二次函數(shù)y=a(x-h)^2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)—知識講解(基礎)

1、二次函數(shù)y=a (x-h) 2+k(a中0)的圖象與性質(zhì)一知識講解(基礎)【學習目標】1.會用描點法畫出二次函數(shù) y=a(xh)2+k(a、h、k常數(shù)，aw0)的圖象.掌握拋物線y = a(x h)2 + k1 2與y =ax圖象之間的關系；2 .熟練掌握函數(shù)y = a(x h)2+k的有關性質(zhì)，并能用函數(shù)y =a(x h)2+k的性質(zhì)解決一些實際問題；3 .經(jīng)歷探索y =a(xh)2+k的圖象及性質(zhì)的過程，體驗y = a(x -h)2 + k與y = ax2、y = ax2+k、2y=a(x-h)之間的轉(zhuǎn)化過程，深刻理解數(shù)學建模思想及數(shù)形結合的思想方法.【要點梳理】要點一、函數(shù) y = a(

2、x h)2(a #0)與函數(shù)y = a(x h)2 + k(a # 0)的圖象與性質(zhì)21 .函數(shù)y =a(x h) (a #0)的圖象與性質(zhì)a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a >0向上(h,。)x=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨 x的增大而減??；x = h時，y有最小值0 .a <0問卜(h,。)x=hx>h時，y隨x的增大而減?。粁<h時，y隨 x的增大而增大；x = h時，y有最大值0 .22 .函數(shù)y=a(xh) +k(a ¥0)的圖象與性質(zhì)a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a >0向上(h, k)x=hx>h時

3、，y隨x的增大而增大；xch時，y隨 x的增大而減??；x = h時，y有最小值k .a <0問卜(h, k)x=hx>h時，y隨x的增大而減?。粁<h時，y隨 x的增大而增大；x = h時，y有最大值k .要點詮釋：二次函數(shù)y =a(x-h)2+k(aw0)的圖象常與直線、三角形、面積問題結合在一起，借助它的圖象 與性質(zhì).運用數(shù)形結合、函數(shù)、方程思想解決問題.要點二、二次函數(shù)的平移1 .平移步驟：2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y =a(xh)+k ,確定其頂點坐標(h, k)；保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h, k)處，具體平移方法如下:向右俗口)I或左蜃

4、巾)】 平移網(wǎng)個單位向上上你【或向下(七母】平移因個單位尸口 (砌胃向上(g。)或下促。)】平移闡個單位向右®6 E或左川4)】 平移同個單位向上(上。)或下(定0)】 平移網(wǎng)個單位向右第61或左促口” 平移網(wǎng)個單位A y=a(x-h+k32 .平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎上“ h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減,上加下減 要點詮釋：(1) y = ax2 +bx +c沿y軸平移：向上(下)平移 m個單位，y = ax2+bx + c變成y=ax2+bx+c+m (或 y = ax2+bx+c-m )(2) y = ax2 +bx +c沿x軸平移：向左(右

5、)平移 m個單位，y = ax2+bx + c變成2(或 y=a(xm) +b(xm)+c)/、2,、y 二 a(x m) b(x m) c【典型例題】類型一、二次函數(shù)y = a( x - h)2 + k(a # 0)圖象及性質(zhì)O' 1.將拋物線y =2(x-1)2+3作下列移動，求得到的新拋物線的解析式.(1) 向左平移2個單位，再向下平移 3個單位；(2) 頂點不動，將原拋物線開口方向反向；(3) 以x軸為對稱軸，將原拋物線開口方向反向.【答案與解析】拋物線y =2(x 1)2+3的頂點為(1 , 3).(1) 將拋物線向左平移 2個單位，再向下平移3個單位后，頂點為(-1 , 0

6、),而開口方向和形狀不變,所以a= 2,得到拋物線解析式為 y = 2(x+1)2 = 2x2+4x + 2.(2)頂點不動為(1 , 3),開口方向反向，則 a = 2,所得拋物線解析式為 y = 2(x1)2+3 = 2x2+4x+1 .(3)因為新頂點與原頂點(1 , 3)關于x軸對稱，故新頂點應為(1 , -3).又拋物線開口反向, a = -2.故所得拋物線解析式為 y = 2(x 1)2 3 = 2x2+4x5 .【總結升華】 當拋物線的形狀確定以后，其位置完全決定于頂點，方向決定于 a的符號，故可利用移動 后的頂點坐標與開口方向求移動后的拋物線的解析式.舉一反三：【變式】 將拋物

7、線 y= 4x2向右平移 2個單位，再向上平移5個單位，得到的拋物線解析式為.2【答案】y = -3x 12x -7.把拋物線y + r向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線y7求b, c的值. 【答案與解析】根據(jù)題意得，y=(x-4) 2-2=x 2-8x+14,【總結升華】 把拋物線y = +bl + C向上平移2個單位，再向左平移 4個單位，得到拋物線 y)也就意味著把拋物線 "尸向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到拋物線了二戶.舉一反三：11 0【變式】一次函數(shù)y= (x-3)2+4的圖象可以看作是二次函數(shù) y = x2的圖象向平移4個單位,2 2再向 平移3

8、個單位得到的.【答案】上；右.類型二、二次函數(shù)y = a( x - h)2 + k(a # 0)性質(zhì)的綜合應用Q2，一、3 .已知 y=a(xh)與 y2 =kx+b的圖象交于 A、B兩點，其中 A(0, -1) , B(1, 0).(1)確定此二次函數(shù)和直線的解析式；(2)當y1 < y2時，寫出自變量x的取值范圍.【答案與解析】2(1)y1=a(x-h) , y2=kx+b的圖象交于 A B兩點，2-1 =a(0 -h)曰 k b =0,42且40 =a(1 - h) b=T.a - -1, f k = 1,解得,且,h=1, b = -1.二次函數(shù)的解析式為 y = _(x1)2,

9、直線方程為y=x1.(2)畫出它們的圖象如圖所示，由圖象知當 x<0或x>1時，y1cy2.【總結升華】可先由待定系數(shù)法建立方程組求出兩個函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)圖象寫出自變量的取 值范圍.如圖，拋物線的頂點為A (2, 1),且經(jīng)過原點Q與x軸的另一個交點為B.(1)求拋物線的解析式；(2)求 AOB的面積；(3)若點P ( m, -m)(0)為拋物線上一點，求與P關于拋物線對稱軸對稱的點Q坐標.(注：拋物線x=- -b). 2a【思路點撥】(1)已知拋物線的頂點為A (2, 1),設 拋物線為頂點式y(tǒng)=a(x-h) 2+k ,把點O (0, 0)代入即可求解析式；(2)由拋物

10、線的對稱軸為直線x=2,且經(jīng)過原點O (0, 0),根據(jù)對稱性得出與x軸的另個交點B的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出4AOB的面積；(3)將點P ( m, -m)代入y=- 1 ( x-2 ) 2+1 ,得出-m=- 1 ( m-2) 2+1 ,解方程求出m的值 得到P點坐標，再根據(jù)對稱性即可求出P關于拋物線對稱軸對稱點Q的坐標.【答案與解析】解：(1)設二次函數(shù)的解析式為y=a ( x-2 ) 2+1 將點O (0, 0)的坐標代入得：4a+1=0 ,X 4X 1=2 ;S/ AOB =所以二次函數(shù)的解析式為y=- 1 ( x-2 ) 2+1 ;4,且經(jīng)過原點O (0, 0)(3) .點 P ( m, -m)( m 0)為拋物線 y=- 1 ( x-2 ) 2+1 上一點，41- -m=- 1