( )33cos sin cos3 sin3 cos sin 1 z i i i q q q q p p = + = + = + =- ，b選項錯誤； 對于 c選項，當 1 r = ，3pq = 時，1 3cos sin3 3 2 2z i ip p= + = +，則1 32 2z i = - ，c選項正確； 對于 d選項， ( ) cos sin cos sin cos sin4 4nnn nz i n i n ip pq q q q = +

15、= + = + ， 取 4 n = ，則 n 為偶數(shù)，則4cos sin 1 z i p p = + = - 不是純虛數(shù)，d選項錯誤. 故選：ac. 三、填空題 15（2021河南宛城南陽華龍高級中學月考（文）已知 i是虛數(shù)單位，如圖，在復平面內(nèi)，點 a 對應(yīng)的復數(shù)為1z ，若21ziz=，則2z = _. 【答案】 2 i - - 【解析】 由題圖可知，11 2 z i = - + ，由21ziz=，得 ( )2 11 2 2 z zi i i i = = - + =- - . 故答案為： 2 i - - . 16（2021湖北張灣十堰東風高級中學月考）設(shè)復數(shù) z 滿足 3 4 1 z i

16、- - = ，則 z 的最大值是_. 【答案】6 【解析】 設(shè)復數(shù) ( , ) z x yi x y r = + Î ，則2 23 4 1, ( 3) ( 4) 1 x yi i x y + - - = - + - = ， 所以復數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為（3,4）為圓心半徑為 1 的圓， 所以 z 的最大值是2 23 4 1 5 1 6 + + = + =.故答案為 6 17（2021上海松江期末）已知復數(shù) z滿足 1 z = ，則 2 z i - （其中 i是虛數(shù)單位）的最小值為_. 【答案】1 【解析】 復數(shù) z 滿足 | | 1(z i =為虛數(shù)單位）， 設(shè) cos sin z i

17、q q = + ，0 q Î， 2 )p 則2 2| 2 | |cos (sin 2)| (sin 2) 5 4sin 1 z i i cos q q q q q - = + - = + - = - ，當且僅當 sin 1 q = 時取等號 故答案為：1 四、雙空題 18（2021江蘇鎮(zhèn)江期末）已知 a， b r Î ， ( ) 1 2 3 ai b a i + = + + ，則 a = _，3 a bi + = _. 【答案】 3 - 3 2 【解析】 ( ) 1 2 3 ai b a i + = + + 12 3ba a= ìí= +î，

18、解得31ab= - ìí=î， 則( )223 3 3 3 3 18 3 2 a bi i + = - + = - + = =， 故答案為：（1） 3 - ；（2） 3 2 19（2021浙江高三月考）復數(shù)12zi=- ( i 為虛數(shù)單位)，則 z 的虛部為_， z = _. 【答案】15- 55 【解析】 2 21 2 2 2 12 (2 )(2 ) 2 5 5i iz ii i i i+ += = = = +- - + -， 所以2 15 5z i = - ，2 22 1 1 55 5 5 5zæ ö æ ö= + =

19、=ç ÷ ç ÷è ø è ø， 所以 2 15 5z i = - 的虛部為15- ， 故答案為：15- ；55 20 （2021浙江高三其他）復數(shù) z 滿足：1za ii= -+(其中 0 a > ， i 為虛數(shù)單位)， 10 z = ，則 a = _；復數(shù) z 的共軛復數(shù) z 在復平面上對應(yīng)的點在第_象限. 【答案】2 四 【解析】 由1za ii= -+可得， ( )(1 ) 1 ( 1) z a i i a a i = - + = + + - ，所以2 2( 1) ( 1) 10 z a a = +

20、+ - = ，左右同時平方得，2 22 1 2 1 10 a a a a + + + - + = ，所以24 a = 。又因為 0 a > ，所以 2 a = 。 所以 3 i z = + ，3 z i = -，所以 z 在復平面上對應(yīng)的點為 (3, 1)-位于第四象限。 故答案為 2;四 21（2021浙江高三其他）歐拉公式 cos sinixe x i x = + （i為虛數(shù)單位）把復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學分析里，而且在復變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽為"數(shù)學中的天橋'.請計

21、算:iep= _；猜想：ii _（填"是'或"不是'）虛數(shù). 【答案】 1 - 不是 【解析】 由歐拉公式可知， cos sin 1ie ipp p = + = - ， 因為2cos sin2 2ie i ipp p= + = ， 所以22 2 2iiiie e e ip p p- æ ö= = = ç ÷ç ÷è ø為實數(shù)，不是虛數(shù)， 故答案為： 1 - ；不是 五、解答題 22（2021遼源市田家炳高級中學校高二期末（文）已知復數(shù) ( ) ( ) 1 1 z m m i m

22、r = + + - Î . （1） m 取什么值時， z 為實數(shù)； （2） m 取什么值時， z 為純虛數(shù). 【答案】（1） 1 m = （2） 1 m= - 【解析】 （1）復數(shù) ( ) ( ) 1 1 z m m i m r = + + - Î ， 若 z 為實數(shù)，則 1 0 m- = ，即 1 m = （2）若 z 為純虛數(shù)，則1 01 0mm+ = ìí- ¹î， 解得 1 m= - 23（2021潮州期末）已知復數(shù)13 , z a i a r = + Î ，21 z i = - ，且滿足1 2z z ×

23、是實數(shù)，求實數(shù) a 及1z 的值. 【答案】 3 a= ，13 2 z = 【解析】 因為13 z a i = + ，21 z i = - ， 所以 ( )( ) ( ) ( )21 23 1 3 3 3 3 z z a i i a ai i i a a i × = + - = - + - = + + - ， 因為1 2z z × 是實數(shù)， 所以 3 0 a - = ，即： 3 a= 所以13 3 z i = + ，2 213 3 3 2 z = + = ， 所以 3 a= ，13 2 z = 24（2021湖北張灣車城高中期中（理）已知復數(shù) ( ) ( )22 ) 1 (

24、 4 3 3 z i m i m i m r = + - + - + Î （1）當 m 為何值時， z 為純虛數(shù)？ （2）當 m 為何值時， z 對應(yīng)的點在 2 1 y x = + 上？ 【答案】（1） 1 m= - ；（2）2 2 m = ± 【解析】 （1）由已知2 2( 2 3) ( 4 3) z m m m m i = - - + - + ， z 為純虛數(shù)，則222 3 04 3 0m mm mì - - =í- + ¹î，解得 1 m= - （2）由（1） z 對應(yīng)點的坐標為2 2( 2 3, 4 3) m m m m -

25、- - + ，則2 24 3 2( 2 3) 1 m m m m - + = - - + ，解得 2 2 m = ± 25（2021江蘇無錫高二期末）已知復數(shù) z 使得 2 z i r + Î ，2zriÎ-，其中 i 是虛數(shù)單位. （1）求復數(shù) z 的共軛復數(shù) z ； （2）若復數(shù) ( )2z mi + 在復平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù) m 的取值范圍. 【答案】（1） 4 2i + ；（2） ( ) 2,2 - . 【解析】 （1）設(shè) ( ) , z x yi x y r = + Î ，則 ( ) 2 2 z i x y i + = + + 2

26、z i r + Î 2 y = - 又2 2 2 42 2 5 5z x i x xi ri i- + -= = + Î- -， 4 x = 綜上，有 4 2 z i = - 4 2 z i = + （2） m 為實數(shù)，且 ( ) ( )( ) ( )2224 2 12 4 8 2 z mi m i m m m i + = + - = + - + - é ùë û 由題意得( )212 4 08 2 0m mmì + - >ïí- <ï î，解得 2 2 m - < < 故，實數(shù) m 的取值范圍是 ( ) 2,2 - 26（2021山東濰坊高二期末）在 z 為實數(shù)， z 為虛數(shù)， z 為純虛數(shù)，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中. 已知復數(shù)： ( ) ( )2 22 1 z m m m i = - - + - （1）若_，求實數(shù) m 的值； （2）當 z 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限時，求 m 的取值范圍. 【答案】（1）選擇： 1 m= - 或 1 m = ；選擇： 1 m¹ - 或 1 m ¹ ；選擇： 2 m= ；（2） ( ) 1,1 - . 【解析】 選擇，當 z 為實數(shù)時，有21 0 m - =，