2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第3節(jié) 圓的方程 教案

1、1第三節(jié)第三節(jié)圓的方程圓的方程最新考綱1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1圓的定義及方程定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑 r一般方程x2y2dxeyf0， (d2e24f0)圓心d2，e2 ，半徑12d2e24f2.點與圓的位置關系點 m(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系：(1)若 m(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2(2)若 m(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2(3)若 m(x0，y0)在圓內，則(x0a

2、)2(y0b)2r2常用結論圓的三個性質(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程 x2y2a2表示半徑為 a 的圓()(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圓()(4)方程 ax2bxycy2dxeyf0 表示圓的充要條件是 ac0，b20，d2e24af0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1圓 x2y24x6y0 的圓心坐標和半徑分別是()a(2，3)，3b(2，3)， 3c(2，3)，13d(2，3)， 13d圓的方程

3、可化為(x2)2(y3)213，所以圓心坐標是(2，3)，半徑r 13.2已知點 a(1，1)，b(1，1)，則以線段 ab 為直徑的圓的方程是()ax2y22bx2y2 2cx2y21dx2y24aab 的中點坐標為(0，0)，|ab| 1（1）2（11）22 2，所以圓的方程為 x2y22.3過點 a(1，1)，b(1，1)，且圓心在直線 xy20 上的圓的方程是()a(x3)2(y1)24b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24d(x1)2(y1)24c設圓心 c 的坐標為(a，b)，半徑為 r.因為圓心 c 在直線 xy20 上，所以 b2a.又|ca|2|cb|2，所以(a1

4、)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以 a1，b1.所以 r2.所以方程為(x1)2(y1)24.4 在平面直角坐標系中， 經過三點(0， 0)， (1， 1)， (2， 0)的圓的方程為_x2y22x0設圓的方程為 x2y2dxeyf0.圓經過點(0，0)，(1，1)，(2，0)，f0，2def0，42df0，解得d2，e0，f0.圓的方程為 x2y22x0.考點 1圓的方程3求圓的方程的 2 種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑 r 有關，則設圓的標準方程，求出 a，b，r 的值；選擇圓的一般方程

5、，依據(jù)已知條件列出關于 d，e，f 的方程組，進而求出 d，e，f 的值(1)一題多解已知圓 e 經過三點 a(0，1)，b(2，0)，c(0，1)，且圓心在 x 軸的正半軸上，則圓 e 的標準方程為()a.x322y2254b.x342y22516c.x342y22516d.x342y2254(2)一題多解已知圓 c 的圓心在直線 xy0 上， 圓c 與直線 xy0 相切，且在直線 xy30 上截得的弦長為 6，則圓 c 的方程為_(1)c(2) (x1)2(y1)22(1)法一： (待定系數(shù)法)設圓 e 的一般方程為x2y2dxeyf0(d2e24f0)，則由題意得1ef0，42df0，1

6、ef0，解得d32，e0，f1，所以圓 e 的一般方程為 x2y232x10，即x342y22516.法二：(幾何法)因為圓 e 經過點 a(0，1)，b(2，0)，所以圓 e 的圓心在線段 ab 的垂直平分線 y122(x1)上又圓 e 的圓心在 x 軸的正半軸上，所以圓 e 的圓心坐標為34，0.則圓 e 的半徑為|eb|2342（00）254，4所以圓 e 的標準方程為x342y22516.(2)法一：由圓 c 的圓心在直線 xy0 上，設圓 c 的圓心為(a，a)又圓 c 與直線 xy0 相切，半徑 r2|a|2 2|a|.又圓 c 在直線 xy30 上截得的弦長為 6，圓心(a，a)

7、到直線 xy30 的距離 d|2a3|2，d2622r2，即（2a3）22322a2，解得 a1，圓 c 的方程為(x1)2(y1)22.法二：設所求圓的方程為 x2y2dxeyf0，則圓心為d2，e2 ，半徑 r12d2e24f，圓心在直線 xy0 上，d2e20，即 de0，又圓 c 與直線 xy0 相切，|d2e2|212d2e24f，即(de)22(d2e24f)，d2e22de8f0.又知圓心d2，e2 到直線 xy30 的距離d|d2e23|2，由已知得 d2622r2，(de6)2122(d2e24f)，5聯(lián)立，解得d2，e2，f0，故所求圓的方程為 x2y22x2y0，即(x1

8、)2(y1)22.幾何法與待定系數(shù)法是解答圓的有關問題的兩種常用方法，求解圓的方程時， 可采用數(shù)形結合的思想充分運用圓的幾何性質， 達到事半功倍的效果1.若不同的四點 a(5，0)，b(1，0)，c(3，3)，d(a，3)共圓，則a 的值為_7設圓的方程為 x2y2dxeyf0(d2e24f0)， 分別代入 a， b，c 三點坐標，得255df0，1df0，993d3ef0，解得d4，e253，f5.所以 a，b，c 三點確定的圓的方程為x2y24x253y50.因為 d(a，3)也在此圓上，所以 a294a2550.所以 a7 或 a3(舍去)即 a 的值為 7.2已知 ar，方程 a2x2

9、(a2)y24x8y5a0 表示圓，則圓心坐標是_，半徑是_(2，4)5由已知方程表示圓，則 a2a2，解得 a2 或 a1.當 a2 時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去當 a1 時，原方程為 x2y24x8y50，化為標準方程為(x2)2(y4)225，表示以(2，4)為圓心，半徑為 5 的圓考點 2與圓有關的最值問題斜率型、截距型、距離型最值問題與圓有關的最值問題的 3 種幾何轉化法6(1)形如ybxa形式的最值問題可轉化為動直線斜率的最值問題(2)形如 taxby 形式的最值問題可轉化為動直線截距的最值問題(3)形如 m(xa)2(yb)2形式的最值問題可轉化為動點到定點的距離的平方的最

10、值問題已知實數(shù) x，y 滿足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2的最大值和最小值解原方程可化為(x2)2y23，表示以(2，0)為圓心， 3為半徑的圓(1)yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設yxk，即 ykx.當直線 ykx 與圓相切時，斜率 k 取最大值或最小值，此時|2k0|k21 3，解得 k 3(如圖 1)所以yx的最大值為 3，最小值為 3.圖 1圖 2圖 3(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距， 當直線yxb與圓相切時，縱截距 b 取得最大值或最小值，此時|20b|2 3，解得 b2 6(如圖

11、 2)所以 yx 的最大值為2 6，最小值為2 6.(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，x2y2在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖 3)又圓心到原點的距離為 （20）2（00）22，所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)2774 3.與圓有關的 斜率型、截距型、距離型最值問題一般根據(jù)相應幾何意義，利用圓的幾何性質數(shù)形結合求解已知點 a(1，0)，b(0，2)，點 p 是圓 c：(x1)2y21 上任意一點，則pab 面積的最大值與最小值分別是()a2，252b252，252c. 5，4 5d.521，521b

12、由題意知|ab| （1）2（2）2 5，lab：2xy20，由題意知圓 c 的圓心坐標為(1，0)，圓心到直線 lab的距離 d|202|414 55.spab的最大值為12 54 551252，spab的最小值為12 54 551252.利用對稱性求最值求解形如|pm|pn|(其中 m，n 均為動點)且與圓 c 有關的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離(2)“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決已知圓 c1：(x2)2(y3)21，圓 c2：(x3)2(y4)29，m，n分別是圓 c1，c2上的動點，p 為

13、 x 軸上的動點，則|pm|pn|的最小值為()a5 24b. 171c62 2d. 17a(圖略)p 是 x 軸上任意一點，則|pm|的最小值為|pc1|1，同理|pn|的最小值為|pc2|3，則|pm|pn|的最小值為|pc1|pc2|4.作 c1關于 x 軸的對稱點 c1(2，3)所以|pc1|pc2|pc1|pc2|c1c2|5 2，即|pm|pn|8|pc1|pc2|45 24.本題在求解中要立足了兩點：(1)減少動點的個數(shù)，借助圓的幾何性質化圓上任意一點到點(a，b)的距離的最大(小)值為圓心到點(a，b)的距離加(減)半徑問題；(2)“曲化直”，即借助對稱性把折線段轉化為同一直線

14、上的兩線段之和的最值問題解決教師備選例題(1)設點 p 是函數(shù) y 4（x1）2圖象上的任意一點，點 q 坐標為(2a，a3)(ar)，則|pq|的最小值為_(2)已知 a(0，2)，點 p 在直線 xy20 上，點 q 在圓 c：x2y24x2y0 上，則|pa|pq|的最小值是_(1) 52(2)2 5(1)函數(shù) y 4（x1）2的圖象表示圓(x1)2y24 在 x 軸及下方的部分，令點 q 的坐標為(x，y)，則x2a，ya3得 yx23，即x2y60，作出圖象如圖所示，由于圓心(1，0)到直線 x2y60 的距離 d|1206|12（2）2 52，所以直線 x2y60 與圓(x1)2y

15、24 相離，因此|pq|的最小值是 52.(2)因為圓 c： x2y24x2y0， 故圓 c 是以 c(2， 1)為圓心， 半徑 r 5的圓設點 a(0，2)關于直線 xy20 的對稱點為 a(m，n)，故m02n2220，n2m01，解得m4，n2，故 a(4，2)連接 ac 交圓 c 于 q(圖略)，由對稱性可知|pa|pq|ap|pq|aq|ac|r2 5.(2019上饒模擬)一束光線從點 a(3，2)出發(fā)，經 x 軸反射到圓 c：9(x2)2(y3)21 上的最短路徑的長度是()a4b5c5 21d2 61c根據(jù)題意，設 a與 a 關于 x 軸對稱，且 a(3，2)，則 a的坐標為(3

16、，2)，又由 ac 25255 2，則 a到圓 c 上的點的最短距離為 5 21.故這束光線從點 a(3，2)出發(fā)，經 x 軸反射到圓 c：(x2)2(y3)21 上的最短路徑的長度是 5 21，故選 c.考點 3與圓有關的軌跡問題求與圓有關的軌跡問題的 4 種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質得出方程求解(4)代入法(相關點法)：找出要求的點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式求解(2019衡水調研)已知直角三角形 abc 的斜邊為 ab，且 a(1，0)，b(3，0)求：(1)直角頂點 c 的軌跡方程；(

17、2)直角邊 bc 的中點 m 的軌跡方程解(1)法一：設 c(x，y)，因為 a，b，c 三點不共線，所以 y0.因為 acbc，所以 kackbc1，又 kacyx1，kbcyx3，所以yx1yx31，化簡得 x2y22x30.因此，直角頂點 c 的軌跡方程為 x2y22x30(y0)法二：設 ab 的中點為 d，由中點坐標公式得 d(1，0)，由直角三角形的性質知|cd|12|ab|2.由圓的定義知，動點 c 的軌跡是以 d(1，0)為圓心，2 為半徑的圓(由于 a，b，c 三點不共線，所以應除去與 x 軸的交點)所以直角頂點 c 的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)設 m(x，y)

18、，c(x0，y0)，因為 b(3，0)，m 是線段 bc 的中點，由中點坐標10公式得 xx032，yy002，所以 x02x3，y02y.由(1)知，點 c 的軌跡方程為(x1)2y24(y0)，將 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動點 m 的軌跡方程為(x2)2y21(y0)此類問題在解題過程中， 常因忽視對特殊點的驗證而造成解題失誤教師備選例題已知過原點的動直線 l 與圓 c1：x2y26x50 相交于不同的兩點 a，b.(1)求圓 c1的圓心坐標；(2)求線段 ab 的中點 m 的軌跡 c 的方程解(1)由 x2y26x50 得(x3)2y24，所以圓 c1的圓心坐標為(3，0)(2)設 m(x，y)，因為點 m 為線段 ab 的中點，所以 c1mab，所以 kc1m kab1，當 x3 時可得yx3yx1，整理得x322y294，又當直線 l 與 x 軸重合時，m 點坐標為(3，0)，代入上式成立設直線 l 的方程為 ykx，與 x2y26x50 聯(lián)立，消去 y 得：(1k2)x26x50.令其判別式(6)24(1k2)50，得 k245，此時方程為95x26x50， 解上式得 x53， 因此53x3.所以線段 ab 的中點 m 的軌跡方程為x322y29453x3.設定點 m(3，4)，動點 n 在圓 x2