(完整word版)高一數(shù)學(xué)：函數(shù)知識點總結(jié),推薦文檔

1、1函數(shù)復(fù)習(xí)主要知識點一、函數(shù)的概念與表示1、映射(1 )映射：設(shè) A、B 是兩個集合，如果按照某種映射法則 f，對于集合 A 中的任一個元素，在集合 B 中都 有唯一的元素和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的對應(yīng)法則 f)叫做集合 A 到集合 B 的映 射，記作 f: ATB。注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射2、函數(shù)構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域?qū)?yīng)法則值域兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同例 1、下列各對函數(shù)中，相同的是()二、函數(shù)的解析式與定義域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：(1) 分式的分母不為零；

2、(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；(3) 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;例.(05 江蘇卷)函數(shù)y Jlogo.5(4x23x)的定義域為 _2 求函數(shù)定義域的兩個難點問題例 3:(1)已知 f (x)的定義域是-2,5, 求 f(2x+3)的定義域。(2)已知 f(2x1)的定義域是-1,3,求 f( x)的定義域A、f (x)lg x2,g(x)2lg xB、C、f(u)1 u1 v&D、1 v1 u,g(v)x 1f(x) lg ,g(x) lg(x 1) lg(x 1)x 12f (x) =x,f (x).

3、x例 2、M x 10 x2, Ny|0 y的有( )A、0 個B、1 個 C 、2 個i5i32一刁221zL 二V1O12 xO12 xO3給出下列四個圖形，其中能表示從集合D 、3 個M 到集合 N 的函數(shù)關(guān)系2例4:設(shè)f（x）9=，則嚀的定義域為變式練習(xí)：f (2 x)4 x2，求f (. x)的定義域。三、函數(shù)的值域i 求函數(shù)值域的方法1直接法：從自變量 x 的范圍出發(fā)，推出 y=f（x）的取值范圍，適合于簡單的復(fù)合函數(shù)；2換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；3判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y 的取值范圍；適合分母為二次且x R 的分

4、式;4分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x 有范圍限制時要畫圖）;5單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；6圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域；7利用對號函數(shù)8幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)例:1.（直接法）yx22x 32.f (x)2. 24 2x x23.(換元法)y x ,2x 14.(法)3xx245.yx21x216.（分離常數(shù)法）y3x 1(2x 1(4)37.(單調(diào)性)y x (x 1,3)2x429.(圖象法)y 3 2x x ( 1 x 2)10.(對號函數(shù))y 2x - (x 4)x11.(幾何意義)y x 2 x 1四. 函數(shù)的奇偶性證明：f (

5、x)在(1, 1)上為奇函數(shù);4 若奇函數(shù)f (x)(x R)滿足f (2)1,f (x 2)8.yx 1.x 1，y x 1,x 1(結(jié)合分子/分母有理化的數(shù)學(xué)方法)1 .定義：設(shè) y=f(x) , x A，如果對于任意x A，都有f ( x)f (x)，則稱 y=f(x)為偶函數(shù)。如果對于任意x A，都有f ( x)f(x)，則稱 y=f(x)為奇函數(shù)。2.性質(zhì)：1y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,2若函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則 f(0)=0y=f(x)是奇函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱奇埼=奇 偶禺=偶 奇苗=偶3.奇偶性的判斷偶河禺=偶 奇河禺=奇兩

6、函數(shù)的定義域 D1, D2, D1QD2要關(guān)于原點對稱看 f(x)與 f(-x)的關(guān)系)上的偶函數(shù).當(dāng)x (, 0)時，f(x) x x4，則當(dāng)x (0,)時,2 已知定義域為R的函數(shù)f (x)是奇函數(shù)。(i)求a,b的值；(n)若對任意的t R，不等式f (t22t)f(2t2k) 0恒成立，求k的取值范圍;3 已知f(x)在(1, 1)上有定義，且滿足x,y ( 1,1)有 f (x)f(y)f(xy),f(x) f(2)，則f(5)_5五、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義:2 設(shè)y f g x是定義在 M 上的函數(shù)，若 f(x)與 g(x)的單調(diào)性相反，則y f g x在 M 上是減函數(shù)

7、；若 f(x) 與 g(x)的單調(diào)性相同，貝U y f g x在 M 上是增函數(shù)。例：1 判斷函數(shù)f(x) x3(x R)的單調(diào)性。2 函數(shù)f (x)對任意的m,n R，都有f (m n) f(m) f(n) 1，并且當(dāng)x 0時，f(x) 1,求證：f (x)在R上是增函數(shù)； 若f (3)4，解不等式f(a2a 5)23 函數(shù)y log。x 2x2)的單調(diào)增區(qū)間是 _(叩)(B)(0,1)( C)7,3( D中)六函數(shù)的周期性:說明：nT 也是f(x)的周期。(推廣)若f(x a) f (x b)，貝U f (x)是周期函數(shù)，b a是它的一個周期對照記憶：f (x a) f (x a)說明:f

8、 (a x) f (a x)說明:4(高考真題)已知f(x)(亦1)x 4a，x 1是(logaX,x 1)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是 ()1.(定義)若f (x T) f (x)(T0)f (x)是周期函數(shù)，T 是它的一個周期。62.若f (x a)f(x)；f (x a)1f(x)f(xa)1f(x)；則f(x)周期是 2a7例：1 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為()(A) 1(B) 0(C)1(D)22 定義在 R 上的偶函數(shù) f(x),滿足f(2 x) f(2 x),在區(qū)間-2,0 :上單調(diào)遞減，設(shè)a f( 1.5), b f

9、G/2), c f (5)，貝 Ua, b,C的大小順序為 _3 已知 f (x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x 2)1,若 f (1)23,則 f (2005)=_ .1f (x)4 已知f (x)是(-,)上的奇函數(shù)，f (2 x) f (x)，當(dāng) 0 x1 時，f(x)=x，貝 U f(7.5)=_5 設(shè)f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù) x 恒滿足f(2 x) f (x)，當(dāng)x 0,2時f(x) 2x x2求證：f (x)是周期函數(shù)；當(dāng)x 2,4時，求f (x)的解析式；計算：2-I-Jr +-七、反函數(shù)1、只有單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值

10、域和定義域；2、 求反函數(shù)的步驟(1 )解 換 寫定義域。3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)(1) y=f(x)和 y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱；(2) y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性；(3) 已知 y=f(x)，求 f-1(a),可利用 f(x)=a，從中求出 x,即是 f-1(a);(4) f-1f(x)=x;(5)若點(a,b)在 y=f(x)的圖象上，貝 V (b,a)在 y=f-1(x)的圖象上；(6) y=f(x)的圖象與其反函數(shù) y=f-1(x)的圖象的交點一定在直線y=x 上；111例：設(shè)函數(shù)y f (x)的反函數(shù)為y f x)，且y f(2x 1)的圖像過

11、點(一，1),則y f x)的圖像必過211(A)(,1)( B)(1-)(C)(1,0)(D)(0,1)22_、十2c元二次方程ax bx c 0(a0)的根為二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a 工 0)y 0的x的取值。元二次不等式ax2bx c 0(0)的解集(a0)八二次函數(shù)(涉及二次函數(shù)問題必畫圖分析)1.二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a豐0)的圖象是一條拋物線，對稱軸2二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系b，頂點坐標(2a(b 4ac b2a 4a2-)8(5) 0 的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0 的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義2.有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)r s1 a aar sa 0,r,s Q

12、2rsrsaa a0,r, s Qr3 abr ra ba 0,b 0,r Q3根式根式的性質(zhì)：當(dāng)n是奇數(shù)攵， 則a；當(dāng)f n 是偶數(shù)， 則nanaaa 0aa 04.對數(shù)(1)對數(shù)的概念：如果aN(a0, a1)，那么 b 叫做以 a 為底N 的對數(shù)，記bloga,N(a 0,a1)例:二次函數(shù)情況Y=ax2+bx+c (a0) =b2-4acV 0 =0 02ax +bx+c0)(a0) 1,在(-O，+O)上為增函數(shù)0va1 ?y1,在(0,+O)上為增函數(shù)0va0?y0 , a 工 1)互為反函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)-般形式定義域值域 過定點Y=ax(a0 且 1)(-m，+OO)(0

13、,+O)圖象y=logax (a0 ,a豐1)(0,+O)(-O,+(0,1)(1,0)指數(shù)函數(shù) y=ax與對數(shù)函數(shù) y=logax (a0 , a 工 1)圖象關(guān)于 y=x 對稱(2)對數(shù)的性質(zhì)：零與負數(shù)沒有對數(shù)loga1 0logaa 1例:對數(shù)的降幕公式:logamNn-logaN(N 0,a0 且 a 1)m(1)(4)(4ab1)3r(0.1)2(a3b3)2lg 8 lg 125 lg 2 lg 5lgVi0 lg0.1單調(diào)性值分布104、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)_ 討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑。例：11、(1)y.ig xlg(5 3x)的定義域為;(

14、2)y 2門的值域為;(3)yig( x2x)的遞增區(qū)間為，值域為2、( 1)log211X0,則x243、要使函數(shù)y 1 2x4xa在x,1上y 0恒成立。求a的取值范圍。114.若 a“+ ax_w0 (a 0 且 a豐1),求 y=2a2x 3 ax+4 的值域.22卜一函數(shù)的圖象變換(1)1、平移變換：(左+ 右-,上+下-)即yf (x)h0 ,右移；h 0 ,左移yf(xh)yf (x)k0 ,下移；k 0 ,上移yf(x)k 對稱變換：(對稱誰,誰不變，對稱原點都要變)yf (x)x軸yf(x)yf ( x )y軸yf (x)yf ( x )原點yf ( x)yf ( x )y xyf1(x)yf ( x )y軸右邊不變，左邊為右邊部分的對稱圖yf (x|)yf ( x )保留x軸上方圖，將x軸下方圖上翻yf (x)例：1. f(x)的圖象過點(0,1)，則 f(4-x)的反函數(shù)的圖象過點()A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2 作