(完整版)反比例函數(shù)與一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合經(jīng)典例題解析

1、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合經(jīng)典例題解析在歷年中考試題中一次函數(shù)和反比例函數(shù)常以綜合題形式出現(xiàn)，這類試題不僅能考查兩個函數(shù)的基本性質(zhì)，而且能考查同學們綜合分析問題的能力?，F(xiàn)以以下典型例題為例，淺談這類問題的解法，供參考。. .探求同一坐標系下的圖象例 1.1.已知函數(shù)y mx與yn在同一直角坐標系中的圖象大致如圖1 1,則下列結(jié)論正確x的是（）分析：由圖知，一次函數(shù)y mx中，y y 隨 x x 的增大而增大，所以m 0;反比例函數(shù)y -x在第二、四象限，所以n 0。觀察各選項知，應(yīng)選 B B。評注：本題要由所給圖象結(jié)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，方能作出正確選擇。k例 2 2 在同一直角坐標系中

2、，函數(shù)y kx k與y （k 0）的圖象大致是（）xA.A.B.B.C.C.D.D.圖 2 2分析：本題可采用排除法。由選項 A A、B B 的一次函數(shù)圖象知，k 0即k 0,則一次A.A.m 0, n 0C.C.m 0,n0B.B.m 0, n 0函數(shù)y kx k圖象與 y y 軸交點應(yīng)在 y y 軸負半軸，而選項 A A、B B 都不符合要求，故都排k除；由選項 D D 的一次圖象知，k 0即k 0,則反比例函數(shù)yk（k 0）圖象應(yīng)在第x一、三象限，而選項 D D 不符合要求，故也排除；所以本題應(yīng)選C C。評注：本題把一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標系中給出，有較強的綜合性，解 決這類

3、問題常用排除法。二.探求函數(shù)解析式k例 3 3 如圖 3 3，直線y kix b與雙曲線y只有一個交點 A A（ 1 1，2 2），且與 x x 軸，y yx軸分別交于 B B，C C 兩點，ADAD 垂直平分 0B0B,垂足為 D D，求直線與雙曲線的解析式。解析：k2因為雙曲線y過點 A A（ 1 1，2 2），xk所以2乞,k2212得雙曲線的解析式為y -。xA A 點的坐標為（1 1，2 2）。所以 B B 點的坐標為（2 2，0 0）。因為 ADAD 垂直平分 0B0B ,所以直線的解析式為y 2x 4因為y k1xb過點 A A（ 1 1，2 2）和 B B（ 2 2，0 0），

4、所以k1b 22k1b 0解得k12評注：解決本題的關(guān)鍵是確定點 B B 的坐標，由 ADAD 垂直 0B0B 知，點 D D 和點 A A 的橫坐標應(yīng) 相同，所以點 D D 的坐標為（1 1，0 0），又 ADAD 平分 0B0B 知，OB 20D 2，所以點 B B 坐 標為（2 2，0 0），進而求出一次函數(shù)解析式。三.探求三角形面積4例 4 4 如圖 4 4,反比例函數(shù)y的圖象與直線yxA.A. 8 8B.B. 6 641解析：把y代入y x，得x341xx 3整理得x212解得x12 . 3,x22、3把x12.3,X22 3分別代入4yx得y1joy?=33313X的交點為 A A

5、，B B，過點 A A 作 y y 軸3的平行線與過點 B B 作 x x 軸的平行線相交于點C C,貝U ABC的面積為（C.C. 4 4D.D. 2 2所以點 A A 的坐標為（2 3,2、3）3點 B B 的坐標為(2.3,23)3由題意知，點 C C 的橫坐標與點 A A 的橫坐標相同，點 C C 的縱坐標與點 B B 的縱坐標相同， 所以點 C C的坐標為(2 3,23)。3因為AC2伍-y/3,333所以ABC的面積為114-ACBC .3438223故應(yīng)選 A A。2例 5 5 如圖 5 5,已知點 A A 是一次函數(shù)y x的圖象與反比例函數(shù)y的圖象在第一象限內(nèi)x22析解：把y

6、x代入y，得x ，xx整理得x22，解得Xi2,x22A.A. 2 2B.B.C.C.2D.D.2 2的交點，點得Xi2,x22分別代入y x又點 A A 在第一象限內(nèi)，所以點 A A 的坐標為（,2, . 2）在AOC中AC、2,0C、2由勾股定理，得0A 2,所以 0B=20B=2。所以AOB的面積為11-OB AC 222，22故應(yīng)選（C C）評注：例 4 4 和例 5 5 中都利用解方程來求出兩函數(shù)圖象的交點坐標，這是求兩函數(shù)圖象交 點坐標的常用方法，蘊含著轉(zhuǎn)化思想。四 探求點的坐標1k例 6 6 如圖 6,6,直線y x 1分別交 x x 軸、y y 軸于點 A A ,C,C，點 P

7、 P 是直線 ACAC 與雙曲線y 2x在第一象限內(nèi)的交點，PB x軸，垂足為點 B B，APB的面積為 4 4。（1 1）求點 P P 的坐標；（2 2）略。1析解：在y x 1中，令x 0，則y 1；令y 0，則x 2。所以點 A A 的坐標為（-2-2，0 0），點 C C 的坐標為（0 0，1 1 ）。得yi2,y221因為點 P P 的直線y x 1上,21不妨設(shè)點 P P 的坐標為（m,-m 1）21所以AB m 2, PB m 1。21兩函數(shù)圖象的另一個交點為(,-4).評注:一次函數(shù) y = mx + 3n 與反比例函數(shù)2my=-x(1(1 , 2)2)，則該點坐標滿足兩解析式

8、；要求兩圖象交點,5n5-的圖象都經(jīng)過點則應(yīng)由兩圖象的解析1又因為SAPB*AB PB 411所以(m 2)(m 1)422整理得m24m 12 0即(m 2)(m6)0解得mj2,m26因為點 P P 在第一象限，所以m2。故點 P P 的坐標為(2 2, 2 2)。評注：本題的解答過程蘊含著設(shè)元思想、方程思想和轉(zhuǎn)換思想。五、綜合運用例 6 6 已知關(guān)于 x x 的一次函數(shù) y y = mxmx + 3n3n 和反比例函數(shù)點(1(1, - 2)2).求：(1)(1) 一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； 兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標.解析：(1)(1) 兩函數(shù)圖象都過點(1(1 , - 2)2)

9、,2m 5的圖象都經(jīng)過xm+ 3n= 2, 2m+ 5n= 2 .解之，得m= 4,n = 2.一次函數(shù)的解析式為 y y = 4x4x 6 6,2反比例函數(shù)的解析式為y=-.x(2)(2)根據(jù)題意，列出方程組y= 4x 6,2y=.解之，得y 一 2,1x =2y= 4.式組成方程組求解.k例 7 已知一次函數(shù) y= x + 6 和反比例函數(shù) y= (k 工 0).x(1)k(1)k 滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一坐標系 xOyxOy 中的圖象有兩個公共點?設(shè)中的兩個公共點為 A A，B B,試判斷/ AOBAOB 是銳角還是鈍角？y= x + 6,(1)根據(jù)題意，得消去 y y,得 x

10、x2 6x6x + k k= 0 0.3636 4k4k0 0,. k kv 9 9.當 k kv 9 9 且 k kz 0 0 時，方程 x x2 6x6x + k k= 0 0 有兩個不相等的非零實數(shù)解. k k v 9 9 且 k kz 0 0 時，兩函數(shù)圖象有兩個公共點./ y y= x x+ 6 6 的圖象過第一，二，四象限， 0 0v k kv9 9 時，雙曲線兩支分別在第一、三象限由此知兩公共點A A，B B 在第一象限，此時/ AOBAOB 是銳角.k kv0 0 時，雙曲線兩支分別在第二，四象限，兩公共點A A，B B 分別在第二、四象限，此時/ AOBAOB 是鈍角.例 8

11、 已知 A(m，2)是直線 I 與雙曲線 y=3的交點.x(1)求 m m 的值；(2)若直線 I I 分別與 x x 軸、y y 軸相交于 E E，F(xiàn) F 兩點，并且 RtRt OEF(OOEF(O 是坐標原點) ) 的外心為點 A A，試確定直線 I I 的解析式；3(3) 在雙曲線 y=上另取一點 B 作 BK 丄 x 軸于 K ;將 中的直線xI I 繞點 A A 旋轉(zhuǎn)后所得的直線記為 I I，若 I I與 y y 軸的正半軸相交于點 C C，一1且 OC = - OF .試問在 y 軸上是否存在點P，使得 SPCA= S BOK，4若存在，請求出點 P P 的坐標？若不存在，請說明理

12、由.圖】3OL解析：3:直線 l 與雙曲線 y =-的一個交點為 A(m, 2),33一 =2，即 m=二.m23 A 點坐標為(一，2).2 丿作 AMAM 丄 x x 軸于 M M ./ A A 點是 RtRt OEFOEF 的外心， EAEA = FAFA .由 AMAM / y y 軸有 0M0M = MEME . OFOF = 20M20M./ MAMA = 2 2, OFOF = 4 4. F F 點的坐標為(0(0, 4)4).設(shè) I I: y y = kxkx + b b，則有34k + b= 2,k = 一，23b = 4.b= 4.4直線 I 的解析式為 y = x+ 4.

13、31(3)TOC=4OF,AOC=1. C C 點坐標為(0(0, 1)1).設(shè) B B 點坐標為(X(X,，) )，貝 U U13-sBOK=-|x1|y1|=2設(shè) P P 點坐標為(0(0, y y)，滿足SPCA=S BOKBOK .當點 P P 在 C C 點上方時，y y 1 1, 有1333S PCA=2(y1)x=；(y1)=2 y y = 3 3.當點 P P 在 C C 點卜方時，y y v 1 1,有13S PCA2 (1y)=2 y y = 一 2 2.綜上知，在 y y 軸存在點 P(0P(0, 3)3)與(0(0, 2)2)，使得 S SPAC= S SBOK評注：直

14、線與雙曲線的綜合題的重要組成部分是兩種圖象的交點，這是惟一能溝通它們的要素，應(yīng)用交點時應(yīng)注意:(1)(1)交點既在直線上也在雙曲線上，交點坐標既滿足直線的解析式也滿足雙曲 線的解析式.(2)(2)要求交點坐標時，應(yīng)將兩種圖象對應(yīng)的解析式組成方程組，通過解方程組 求出交點坐標.(3)(3) 判斷兩種圖象有無交點時， 可用判別式確定， 也可以畫出草圖直觀地確定.例 9 如圖 13- 32,已知 C, D 是雙曲線 y=m在第一象限內(nèi)的分支x上的兩點，直線 CDCD 分別交 x x 軸，y y 軸于 A A , B B 兩點，設(shè) C C, D D 的坐標分別是(x(x1,y y1) ), (x(x2

15、, y y2) )，連結(jié) OCOC, ODOD .(1)求證：y! OCvy1+yi1 _若/ BOC =ZAOD =a,tana=3 , OC = 10，求直線 CD 的解3析式.證明：(1)(1)如圖 1313 3333 過點 C C 作 CGCG 丄 x x 軸，垂足為 G G,則 CGCG = y y1, OGOG = x x1.點 C(x1, y1)在雙曲線 y =上,xmy1在 RtRt OCGOCG 中，CGCG OCOC CGCG + OGOG , y1 OC y1+.y1解：在 RtRt GCOGCO 中，/ GCOGCO =Z BOCBOC =a, OC2= OG2+ CG2, OC =、. 10,10 = x2+ y2，即 10 = x2+ (3x1)2.解之，得 x x = 1 1.負值不合題意， x x = 1 1, y y = 3 3.點 C C 的坐標為(1(1 , 3)3),.點C在雙曲線 y = m 上，x 3=，即 m = 3.13所以，雙曲線的解析式為y=3.x過點 D D 作 DHDH 丄 x x 軸，垂足為 H H .貝 U U DHDH =