第十二講平行線問題

1、第十二講 平行線問題平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的 “斑馬線 ”以及黑板框的對(duì)邊、 桌面的對(duì)邊、 教室墻壁的對(duì)邊等等均是互相平行的線段正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識(shí)及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識(shí)正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對(duì)象 歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)， 產(chǎn)生了三種不同的幾何 (羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何 )，它們?cè)谑谷藗冋J(rèn)識(shí)宇宙空間中起著非常重要的作用現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個(gè)公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，

2、有且只有一條直線與這條直線平行”在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理下面我們舉例說明這些知識(shí)的應(yīng)用例1如圖1 18，直線a b ，直線AB交a 與b 于A，B，CA平分 1，CB平分2，求證：C=90 °分析由于 a b， 1 ， 2 是兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角，因此1+ 2=過 C 點(diǎn)作直線l，使l a( 或 b) 即可通過平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移證 過 C 點(diǎn)作直線 l ，使 l a( 圖 1 19) 因?yàn)?a b ，所以 b l，所以 1+ 2=180 ° (同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ) )因?yàn)?AC 平分 1 ，BC 平分 2，所以又 3= CAE ， 4= CBF( 內(nèi)錯(cuò)角相

3、等 )，所以 3+ 4= CAE+ CBF說明做完此題不妨想一想這個(gè)問題的“反問題”是否成立，即“兩條直線a ，b 被直線 AB 所截 (如圖 1 20 所示 ) ，CA ，CB 分別是 BAE 與 ABF 的平分線，若 C=90 °，問直線 a 與直線 b 是否一定平行？”由于這個(gè)問題與上述問題非常相似 (將條件與結(jié)論交換位置 )，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解例 2 如圖 121 所示， AA 1BA 2 求 A1-B1+A2分析本題對(duì) A 1， A 2， B 1 的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個(gè)角的大小無關(guān)也就是說，不管A 1， A2 ， B1 的大

4、小如何，答案應(yīng)是確定的我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即 A1 + A2=B 1 猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明式給我們一種啟發(fā)，能不能將 B1 一分為二使其每一部分分別等于A 1 與 A 2這就引發(fā)我們過B1 點(diǎn)引AA 1 (從而也是BA 2)的平行線，它將B1 一分為二證 過 B1 引 B 1E AA 1，它將 A1B1A 2 分成兩個(gè)角：1， 2( 如圖 122 所示 )因?yàn)?AA 1 BA 2 ，所以 B1 E BA 2從而 1= A1， 2= A 2(內(nèi)錯(cuò)角相等 )，所以 B1=1+ 2= A 1+ A2，即 A1- B1+ A2=0說明 (1) 從證題的

5、過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)在于AA 1 BA 2 ，它與連接A 1， A 2 兩點(diǎn)之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖 1 23 所示連接 A1 ，A2 之間的折線段增加到4 條：A1 B1 ，B 1A 2， A2B2， B 2A 3，仍然有 A 1+ A2 + A3 =B 1 +B 2(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即 A 1- B1 + A2 - B2 +A 3=0 進(jìn)一步可以推廣為 A1 -B 1 +A 2- B2 - Bn -1 + A n=0 這時(shí)，連結(jié)A 1，A n 之間的折線段共有n 段 A1 B1 ，B 1A 2， ， Bn -1 An (當(dāng)然，仍要保持AA 1 BA n)推廣

6、是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡(jiǎn)單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況(2) 這個(gè)問題也可以將條件與結(jié)論對(duì)換一下，變成一個(gè)新問題問題 1 如圖 1 24 所示 A1+ A2 = B1 ，問 AA 1 與 BA 2 是否平行？問題 2 如圖 1 25 所示若 A1 + A2 + An= B 1+ B 2+ B n-1 ，問 AA 1 與 BA n 是否平行？這兩個(gè)問題請(qǐng)同學(xué)加以思考例 3 如圖 126 所示 AE BD ， 1=3 2， 2=25 °，求 C分析利用平行線的性質(zhì)，可以將角 “轉(zhuǎn)移” 到新的位置， 如 1= DFC 或 A

7、FB 若能將 1 ， 2 ， C“集中”到一個(gè)頂點(diǎn)處，這是最理想不過的了，過F 點(diǎn)作 BC 的平行線恰能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)解 過 F 到 FGCB，交AB 于 G，則 C= AFG( 同位角相等 )， 2= BFG( 內(nèi)錯(cuò)角相等 )因?yàn)锳E BD，所以 1= BFA( 內(nèi)錯(cuò)角相等 )，所以 C= AFG= BFA- BFG=1-2=3 2-2=2 2=50 °說明 (1) 運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(平行線 )的常用技巧(2) 在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識(shí)后，可有以下較為簡(jiǎn)便的解法：1= DFC= C+2，即 C= 1- 2=2 2=50 °例 4 求證：三

8、角形內(nèi)角之和等于180 °分析平角為 180 °若能運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三角形三個(gè)內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個(gè)平角，問題即可解決，下面方法是最簡(jiǎn)單的一種證 如圖 1 27 所示，在 ABC 中，過 A 引 lBC ，則 B= 1， C= 2(內(nèi)錯(cuò)角相等 )顯然 1+ BAC+ 2= 平角，所以 A+ B+ C=180 °說明 事實(shí)上，我們可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處，不過，解法將較為麻煩同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法

9、例 5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360 °分析 應(yīng)用例 3 類似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，將這四個(gè)角“聚合”在一起使它們之和恰為一個(gè)周角在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程證 如圖 1 28 所示，四邊形 ABCD 中，過頂點(diǎn) B 引 BE AD ，BF CD ，并延長(zhǎng) AB ， CB 到 H，G則有 A= 2( 同位角相等 )，D= 1( 內(nèi)錯(cuò)角相等 )， 1= 3(同位角相等 ) C= 4( 同位角相等 )，又 ABC( 即 B)= GBH( 對(duì)頂角相等 )由于 2+ 3+ 4+ GBH=360 °，所以 A+ B+ C+ D=360 °說

10、明 (1) 同例 3，周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變(2) 總結(jié)例 3 、例 4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：三角形內(nèi)角和 =180 ° =(3-2) × 180 °，四邊形內(nèi)角和=360 ° =2 × 180 ° =(4-2) × 180 °人們不禁會(huì)猜想：五邊形內(nèi)角和=(5-2) × 180 ° =540 °，n 邊形內(nèi)角和 =(n-2) × 180 °這個(gè)猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡(jiǎn)單(3) 在

11、解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法例 6 如圖 1 29 所示直線 l 的同側(cè)有三點(diǎn) A ，B，C ，且 AB l，BC l求證： A，B ，C 三點(diǎn)在同一條直線上分析 A ，B， C 三點(diǎn)在同一條直線上可以理解為ABC 為平角，即只要證明射線BA與 BC 所夾的角為180 °即可，考慮到以直線l 上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，該點(diǎn)分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過B 作與 l 相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B 處證 過 B 作直線BD ，交 l 于

12、D因?yàn)?AB l， CB l，所以 1= ABD ， 2= CBD( 內(nèi)錯(cuò)角相等 )又 1+ 2=180 °，所以 ABD+ CBD=180 °，即 ABC=180 ° =平角A ， B， C 三點(diǎn)共線思考若將問題加以推廣：在 l 的同側(cè)有n 個(gè)點(diǎn) A1 ，A2 ， ，An-1 ，An ，且有 AiAi+1 l(i=1 ， 2， ， n-1) 是否還有同樣的結(jié)論？例 7 如圖 130 所示 1=2， D=90 °， EF CD 求證： 3= B分析 如果 3= B，則應(yīng)需 EF BC 又知 1= 2 ，則有 BC AD 從而，應(yīng)有 EF AD 這一點(diǎn)從條件 EF CD 及 D=90 °不難獲得證 因?yàn)?1= 2，所以AD BC( 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)因?yàn)?D=90 °及 EF CD ，所以AD EF( 同位角相等，兩直線平行)所以BC EF( 平行公理 )，所以 3= B( 兩直線平行，同位角相等)練習(xí)十二1如圖 1 31 所示已知AB CD ， B=100 °， EF 平分 BEC ， EG EF 求 BEG 和 DEG 2如圖 1 32 所示CD 是 ACB 的平分線， ACB=40 °，