MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1、實(shí)驗(yàn)二 定積分的近似計(jì)算學(xué)號(hào)： 姓名：XX一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 加深理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法，了解定積分近似計(jì)算的矩陣形法、梯形法與拋物線法。2. 會(huì)用matlab語言編寫求定積分近似值的程序。3. 會(huì)用matlab中的命令求定積分。二、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 定積分近似計(jì)算的幾種簡單數(shù)值方法在許多實(shí)際問題中，常常需要計(jì)算定積分的值。根據(jù)微積分學(xué)基本原理，若被積函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)，只需要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，就可以用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算。但在工程技術(shù)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，有一些定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)可能求不出來，即使可求出，計(jì)算也可能很復(fù)雜。特別地，當(dāng)被積函數(shù)是圖形或表格給出時(shí)

2、，更不能用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算。因此必需尋求定積分的近似計(jì)算方法。大多數(shù)實(shí)際問題的積分需要用數(shù)值積分方法求出近似結(jié)果。數(shù)值積分原則上可以用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替被積函數(shù)，用對(duì)多項(xiàng)式的積分結(jié)果近似代替對(duì)被積函數(shù)的積分。由于所選多項(xiàng)式形式的不同，可以有許多種數(shù)值積分方法，下面介紹最常用的幾種插值型數(shù)值積分方法。1) 矩形法定積分的幾何意義是計(jì)算曲邊梯形的面積，如將區(qū)間a,bn等分，每個(gè)小區(qū)間上都是一個(gè)小的曲邊梯形，用一個(gè)個(gè)小矩形代替這些小曲邊梯形，然后把小矩形的面積加起來就近似地等于整個(gè)曲邊梯形的面積，于是便求出了定積分的近似值，這就是矩形法的基本原理。假如在a,b上可積，利用定積分的定義 （2-1）

3、可知當(dāng)n充分大時(shí)，可將視為積分的近似值，這里是取自第k個(gè)區(qū)間中的值。如果將區(qū)間a,bn等分，結(jié)點(diǎn)分別記為稱為積分步長。如果子區(qū)間的左端點(diǎn)（或右端點(diǎn)）作為，作部分和。用積分和作為定積分的近似值，公式（2-1）可以表示為 或 （2-2）即 或 式（2-2）稱為計(jì)算定積分的矩形公式。2) 梯形法將積分區(qū)間a,bn等分，用線段一次連接各分點(diǎn)，每段都形成一個(gè)小的直角梯形。如果我們用這些小直角梯形面積之和代替原來的小曲邊梯形面積之和代替原來的小曲邊梯形面積之和，就可得定積分的近似值。在第k個(gè)子區(qū)間上，小曲邊梯形上網(wǎng)面積近似為則得到近似公式 （2-3）即其中。它的實(shí)際含義是利用逐段線性函數(shù)作為的近似，式（2

4、-3）稱為梯形求積公式。3) 拋物線法為了提高計(jì)算精度，可以用分段二次插值函數(shù)代替。由于每段都要用到相鄰兩個(gè)小區(qū)間斷電的三個(gè)函數(shù)值，所以小區(qū)間上用三個(gè)節(jié)點(diǎn)作二次插值函數(shù)，然后積分可得 求m段之和就得整個(gè)區(qū)間上的近似積分 （2-4）公式（2-4）稱為拋物形公式（辛普森求積公式）。4) 三種算法的誤差計(jì)算在利用數(shù)值方法求積分的近似值時(shí)，需要根據(jù)計(jì)算精度的要求，選擇一個(gè)適合的積分公式。矩形法在每個(gè)小區(qū)間上用零次多項(xiàng)式（即常數(shù)）代替被積函數(shù)，若函數(shù)可導(dǎo)，由泰勒公式得到 矩形公式（2-2）的誤差為 或 。記可以粗略的估計(jì)誤差，得到 （2-5） 梯形公式在小區(qū)間上用線性插值函數(shù)代替，若函數(shù)二階可導(dǎo)，可以得

5、到 梯形公式（2-3）的誤差為 記可以粗略的估計(jì)誤差，得到 （2-6）上式表明梯形公式（2-3）的誤差是階的，即是2階收斂的。若函數(shù)四階可導(dǎo)，還可以求出辛普森公式（2-4）的誤差 其中即誤差為階的（有興趣的讀者可參閱各種數(shù)值分析教材關(guān)于數(shù)值積分的章節(jié)）。從前面的求積分中科院看出誤差隨著n的增大（即步長減?。┒鴾p小，因此對(duì)于給定的誤差限，我們可以根據(jù)誤差估計(jì)式確定適當(dāng)?shù)牟介L。由于（2-6）式或（2-7）式都含有高階導(dǎo)數(shù)，一般不容易估計(jì)。下面以梯形公式為例說明計(jì)算過程。在編程計(jì)算定積分采用如下方法估計(jì)誤差：記誤差極限，逐步計(jì)算，若則以作為的近似值。上述程序的效率并不高，因?yàn)樵谟?jì)算的信息，在實(shí)際求積

6、過程中，通常采用步長加倍法每次將上一次的每個(gè)小區(qū)間等分為二，因此區(qū)間n增加一倍，隨著n的增加，計(jì)算精度也隨著增加，直至滿足精度要求（通常是通過比較前后兩次計(jì)算值的誤差是否滿足精度要求來確定是否中斷計(jì)算）。由（2-6）式可知，當(dāng)n增加一倍時(shí)，所以只要，計(jì)算出的即可滿足的精度要求。而每次分點(diǎn)加密一倍時(shí)，原分點(diǎn)的函數(shù)值不需要重新計(jì)算，只需要求出新分點(diǎn)（的中點(diǎn)）的函數(shù)值（記作），即可算出。對(duì)于辛普森公式也可作類似處理。2. 相關(guān)的matlab命令matlab命令用途sum(x)如果x是向量，則sum(x)給出x的各個(gè)元素的累加和；如果x是矩陣，則sum(x)是一個(gè)元素為x的每列列和的行向量。symsu

7、m(s,k,m,n)用于求symsum(s,n)用于求s=quad(fun,a,b)近似地計(jì)算a到b函數(shù)fun的數(shù)值積分，誤差為s=quad(fun,a,b,tol)用指定的絕對(duì)誤差tol代替缺省誤差s=quad1(fun,a,b,)用高精度進(jìn)行計(jì)算，在同樣的精度下高階方法quad1要求的節(jié)點(diǎn)較少，效率可能比quad更高trapz(x,y)用梯形法計(jì)算y在x點(diǎn)上的積分，其中步長x=x0,x1xn和函數(shù)值y=f0 f1fn為同維向量。步長取短，結(jié)果較精確。int(s,v)對(duì)符號(hào)表達(dá)式S中指定的符號(hào)變量v計(jì)算不定積分int(s,v.a,b)對(duì)表達(dá)式S中指定的符號(hào)變量v計(jì)算從a到b得定積分3. 實(shí)驗(yàn)

8、內(nèi)容1) 矩形法計(jì)算定積分近似值取，求定積分的近似值。 積分區(qū)間為0,1,等距劃分為20各子區(qū)間。 選取每個(gè)子區(qū)間的端點(diǎn)，并計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值。選取每個(gè)子區(qū)間的左端點(diǎn)處的函數(shù)值乘以區(qū)間長度全部加起來。結(jié)果為：s1可作為定積分的近似值。若選取右端點(diǎn)：結(jié)果為：S2可作為定積分的近似值。下面我們畫出圖象（見圖2-10.如果選取右端點(diǎn)，畫圖命令如下：在上邊的語句中，forend是循環(huán)語句，執(zhí)行語句體內(nèi)的語句20次，fill命令可以填充多邊形，在本例中，用的是藍(lán)色（blue）填充。得到圖形2-2.由圖顯見，選取左端點(diǎn)計(jì)算值編校，選取右端點(diǎn)值偏大?？稍嚾?0各子區(qū)間看一看結(jié)果怎樣。下面按等分區(qū)間計(jì)算。的結(jié)

9、果圖2-22) 編程用巨形法計(jì)算定積分的近似值根據(jù)，編寫如下matlab程序：存為juxingfa.m。運(yùn)行juxingfa.m，結(jié)果為：可見，子區(qū)間個(gè)數(shù)較少時(shí)精確程度不夠高，取子區(qū)間個(gè)數(shù)為10000時(shí)結(jié)果就比較精確。3) 編程用梯形法計(jì)算定積分的近似值根據(jù)，編寫如下matlab程序：存為tixingfa.m，運(yùn)行tixingfa.m如下：4. 練習(xí)1) 編寫matlab程序計(jì)算下列和式：a) 1+3+5+999;解： b) 自定n的值。解： 取n=100 則：2) 取區(qū)間等分?jǐn)?shù)n=200，分別用矩形法及拋物線法編程，計(jì)算定積分的近似值。解：矩形法：積分區(qū)間為0,/2,等距劃分為200各子區(qū)間。 選取每個(gè)子區(qū)間的端點(diǎn)，并計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值。選取每個(gè)子區(qū)間的左端點(diǎn)處的函數(shù)值乘以區(qū)間長度全部加起來。結(jié)果為：s1可作為定積分的近似值。若選取右端點(diǎn)：結(jié)果為：S2可作為定積分的近似值。在上邊的語句中，forend是循環(huán)語句，執(zhí)行語句體內(nèi)的語句20次，fill命令可以填充多邊形，在本例中，用的是藍(lán)色（blue）填充。得到圖形2-2.由圖顯見，選取左端點(diǎn)計(jì)算值編校，選取右端點(diǎn)值偏大?？稍嚾?0各子區(qū)間看一看結(jié)果怎樣。下面按等分區(qū)間計(jì)算。的結(jié)果拋物線法：3) 利用梯形法編寫matlab程序計(jì)算定積分的近似值，并求的近似值。梯形法：結(jié)果：求ln2的近似值：因?yàn)閘n2=所以：ln2的近似值為0.6