2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、第函數(shù)概念與卑本初等函數(shù)I2.4二次函數(shù)與幕函數(shù)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)知識梳理知識梳理妥點講解探層突破妥點講解探層突破1.二次函數(shù)(1) 二次函數(shù)解析式的三種形式1一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a豐0).2頂點式：f(x)= a(x m)2+ n(a 0).3零點式：f(x)= a(x x)(x X2)(a 工 0).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0 時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0,+ )上單調(diào)遞增；4當(dāng)a0 時，幕函數(shù)的圖象都過點 (1,1)，且在(0,+ )上單調(diào)遞減.【思考辨析】判斷下面結(jié)論

2、是否正確(請在括號中打“V”或“X”)4ac_ b1 2(1)二次函數(shù) y= ax2+ bx+ c, x a, b的最值4a二次函數(shù) y= ax2+ bx+ c, x R，不可能是偶函數(shù).(X)(3)在 y = ax2+ bx+ c(a* 0)中，a 決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大 小.(V)1函數(shù)y=2x2是幕函數(shù).(X)如果幕函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.當(dāng) n0, 即卩 m21，解得 m1.2 .已知函數(shù) f(x)= ax2+ x+ 5 的圖象在 x 軸上方，則 a 的取值范圍是 _1答案 ，+則實數(shù) m 的取值范圍是 _a0,a0,i解析由題意知.0,即

3、1-20a2013 .函數(shù)y=x3的圖象是_ .(填序號)U J kJ7知701”刁E答案ii解析 顯然 f( x) = f(x)，說明函數(shù)是奇函數(shù)，同時由當(dāng) OvXV1 時，x3X；當(dāng) x 1 時，x3vx故只有符合.4.已知函數(shù) y= x2 2x+ 3 在閉區(qū)間0 , m上有最大值 3,最小值 2，貝Vm 的取值范圍為答案1,2解析 如圖，由圖象可知m 的取值范圍是1,2.5.(教材改編)已知幕函數(shù) y= f(x)的圖象過點 2, 2，則此函數(shù)的解析式為 _;在區(qū)間_ 上遞減.1答案y=x1(0,+)題型分類深度剖析題型一求二次函數(shù)的解析式例 1 已知二次函數(shù) f(x)滿足 f(2) =

4、1, f( 1) = 1，且 f(x)的最大值是 8，試確定此二次函數(shù)的解析式.解方法一(利用一般式):設(shè) f(x) = ax2+ bx+ c(a豐0).所求二次函數(shù)為 f(x)= 4X2+4X+7.方法二(利用頂點式):設(shè) f(x) = a(x m)2+ n. f(2) = f( 1),1m= 2又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8, n= 8, y = f(x)= a x 22+ 8.- f(2) = 1,1 a 22+ 8= 1，解得 a= 4,1 f(x) = 4 x 22+ 8 = 4x2+ 4x+ 7.方法三(利用零點式):由已知 f(x)+ 1 = 0 的兩根為 X1= 2, x2= 1,故

5、可設(shè) f(x)+ 1 = a(x 2)(x + 1),即 f(x) = ax2 ax 2a 1.4 a 2 a_ 1 _ _ a2又函數(shù)的最大值是 8,即4a- - = 8.4a解得 a= 4,所求函數(shù)的解析式為f(x) = 4x2+ 4x+ 7.思維升華 求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，所用所給出的條 件，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解.蛾蹋訓(xùn)給 1(1)二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為 x= 2,最小值為一 1,則它的解析式是3 4(2)若函數(shù) f(x) = (x+ a)(bx+ 2a)(常數(shù) a, b R)是偶函數(shù)，且它的值域為(一, 4，則該函數(shù)的解析式 f(

6、x) =_ .4答案(1)f(x)= 2x2 2x+ 1 (2) 2x2+ 4解析(1)依題意可設(shè) f(x)= a(x 2)2 1,由題意得4a + 2b + c = 1,a b + c= 1,4aCb2= 8,4aa = 4,解得 b = 4,c= 7.拋物線的圖象的對稱軸為x=2+ 1 =2=12.又其圖象過點(0,1),-4a 1 = 1, - - a = 2*二 f(x) = 2(x_ 2)21.1f(x) = qx2 2x+ 1.由 f(x)是偶函數(shù)知 f(x)圖象關(guān)于 y 軸對稱， b = 2, f(x)= 2x2+ 2a2,又 f(x)的值域為(a,4, 2a2= 4,故 f(x

7、) = 2x2+ 4.題型二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題點 1 二次函數(shù)的單調(diào)性例 2 已知函數(shù) f(x) = x2+ 2ax + 3, x 4,6,(1) 求實數(shù) a 的取值范圍，使 y = f(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng) a= 1 時，求 f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.2 a解(1)函數(shù) f(x) = x2+ 2ax+ 3 的圖象的對稱軸為 x= = a,要使 f(x)在4,6上為單調(diào)函數(shù)，只需一a6，解得 a 4 或 a0 ,其圖象如圖所示.又 x 4,6, f(|x|)在區(qū)間4， 1)和0,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間1,0)和1,6上為增函 數(shù).命題點 2 二次函數(shù)的最值例 3 已知函數(shù) f(

8、x) = x2 2x，若 x 2,3，則函數(shù) f(x)的最大值為 _ .答案 8解析 f(x)= (x 1)2 1, / 2wx 3(如圖)， f(X)max= f( 2) = 8.引申探究已知函數(shù) f(x) = x2-2x,若 x -2 , a，求 f(x)的最小值.解函數(shù) y = x2-2x= (x- 1)2 1,對稱軸為直線 x= 1, x = 1 不一定在區(qū)間2, a內(nèi)，應(yīng)進行討論，當(dāng)一 21 時，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減， 在1 , a上單調(diào)遞增，則當(dāng) x= 1 時，y 取得最小值，即 ymin= 1.綜上，當(dāng)一 21 時，ymin= 1.命題點 3 二次函數(shù)中的恒成立問題例 4 (1

9、)設(shè)函數(shù) f(x)= ax2 2x+ 2,對于滿足 1x0，則實數(shù) a 的取值 范圍為_ .已知 a 是實數(shù)，函數(shù) f(x) = 2ax2+ 2x 3 在 x 1,1上恒小于零，則實數(shù) a 的取值范圍為11答案2，(2) m,解析 由題意得 a2 $對 1x4 恒成立,x xp22o112, 1 11 彳又廠 x=2x22+2，412.(2)2ax2+ 2x 30 在1,1上恒成立.當(dāng) x= 0 時，適合；3 1 111當(dāng)XM0 時，a f(x)恒成立？a f(X)max, a f(x)恒成立？a f(x)min.憑琮訓(xùn)練 2已知函數(shù) f(x)= x2+ 2ax+ 2, x 5,5.(1)當(dāng)

10、a= 1 時，求函數(shù) f(x)的最大值和最小值；求實數(shù) a 的取值范圍，使 y = f(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù).解 當(dāng) a= 1 時，f(x) = x2 2x+ 2= (x 1)2+ 1, x 5,5,所以當(dāng) x= 1 時，f(x)取得最小值 1 ；當(dāng) x= 5 時，f(x)取得最大值 37.函數(shù) f(x) = (x+ a)2+ 2 a2的圖象的對稱軸為直線x= a,因為 y= f(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)，所以一 a 5,即卩 a5.故 a 的取值范圍是(一R,5U5 ,+).題型三幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)例 5 (1)已知幕函數(shù) f(x)= kxa的圖象過點 1，乎，貝Uk+a=_.1

11、 1若(2m+1)2(m2+m1)2，則實數(shù) m 的取值范圍是 _.答案(1)3亠尹,2解析由幕函數(shù)的定義知 k= 1.又 f * =屮,1、f213所以 1a= 2，解得a=1，從而 k+a=3.1因為函數(shù)y=x2的定義域為0,+),5所以 a 0,所以不等式等價于m2+ m 1 0,2m+ 1m2+ m 1.1解 2m+1A0,得 mA ;解 m2+ m 1A0,得 mw-2_1 或 mA眾眾1解 2m + 1m2+ m 1,得1m2,思維升華(1)幕函數(shù)的形式是 y= xR),其中只有一個參數(shù)a因此只需一個條件即可確定其解析式.(2)在區(qū)間(0,1)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x

12、 軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1, +g)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x 軸.銀採劉 I 練3(1)已知幕函數(shù) f(x)=(m2m1) x5m3在(0,+g)上是增函數(shù)，則 m=1 1若(a+1)2(32a)2,則實數(shù) a 的取值范圍是2答案1(2) 1, |)解析T函數(shù) f(x) = (m2 m 1)x5m3是幕函數(shù)，/ m2 m 1 = 1, 解得 m = 2 或 m= 1.當(dāng) m= 2 時，一 5m 3 = 13,函數(shù) y= x13在(0, +g)上是減函數(shù);當(dāng) m= 1 時，一 5m 3= 2，函數(shù) y= x2在(0, + )上是增函數(shù).1易知函數(shù)y=x2的定義域為0，+

13、g)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以a+ 1A0,3 2aA0,a+ 13 2a,解之得-1wa2.思想與方法系列3 .分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用典例 (14 分)已知 f(x) = ax2 2x(0 0 時，f(x)= ax2 2x 圖象的開口方向向上，且對稱軸為x = -.4 分a1當(dāng)- 1 時，f(x) = ax2 2x 圖象的對稱軸在0,1內(nèi)，a11二 f(x)在0,匚上遞減，在-,1上遞增.aa“、1121八f(x)min=f(a)=aa=孑分12當(dāng)-1,即 0a1 時，f(x)= ax2 2x 圖象的對稱軸在0,1的右側(cè)，/ f(x)在0,1上遞減.af(x)min= f(1)

14、= a 2.10 分當(dāng) a0 時，f(x)= ax2 2x 的圖象的開口方向向下，1且對稱軸 X=-0,在 y 軸的左側(cè)，af(x) = ax2 2x 在0,1上遞減. f(x)min= f(1) = a 2.13 分a 2,a 1.a，溫馨提醒(1)本題在求二次函數(shù)最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數(shù)a 的符號進行討論，又對對稱軸進行討論在分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致， 二是分類時要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論.在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動，仍應(yīng)對區(qū)間進行分類討論.-思韻方法感悟提高-方法與技巧1.二次函數(shù)的三種形式(

15、1)已知三個點的坐標(biāo)時，宜用一般式.已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時，常使用頂點式.已知二次函數(shù)與 x 軸有兩個交點，且橫坐標(biāo)已知時，選用零點式求f(x)更方便.2 .研究二次函數(shù)的性質(zhì)要注意：(1) 結(jié)合圖象分析；(2) 含參數(shù)的二次函數(shù)，要進行分類討論.3 利用幕函數(shù)的單調(diào)性比較幕值大小的技巧在比較幕值的大小時，必須結(jié)合幕值的特點，轉(zhuǎn)化為同指數(shù)幕，再選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其 單調(diào)性進行比較.失誤與防范1.對于函數(shù) y= ax2+ bx+ c,要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a豐0,當(dāng)題目條件中未說明 a豐0 時，就要討論 a= 0 和 0 兩種情況.2.幕函數(shù)的圖

16、象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；幕函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果幕函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.練出高分A 組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40 分鐘)1._ 如果函數(shù) f(x)= x2 ax 3 在區(qū)間(一汽 4上單調(diào)遞減，則實數(shù) a 的范圍是 _. 答案8 ,+ )解析函數(shù)圖象的對稱軸為 x= 2,由題意得 24,解得 a 8.2.函數(shù) f(x)= (m2 m 1)xm是幕函數(shù)，且在 x (0,+ )上為增函數(shù)，則實數(shù) m 的值是答案 2解析 f(x)= (m2 m 1)xm是幕函數(shù)？m2 m 1 = 1 ? m

17、= 1 或 m= 2.又在 x (0, +g)上是 增函數(shù)，所以 m= 2.3 .設(shè)函數(shù) f(x) = x2+ x+ a(a0)，且 f(m)1解析Tf(x)的對稱軸為 x= , f(0) = a0, f(x)的大致圖象如圖所示.由 f(m)0，得1m0, f(m+ 1)f(0)0.4 .若函數(shù) f(x) = x2 ax a 在區(qū)間0,2上的最大值為 1,則實數(shù) a=_答案 1解析T函數(shù) f(x) = x2 ax a 的圖象為開口向上的拋物線，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得，/ f(0) = - a, f(2) = 4-3a,a 4 3a, a0 的解集為答案(30)3解析 由題意設(shè) f(x)=

18、 ax2+ bx+ 2 (a 工 0),則 f (x)= 2ax+ b, / f (x) = x 1,f(x)=2 - x+ 2,令 f(x)0，得3x0 ,不等式 f(10 x)0 可化為 010 x1 , x0)，若? X1 1,2, ? X2 1,2，使得 f(x1)= g(x2),則實數(shù) a 的取值范圍是_ .答案 3,+s)解析 由函數(shù) f(x)= x2 2x= (x 1)2 1,當(dāng) x 1,2時，f(X)min= f(1) = 1 , f(x)max= f( 1)=3, 即函數(shù) f(x)的值域為1,3，當(dāng) x 1,2時，函數(shù) g(x)min= g( 1) = a + 2 , g(x

19、)max= g(2)=a+2w 1,2a+ 2,若滿足題意則2a + 2 3,解得 a 3.答案 1 或 32a = 1,b= 1,1a = 2,b= 1,7 .當(dāng)0 xg(x)f(x)解析如圖所示為函數(shù)f(x), g(x), h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知，h(x)g(x)f(x).+3)，貝 U a 的值為解析由于函數(shù) f(x)的值域為1，+g),所以 f(x)min= 1.又 f(x) = (x a)2 a2+ 2a + 4,當(dāng) x R 時，f(x)min= f(a)= a2+ 2a + 4 = 1,即 a2 2a 3= 0,解得 a= 3 或 a= 1.9 .已知函數(shù) f(x)

20、= ax2+ bx+ 1(a, b 為實數(shù)，a豐0, x R).(1)若函數(shù) f(x)的圖象過點(一 2,1)，且方程 f(x)= 0 有且只有一個根，求f(x)的表達式;在(1)的條件下，當(dāng) x 1,2時，g(x)= f(x) kx 是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) k 的取值范圍. 解(1)因為 f( 2) = 1，即 4a 2b + 1 = 1,所以 b = 2a.因為方程 f(x) = 0 有且只有一個根，所以= b2 4a= 0.所以 4a2 4a= 0,所以 a= 1,所以 b= 2.所以 f(x)= x2+ 2x+ 1.(2)g(x) = f(x) kx=x2+ 2x+ 1 kx= x2 (k 2)x+ 1k 2=xk 一 2k2由 g(x)的圖象知：要滿足題意，則一廠2 或6 或 kw0,所以所求實數(shù) k 的取值范圍為(一g,0U6 ,