高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(五十九)　定點(diǎn)、定值、探索性問題 (2)

1、1 / 5 課時(shí)作業(yè)(五十九) 定點(diǎn)、定值、探索性問題 1在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知 q(1,2)，f(1,0)，動點(diǎn) p 滿足|pq of|pf|。 (1)求動點(diǎn) p 的軌跡 e 的方程； (2)過點(diǎn) f 的直線與 e 交于 a，b 兩點(diǎn)，記直線 qa，qb 的斜率分別為 k1，k2，求證：k1k2為定值。 解 (1)設(shè) p(x，y)，則pq(1x,2y)， pf(1x，y)。of(1,0)， 由|pq of|pf|得 |1x| (1x)2(y)2，化簡得 y24x， 即動點(diǎn) p 的軌跡 e 的方程為 y24x。 (2)證明：設(shè)過點(diǎn) f(1,0)的直線方程為 xmy1，a(x1，y1

2、)，b(x2，y2)。 由 xmy1，y24x得 y24my40， 所以 y1y24m，y1y24。 因?yàn)?k1k2y12x11y22x21， x1my11，x2my21， 所以 k1k2y12my12y22my22 (y12)(my22)(y22)(my12)(my12)(my22) 2my1y2(22m)(y1y2)8m2y1y22m(y1y2)4， 將 y1y24m，y1y24 代入上式，得 k1k28m284m242， 故 k1k2為定值2。 2(2021 成都診斷性檢測)已知橢圓 c：x22y21 的右焦點(diǎn)為 f，過點(diǎn) f 的直線(不與 x 軸重合)與橢圓c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，直

3、線 l：x2 與 x軸相交于點(diǎn) h，過點(diǎn) a 作 adl，垂足為 d。 (1)求四邊形 oahb(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍； (2)證明直線 bd 過定點(diǎn) e，并求出點(diǎn) e 的坐標(biāo)。 解 (1)由題意得 f(1,0)，設(shè)直線 ab： xmy1(mr)，a(x1，y1)，b(x2，y2)。 由 xmy1，x22y21， 消去 x，得(m22)y22my10， 則 4m24(m22)0，y1y22mm22， y1y21m22， 所以|y1y2| (y1y2)2 (y1y2)24y1y22 2 m21m22。 所以四邊形 oahb 的面積 s12|oh| |y1y2|y1y2|2 2 m21m

4、22。 令 m21t，則 t1，s2 2tt212 2t1t。 因?yàn)?t1t2(當(dāng)且僅當(dāng) t1，即 m0 時(shí)取等號)，所以 0b0)的離心率 e 滿足 2e23 2e20，右頂點(diǎn)為 a，上頂點(diǎn)為 b，點(diǎn)c(0，2)，過點(diǎn) c 作一條與 y 軸不重合的直線 l，直線 l交橢圓 e于 p，q兩點(diǎn)，直線 bp，bq分別交 x軸于點(diǎn) m，n，當(dāng)直線 l經(jīng)過點(diǎn) a 時(shí)，l的斜率為 2。 (1)求橢圓 e 的方程； (2)證明：sbom sbcn為定值。 解 (1)由 2e23 2e20， 解得 e22或 e 2(舍去)， 所以 a 2c，又 a2b2c2，所以 a 2b。 又 kac0(2)a0 2，所

5、以 a 2，所以 b1 ， 所以橢圓 e 的方程為x22y21。 (2)證明：由題知，直線 l 的斜率存在，設(shè)直線 l的方程為 ykx2， 設(shè) p(x1，y1)，q(x2，y2)， 由 ykx2，x22y21，得(2k21)x28kx60， 由 (8k)246(2k21)16k2240， 得 k232， 所以 x1x28k2k21，x1x262k21， 所以 y1y2k(x1x2)442k21， y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)442k22k21。 直線 bp 的方程為 yy11x1x1， 令 y0，得 xx11y1， 則 mx11y1，0，同理可得 nx21y2，

6、0， 所以 sbom sbcn34x11y1x21y2 34x1x2(1y1)(1y2) 34x1x21(y1y2)y1y2 3 / 5 3462k21142k2142k22k2112， 所以 sbom sbcn為定值12。 4(2021 長沙市模擬考試)已知橢圓 c1：x2a2y2b21(ab0)的右頂點(diǎn)與拋物線 c2：y22px(p0)的焦點(diǎn)重合，橢圓 c1的離心率為12，過橢圓 c1的右焦點(diǎn) f 且垂直于 x 軸的直線被拋物線截得弦的長度為 4 2。 (1)求橢圓 c1和拋物線 c2的方程。 (2)過點(diǎn) a(4,0)的直線 l 與橢圓 c1交于 m，n 兩點(diǎn)，點(diǎn) m 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)

7、為 e。當(dāng)直線 l 繞點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線 en 是否經(jīng)過一定點(diǎn)？請判斷并證明你的結(jié)論。 解 (1)設(shè)橢圓 c1的半焦距為 c。依題意， 可得 ap2，則 c2：y24ax， 代入 xc，得 y24ac，即 y 2 ac， 所以 4 ac4 2， 則有 ac2，ca12，a2b2c2，所以 a2，b 3， 所以橢圓 c1的方程為x24y231， 拋物線 c2的方程為 y28x。 (2)依題意，當(dāng)直線 l的斜率不為 0 時(shí)， 設(shè)其方程為 xty4， 由 xty4，3x24y212，得(3t24)y224ty360。 設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 e(x1，y1)。 由 0，得 t2

8、， 且 y1y224t3t24，y1y2363t24。 根據(jù)橢圓的對稱性可知，若直線 en 過定點(diǎn)，此定點(diǎn)必在 x 軸上，設(shè)此定點(diǎn)為 q(m,0)。 因?yàn)?knqkeq，所以y2x2my1x1m， (x1m)y2(x2m)y10， 即(ty14m)y2(ty24m)y10， 2ty1y2(m4)(y1y2)0， 即 2t363t24(m4)24t3t240， 得(3m4)t(m1)t0， 由 t是大于 2 或小于2 的任意實(shí)數(shù)知 m1， 所以直線 en 過定點(diǎn) q(1,0)。 當(dāng)直線 l 的斜率為 0 時(shí)，直線 en 的方程為 y0， 也經(jīng)過點(diǎn) q(1,0)， 所以當(dāng)直線 l繞點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)時(shí)，

9、 直線 en 恒過一定點(diǎn) q(1,0)。 5已知拋物線 c：x22py(p0)的焦點(diǎn)為 f，過點(diǎn) f 的直線分別交拋物線于 a，b 兩點(diǎn)。 (1)若以 ab 為直徑的圓的方程為(x2)2(y3)216，求拋物線 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過點(diǎn) a，b 分別作拋物線的切線 l1，l2，證明：l1，l2的交點(diǎn)在定直線上。 解 (1)設(shè) ab 中點(diǎn)為 m，a 到準(zhǔn)線的距離為 d1，b 到準(zhǔn)線的距離為 d2，m到準(zhǔn)線的距離為 d， 則 dymp2。 由拋物線的定義可知，d1|af|，d2|bf|， 所以 d1d2|ab|8， 由梯形中位線可得 dd1d224， 4 / 5 所以 ymp24。 又 ym3

10、，所以 3p24，可得 p2， 所以拋物線 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24y。 (2)證明：設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 由 x22py，得 yx22p， 則 yxp，所以直線 l1的方程為 yy1x1p(xx1)， 直線 l2的方程為 yy2x2p(xx2)， 聯(lián)立得 xx1x22，yx1x22p， 即直線 l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為x1x22，x1x22p。 因?yàn)?ab 過焦點(diǎn)f0，p2， 由題可知直線 ab 的斜率存在，故可設(shè)直線 ab 的方程為 yp2kx，代入拋物線 x22py 中， 得 x22pkxp20， 所以 x1x2p2，l1，l2交點(diǎn)的縱坐標(biāo) yx1x22pp22pp2，

11、 所以 l1，l2的交點(diǎn)在定直線 yp2上。 6(2021 江西省紅色七校聯(lián)考)已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率 e22，過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦的長度為 2。 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 (2)已知直線 l 與橢圓相交于 a，b 兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn) o 到直線 l 的距離為63，問：aob 的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由。 解 (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0)。 因?yàn)?e22，所以ca22。 根據(jù)題意，點(diǎn)c，22在橢圓上，則c2a212b21， 于是1212b21，解得 b1。 因?yàn)?a 2c，a2c2b21，所以 c1，a 2。 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21。 (2)當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，由坐標(biāo)原點(diǎn) o 到直線 l的距離為63可知 a63，63，b63，63或 a63，63， b63，63， 所以oa ob0，所以aob90 ， 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的方程為 ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 因?yàn)樵c(diǎn) o 到直線 l的距離為63， 所以|m|1k263， 整理得 3m22(k21)(*)， 5 / 5 由 x22y21，ykxm，得(2k21)x24kmx2m220。 (4km)24(2k21)(2m22)8(2k2m