13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題教學(xué)設(shè)計(jì)

1、134 課題學(xué)習(xí)最短路徑教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析1 1、 地位作用：隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時(shí)、省財(cái)力、省物力而希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問題。 這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別。 初中數(shù)學(xué)中路徑最短問題，體現(xiàn)了 數(shù)學(xué)來源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。2 2、 目標(biāo)和目標(biāo)解析：（1 1）目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最 值問題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想. .（2 2） 目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能講實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河

2、”抽象 為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題，能利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間， 線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最算路徑的過程中， 體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想 3 3、 教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：禾 I I用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問題教學(xué)難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題突破難點(diǎn)的方法：禾 I I用軸對(duì)稱性質(zhì)，作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， 連接對(duì)稱點(diǎn)和已知 點(diǎn)，得到一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決 二、教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、導(dǎo)學(xué)案三、教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活 動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情景引入課題師： 前面我們研究過一

3、些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中， 線段 最短”、 “連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線 段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實(shí)生活 中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探 究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題” （板書）課題學(xué)生思 考教師 展示問題，并觀 察圖片， 獲得感 性認(rèn)識(shí) 從生活中問 題出發(fā)，喚 起學(xué)生的學(xué) 習(xí)興趣及探 索欲望 二、自主探究合作交流建構(gòu)新知 追問 1 1:觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問題 這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 活動(dòng) 1 1:思考畫圖、得出數(shù)學(xué)問題將 A A, B B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河 I I 抽象為一條直線.B動(dòng)手畫直線追問 2 2 你

4、能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答， 并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：(1 1)從 A A 地出發(fā)，到河邊 I I 飲馬，然后到 B B 地；(2 2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與 A,BA,B 連 接起來的兩條線段的長度之和，就是從 A A 地 到飲馬地點(diǎn)，再回到 B B 地的路程之和；(3 3)現(xiàn)在的問題是怎 樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線 I I 上的點(diǎn).設(shè) C C 為 直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn) C C 在 I I 的 什么位置時(shí)，ACAC 與 CBCB 的和最小(如圖).AVBC 嘩*/B”強(qiáng)調(diào)：將最短路徑問題

5、抽象為“線段和最小問題”活動(dòng) 2 2:嘗試解決數(shù)學(xué)問題問題 2 2 :如圖，點(diǎn) A A，B B 在直線 I I 的同側(cè)，點(diǎn) C C 是直線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) C C 在 I I 的什么位置時(shí)，ACAC 與 CBCB 的和 最小？追問 1 1 你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條 件的點(diǎn) BB嗎？觀察口答動(dòng)手連線觀察口答獨(dú)立思 考合作交流匯報(bào)交流成果,書寫理由 思考感 悟活動(dòng)1 1 中的將 軍飲馬為 學(xué) 生 提 供參 與 數(shù) 學(xué) 活動(dòng) 的 生 活 情境， 培養(yǎng)學(xué) 生的把生活 問題轉(zhuǎn)化為 數(shù)學(xué)問題的 能力 經(jīng)歷觀察- - 畫圖- -說理 等活動(dòng)，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學(xué)生的邏 輯思

6、考能力. .達(dá) 到 軸 對(duì) 稱知 識(shí) 的 學(xué) 以致用注 意 問 題 解決 方 法 的 小結(jié)： 抓對(duì)稱 性來解決及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，注問題 3 3 如圖，點(diǎn) A,A, B B 在直線 I I 的同側(cè)，點(diǎn) C C 是直線C師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相 補(bǔ)充如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示 作法：（1 1）作點(diǎn) B B 關(guān)于直線 I I 的對(duì)稱點(diǎn) BB;（2 2）連接 ABAB，與直線 I I 相交于點(diǎn) C,C,則點(diǎn) C C 即為所求. 如圖所示：問題 3 3 你能用所學(xué)的知識(shí)證明 ACAC +BC+BC 最短嗎?教師展示：證明：如圖，在直線 I I 上任取一點(diǎn) C C （與點(diǎn)

7、C C 不重合），連接 ACAC，BCBC，BB CC.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BCBC =B=B C,C, BCBC =B=B CC.ACAC +BC+BC=AC=AC +B+B C C = = ABAB ，ACAC +BC+BC=AC=AC +B+BC.問題， 把 剛學(xué)過 的方法 經(jīng)驗(yàn)遷移過來重方法規(guī)律的提煉總結(jié) 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) C C 在 I I 的什么位置時(shí), 最??？ACAC 與 CBCB 的和學(xué)生獨(dú) 立完成， 集體訂 正學(xué)以致用,及時(shí)鞏固學(xué)生獨(dú) 立完成， 集體訂 正注意問題解決方法的小結(jié)： 抓軸對(duì) 稱來解決CC方法提煉 C C 將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題冋題 4 4練習(xí) 如圖

8、，一個(gè)旅游船*從大橋 ABAB 的 P P 處前往山腳下的 Q Q 處接游客，然后將游客送往河 畫出旅游船的最短路徑.BCBC 上，再返回 P P 處，請(qǐng)互相交 流解題 經(jīng)驗(yàn)B大橋基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接 PQPQ 線段 PQPQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一 條直線 BCBC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn) P P，Q Q 在直線 BCBC 的同側(cè), 如何在 BCBC 上找到一點(diǎn) R,R,使 PRPR 與 Q QR R的和最小”.問題 5 5 造橋選址問題如圖，A A 和 B B 兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋 MNMN 喬早在何處才能使從 A A 到 B

9、B 的路徑 AMNAMN 最短？（假定河 的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）獨(dú)立完 成，交流 經(jīng)驗(yàn)觀察思 考，動(dòng)手 畫圖，用 軸對(duì)稱知識(shí)進(jìn) 行解決經(jīng)歷觀察- - 畫圖- -說理 等活動(dòng)，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學(xué)生的邏 輯思考能力. .提煉思想方法：軸對(duì)稱,線段和最短體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，體驗(yàn)軸對(duì)稱知識(shí)的應(yīng)用思維分析：1 1、如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從 A A 到 B B的路徑是 AM+MN+BAM+MN+B 那么怎樣確定什么情況 下最短呢？2 2、禾U用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維點(diǎn)撥：改變 AM+MN+BAM+MN+B 的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？ 什么圖形變換

10、能幫助我們呢？（估計(jì)有以下方法）1 1、把 A A 平移到岸邊 2 2、把 B B 平移到岸邊. .3 3、把橋平移到和 A A 相連. .4 4、把橋平移到和 B B 相連. .教師：上述方法都能做到使 AM+MN+BAM+MN+B 不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn). .1 1、2 2 兩種方法改變了 . .怎樣調(diào)整呢？把 A A 或 B B 分別向下或 上平移一個(gè)橋長那么怎樣確定橋的位置呢 ？問題解決：如圖，平移 A A 到 A1A1,使AA1A1 等于河寬，連接 A1A1B交河岸于N作橋MN,此時(shí)路徑AM + MN+BN最 短. . 理由；另任作橋MINI,連接AM1,BN1,A INI. . 由平移性質(zhì)

11、可知，AM=A1N,AA1=MN = M1N1,AM1=A1N1. . AM+MN+BAM+MN+B 轉(zhuǎn)化為AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1+ A1N1+BN1. . 在A1N1B中，由線段公理知 A1N1+BNA1N1+BNAA1BA1B 因此AM1+M1N1 + BN1 AM+MN+BNAM+MN+BN 如0圖所示：A各抒己動(dòng)手體驗(yàn)合作與交流動(dòng)手作圖1、性方法是煉 JM、 -Mi將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最爪問題” 性、牡I交流體 會(huì)體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思 想教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)N1學(xué)生活 動(dòng)設(shè)計(jì)意圖三、鞏固訓(xùn)練1、（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1 1 最短路徑問題（i i）求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與

12、直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示，點(diǎn) A A, B B 分別是直線 l l 異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在 1 1 上找一個(gè)點(diǎn) C C,使CACA + CBCB 最短，這時(shí)點(diǎn) C C 是直線 1 1 與 ABAB 的交點(diǎn).A（2 2）求直線冋側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)， 則與該直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示，點(diǎn) A A, B B 分別是直線 l l 同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在 1 1 上找一個(gè)點(diǎn) C C,使 CACA+ CBCB 最短，這時(shí)先作點(diǎn) B B 關(guān)于直線 l l 的對(duì)稱點(diǎn) B B,則點(diǎn)

13、 C C 是直線 1 1 與 ABAB的交點(diǎn).jtB學(xué)生獨(dú) 立思考 解決問 題鞏固所學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué) 生應(yīng)用知識(shí) 的能力，滲 透轉(zhuǎn)化思 想. .C C 疋12.如圖，A A 和 B B 兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一 座橋 MNMN 和 P PQ Q橋分別建在何處才能使從 A A 到 B B 的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）A AB如圖，問題中所走總路徑是 AM+MN+NP+PQBAM+MN+NP+PQB .橋 MNMN 和 PQPQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點(diǎn)之間，線 段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè) 先走橋長. .平移的方法

14、有三種：兩個(gè)橋長都平移到 A A 點(diǎn)處、都獨(dú)立思 考，合 作交流 提煉方法， 為課本例題 奠定基礎(chǔ). .平移到 B B 點(diǎn)處、MNMN 平移到 A A 點(diǎn)處，PQPQ 平移到 B B 點(diǎn)處B B，要在河邊建一自來水廠向(1)(1) 若要使廠部到 A A，B B 村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)(2) 若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？(三)綜合訓(xùn)練：茅坪民族中學(xué)八(2)(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖 a a 所示兩直排( (圖中的 AOAO，BO)BO)，AOAO 桌面上擺滿了橘子，OBOB 桌面上擺滿了糖果, 站在 C C 處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖 b b四、反思小結(jié)布置作業(yè) 小結(jié)反思(1) 本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？(2) 軸對(duì)稱在所研究問題中起什么作用？解決問題中，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ 你還有哪些收獲？作業(yè)布置、課后延伸必做題：課本 P93-15P93-15 題；選做題：生活中，你發(fā)現(xiàn)那些需要 用到本課知識(shí)