線性代數(shù)試卷及答案

1、 線性代數(shù) A 試題（ A 卷）試卷類別：閉卷考試時(shí)間： 120 分鐘考試科目：線性代數(shù)考試時(shí)間：學(xué)號(hào)：姓名：題號(hào)一二三四五六七總分得分閱卷人一單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 30 分）1設(shè) A 經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽 ，則（）.(下面的 r ( A), r ( B) 分別表示矩陣A, B 的秩 )。( A)r ( A)r (B) ；(B)r ( A)r ( B) ；(C )r ( A)r (B) ；(D )無(wú)法判定 r ( A) 與 r (B) 之間的關(guān)系。2設(shè) A 為 n ( n2) 階方陣且 | A |0 ，則（）。( A)A 中有一行元素全為零；(B)A 有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例；(C

2、)A 中必有一行為其余行的線性組合；( D )A 的任一行為其余行的線性組合。3. 設(shè) A, B 是 n 階矩陣 ( n2 ),ABO ,則下列結(jié)論一定正確的是: ()(A)AO或BO;(B)B的每個(gè)行向量都是齊次線性方程組AX =O 的解 .(C)BAO;(D )R( A)R(B)n.4下列 不是 n 維向量組1,2 ,.,s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）( A)存在一組不全為零的數(shù)k1 ,k2 ,., ks 使得 k1 1k2 2.kssO ；第1頁(yè)共6頁(yè)( B)不存在一組不全為零的數(shù)k1 ,k2 ,., ks 使得 k1 1k2 2 .ks s O(C )1,2 ,.,s的秩等于 s ；(

3、D )1,2 ,.,s中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示1aa .aa1a .a5設(shè) n 階矩陣 (n3)A . .，若矩陣 A 的秩為 n1，則 a 必為（）。.aaa .1( A)1；(B)1；(C )1；(D )1.1 nn1a100b16四階行列式0a2b20的值等于（）。0b3a30b400a4( A) a1a2 a3a4b1b2b3b4 ；(B)a1a2 a3 a4b1b2b3b4 ；(C )( a1 a2 b1b2 )(a3 a4b3b4 ) ； (D )( a2 a3 b2b3 )(a1 a4b1b4 ) .7設(shè) A為四階矩陣且Ab ，則 A 的伴隨矩陣A*的行列式為（）。

4、( A)b ；( B)b2 ；(C )b3 ；(D )b48設(shè)A為 n 階矩陣滿足 A23 A InO ，I n為 n 階單位矩陣 則1（）, A( A ) I n ；( B) A3I n ；(C )A 3I n ；( D ) 3A I n9設(shè) A ， B 是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）。( A)A 與 B 的秩相同；(B)A 與 B 的特征值相同；(C )A 與 B 的特征矩陣相同；(D )A 與 B 的行列式相同；第2頁(yè)共6頁(yè)10設(shè) A 為 n 階矩陣 ,則 A 以 0 為特征值是A0 的（）。( A)充分非必要條件；( B)必要非充分條件；(C )既非充分又非必要條件；( D

5、 )充分必要條件；二填空題（每小題3 分，共 18分）00041計(jì)算行列式0043。043243211001231002.010456001_ 。0017890103二次型f ( x1 , x2 , x3 )x1 x2 x2 x3 x3x1 對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為。4已知 1(0,0,1) ，2 ( 22, 22,0)， 3 ( 22, 22,0)是歐氏空間3 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則向量(1,1,1)在這組基下的坐標(biāo)為。7415已知矩陣A471 的特征值為13(二重 ), 212, 則 x_。44x6設(shè)1,2 ,3 均為 3 維列向量，記矩陣 A1,2,3，B(1 2 3,12243, 13 293)

6、 。如果 |A| 1，則|B|。23121三(8 分) A120 , B1 0, AX B,求X。10331第3頁(yè)共6頁(yè)四（10 分）設(shè)向量組1(1,1,2,3) T ，2(1, 1,1,1)T ，3(1,3,3,5)T ，4(4,2,5,6) T ，5( 3, 1, 5, 7) T 。試求它的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。x1x2px32五（ 12 分）討論線性方程組x1px2x31解的情況， 并在有無(wú)窮多解時(shí)求其解 。px1x2x31第4頁(yè)共6頁(yè)124六（ 14 分）設(shè) A222，（ 1）、求出 A 的所有特征值和特征向量；（ 2）、求正交 矩陣 T ，421使得

7、 T 1 AT 為對(duì)角矩陣。七（ 8 分）對(duì)任意的矩陣A ,證明：(1) A AT 為對(duì)稱矩陣 , A AT 為反對(duì)稱矩陣；(2) A 可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。線性代數(shù) A參考答案（ A 卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 30 分）12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每小題3 分，共 18 分）第5頁(yè)共6頁(yè)132011221、256；2、465；3、101；22798110224、 1,2,0；5、 4；6、2。三 解：因?yàn)榫仃?A 的行列式不為零 ,則 A 可逆 ,因此 XA 1B.為了求 A1B,可利用下列初等行變換的方法：2312112010120

8、101201023121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103（6 分）278所以 XA 1 B144.（ 8 分）103四解：對(duì)向量組1,2, 3,4 ,5 作如下的初等行變換可得：1114311143(1,2,3,4,5 )11321022622135501131315670226211143102120113101131000000000（ 5 分）00000000000從 而1 ,2 ,3,4, 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為1,2， 故 秩1, 2, 3, 4, 5 2（8 分）第6頁(yè)共

9、6頁(yè)且3212，4132，5212（10分）五解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：11p211p21p121p110p 1 1 p30p 11 p3p 11101 p 1 p21 2p002 p p24 2 p1p120p11p3( 4分)00(2p)( p 1)4 2 p(1)當(dāng) p1 0,且 (2p)( p 1) 0時(shí) , 即 p1,且 p2時(shí), 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3,此時(shí)方程組有唯一解.（5 分）(2)當(dāng) p1時(shí),系數(shù)矩陣的秩為 1,增廣矩陣的秩為 2,此時(shí)方程組無(wú)解 .（ 6 分）(3)當(dāng) p2時(shí), 此時(shí)方程組有無(wú)窮多組解 .方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為11221

10、122112212110333011121110333000010110111（8分）0000故原方程組與下列方程組同解:x1x31x2x31令 x30, 可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解0( 1, 1,0)T;x1x30, 令它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組x3的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)元素x20第7頁(yè)共6頁(yè)x31,可得1(1,1,1)T 為該齊次線性方程組的一個(gè)解,它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 .此時(shí)原方程組的通解為k0 0k1 1 , 這里 k0 , k1為任意常數(shù) . （ 12 分）六解：（1）由于A的特征多項(xiàng)式124|I A|222(3)2 (6)421故 A 的特征值為13 （二重特征值） ，

11、36 。（ 3 分）424x10當(dāng) 13時(shí)，由 ( 1IA)XO ，即：212x20 得424x30基礎(chǔ)解系為11,2,0 T , 2 1,0,1T，故屬于特征值13 的所有特征向量為 k11k22 ,k1 , k2 不全為零的任意常數(shù)。（ 6 分）524x10當(dāng) 36時(shí)，由 (3 IA) XO ，即：282x20得基425x30礎(chǔ)解系為32,1,2 T ，故屬于特征值 26的所有特征向量為k33 ,k3為非零的任意常數(shù)。-(8分 )(2)將1 ,2正交化可得：11 1,2,0 T ,222 ,114 ,2 ,1T1 ,155。再將其單位化得：第8頁(yè)共6頁(yè)TT115,2 5,0,224 5 ,2 5 ,5155215153T將3 單位化得：32,1,2。（ 12 分）3 33則1,2,3是A的一組單位正交的特征向量，令54525153T1,2 ,3252515153052333則 T 是一個(gè)正交矩陣，且T 1AT3。（ 14 分）6七證明：(1)因?yàn)?(AAT )TAT(AT )TAAT,因此A