二次函數(shù)y=a(x-h)^2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)—知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、二次函數(shù)y=a (x-h) 2+k(a中0)的圖象與性質(zhì)一知識(shí)講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) y=a(xh)2+k(a、h、k常數(shù)，aw0)的圖象.掌握拋物線y = a(x h)2 + k1 2與y =ax圖象之間的關(guān)系；2 .熟練掌握函數(shù)y = a(x h)2+k的有關(guān)性質(zhì)，并能用函數(shù)y =a(x h)2+k的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題；3 .經(jīng)歷探索y =a(xh)2+k的圖象及性質(zhì)的過(guò)程，體驗(yàn)y = a(x -h)2 + k與y = ax2、y = ax2+k、2y=a(x-h)之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)形結(jié)合的思想方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù) y = a(

2、x h)2(a #0)與函數(shù)y = a(x h)2 + k(a # 0)的圖象與性質(zhì)21 .函數(shù)y =a(x h) (a #0)的圖象與性質(zhì)a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(h,。)x=hx>h時(shí)，y隨x的增大而增大；x<h時(shí)，y隨 x的增大而減小；x = h時(shí)，y有最小值0 .a <0問(wèn)卜(h,。)x=hx>h時(shí)，y隨x的增大而減??；x<h時(shí)，y隨 x的增大而增大；x = h時(shí)，y有最大值0 .22 .函數(shù)y=a(xh) +k(a ¥0)的圖象與性質(zhì)a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(h, k)x=hx>h時(shí)

3、，y隨x的增大而增大；xch時(shí)，y隨 x的增大而減小；x = h時(shí)，y有最小值k .a <0問(wèn)卜(h, k)x=hx>h時(shí)，y隨x的增大而減小；x<h時(shí)，y隨 x的增大而增大；x = h時(shí)，y有最大值k .要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)y =a(x-h)2+k(aw0)的圖象常與直線、三角形、面積問(wèn)題結(jié)合在一起，借助它的圖象 與性質(zhì).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問(wèn)題.要點(diǎn)二、二次函數(shù)的平移1 .平移步驟：2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y =a(xh)+k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h, k)；保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(h, k)處，具體平移方法如下:向右俗口)I或左蜃

4、巾)】 平移網(wǎng)個(gè)單位向上上你【或向下(七母】平移因個(gè)單位尸口 (砌胃向上(g。)或下促。)】平移闡個(gè)單位向右®6 E或左川4)】 平移同個(gè)單位向上(上。)或下(定0)】 平移網(wǎng)個(gè)單位向右第61或左促口” 平移網(wǎng)個(gè)單位A y=a(x-h+k32 .平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減 要點(diǎn)詮釋：(1) y = ax2 +bx +c沿y軸平移：向上(下)平移 m個(gè)單位，y = ax2+bx + c變成y=ax2+bx+c+m (或 y = ax2+bx+c-m )(2) y = ax2 +bx +c沿x軸平移：向左(右

5、)平移 m個(gè)單位，y = ax2+bx + c變成2(或 y=a(xm) +b(xm)+c)/、2,、y 二 a(x m) b(x m) c【典型例題】類型一、二次函數(shù)y = a( x - h)2 + k(a # 0)圖象及性質(zhì)O' 1.將拋物線y =2(x-1)2+3作下列移動(dòng)，求得到的新拋物線的解析式.(1) 向左平移2個(gè)單位，再向下平移 3個(gè)單位；(2) 頂點(diǎn)不動(dòng)，將原拋物線開(kāi)口方向反向；(3) 以x軸為對(duì)稱軸，將原拋物線開(kāi)口方向反向.【答案與解析】拋物線y =2(x 1)2+3的頂點(diǎn)為(1 , 3).(1) 將拋物線向左平移 2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后，頂點(diǎn)為(-1 , 0

6、),而開(kāi)口方向和形狀不變,所以a= 2,得到拋物線解析式為 y = 2(x+1)2 = 2x2+4x + 2.(2)頂點(diǎn)不動(dòng)為(1 , 3),開(kāi)口方向反向，則 a = 2,所得拋物線解析式為 y = 2(x1)2+3 = 2x2+4x+1 .(3)因?yàn)樾马旤c(diǎn)與原頂點(diǎn)(1 , 3)關(guān)于x軸對(duì)稱，故新頂點(diǎn)應(yīng)為(1 , -3).又拋物線開(kāi)口反向, a = -2.故所得拋物線解析式為 y = 2(x 1)2 3 = 2x2+4x5 .【總結(jié)升華】 當(dāng)拋物線的形狀確定以后，其位置完全決定于頂點(diǎn)，方向決定于 a的符號(hào)，故可利用移動(dòng) 后的頂點(diǎn)坐標(biāo)與開(kāi)口方向求移動(dòng)后的拋物線的解析式.舉一反三：【變式】 將拋物

7、線 y= 4x2向右平移 2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到的拋物線解析式為.2【答案】y = -3x 12x -7.把拋物線y + r向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到拋物線y7求b, c的值. 【答案與解析】根據(jù)題意得，y=(x-4) 2-2=x 2-8x+14,【總結(jié)升華】 把拋物線y = +bl + C向上平移2個(gè)單位，再向左平移 4個(gè)單位，得到拋物線 y)也就意味著把拋物線 "尸向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到拋物線了二戶.舉一反三：11 0【變式】一次函數(shù)y= (x-3)2+4的圖象可以看作是二次函數(shù) y = x2的圖象向平移4個(gè)單位,2 2再向 平移3

8、個(gè)單位得到的.【答案】上；右.類型二、二次函數(shù)y = a( x - h)2 + k(a # 0)性質(zhì)的綜合應(yīng)用Q2，一、3 .已知 y=a(xh)與 y2 =kx+b的圖象交于 A、B兩點(diǎn)，其中 A(0, -1) , B(1, 0).(1)確定此二次函數(shù)和直線的解析式；(2)當(dāng)y1 < y2時(shí)，寫出自變量x的取值范圍.【答案與解析】2(1)y1=a(x-h) , y2=kx+b的圖象交于 A B兩點(diǎn)，2-1 =a(0 -h)曰 k b =0,42且40 =a(1 - h) b=T.a - -1, f k = 1,解得,且,h=1, b = -1.二次函數(shù)的解析式為 y = _(x1)2,

9、直線方程為y=x1.(2)畫出它們的圖象如圖所示，由圖象知當(dāng) x<0或x>1時(shí)，y1cy2.【總結(jié)升華】可先由待定系數(shù)法建立方程組求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)圖象寫出自變量的取 值范圍.如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A (2, 1),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)Q與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.(1)求拋物線的解析式；(2)求 AOB的面積；(3)若點(diǎn)P ( m, -m)(0)為拋物線上一點(diǎn)，求與P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)Q坐標(biāo).(注：拋物線x=- -b). 2a【思路點(diǎn)撥】(1)已知拋物線的頂點(diǎn)為A (2, 1),設(shè) 拋物線為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h) 2+k ,把點(diǎn)O (0, 0)代入即可求解析式；(2)由拋物

10、線的對(duì)稱軸為直線x=2,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O (0, 0),根據(jù)對(duì)稱性得出與x軸的另個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出4AOB的面積；(3)將點(diǎn)P ( m, -m)代入y=- 1 ( x-2 ) 2+1 ,得出-m=- 1 ( m-2) 2+1 ,解方程求出m的值 得到P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性即可求出P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案與解析】解：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a ( x-2 ) 2+1 將點(diǎn)O (0, 0)的坐標(biāo)代入得：4a+1=0 ,X 4X 1=2 ;S/ AOB =所以二次函數(shù)的解析式為y=- 1 ( x-2 ) 2+1 ;4,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O (0, 0)(3) .點(diǎn) P ( m, -m)( m 0)為拋物線 y=- 1 ( x-2 ) 2+1 上一點(diǎn)，41- -m=- 1