2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第4節(jié) 數(shù)列求和 教案

1、1第四節(jié)第四節(jié)數(shù)列求和數(shù)列求和最新考綱1.掌握等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法1公式法(1)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：snn（a1an）2na1n（n1）2d；(2)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：snna1，q1，a1anq1qa1（1qn）1q，q1.2幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消(注意消項(xiàng)規(guī)律)，從而求得前 n 項(xiàng)和裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形：1n（n1）1

2、n1n1；1（2n1） （2n1）1212n112n1 ；1n n1 n1 n.(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解(4)倒序相加法： 如果一個(gè)數(shù)列an與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即可用倒序相加法求解(5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)2求和形如 an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤

3、的打“”)(1)已知等差數(shù)列an的公差為 d，則有1anan11d1an1an1.()(2)當(dāng) n2 時(shí)，1n21121n11n1 .()(3)求sna2a23a3nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得()(4) 利用倒序相加法可求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，若 an1n（n1），則 s5等于()a1b.56c.16d.130ban1n（n1）1n1n1，s5a1a2a511212131656.2 若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n2n1， 則數(shù)列an的前

4、 n 項(xiàng)和為()a2nn21b2n1n21c2n1n22d2nn2csna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n32（12n）122n（n1）2n2(2n1)n2nn2n1n22.3sn121238n2n等于()a.2nn12nb.2n1n22nc.2nn12nd.2n1n22nb由 sn12222323n2n，得12sn122223n12nn2n1，得，12sn1212212312nn2n1，12112n112n2n1，sn2n1n22n.4數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，已知 sn1234(1)n1n，則s17_9s171234

5、561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.考點(diǎn) 1分組轉(zhuǎn)化法求和分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若 anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求an的前 n 項(xiàng)和4(2)通項(xiàng)公式為 anbn，n 為奇數(shù)，cn，n 為偶數(shù)的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和提醒：注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的分類討論已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 snn2n2，nn*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和解(1)當(dāng) n2 時(shí)，ansnsn1n2n2（n1）2（n1）2n.當(dāng) n1

6、 時(shí)，a1s11 滿足 ann，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 ann.(2)由(1)知 ann，故 bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和為 t2n，則t2n(212222n)(12342n)記 a212222n，b12342n，則 a2（122n）1222n12，b(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 t2nab22n1n2.母題探究在本例(2)中，若條件不變求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 tn.解由本例(1)知 bn2n(1)nn.當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，tn(21222n)1234(n1)n22n112n22n1n22；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，tn(21222n)1234(n2)

7、(n1)n2n12n12n52n1n252.所以 tn2n1n22，n 為偶數(shù)，2n1n252，n 為奇數(shù).常用并項(xiàng)求和法解答形如(1)nan的數(shù)列求和問(wèn)題， 注意當(dāng) n 奇偶性不定時(shí)，要對(duì) n 分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求解對(duì) n 為奇數(shù)、偶數(shù)討論數(shù)列求和時(shí)，一般先求 n 為偶數(shù)時(shí)前 n 項(xiàng)和 tn.n 為奇數(shù)可用 tntn1bn(n2)或 tntn1bn1最好已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，且 a11，s3s4s5.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令 bn(1)n1an，求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 t2n.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，由 s3s4s5可得 a1a2a3a5，

8、即 3a2a5，3(1d)14d，解得 d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得 bn(1)n1(2n1)t2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.考點(diǎn) 2裂項(xiàng)相消法求和形如 an1n（nk）(k 為非零常數(shù))型an1n（nk）1k1n1nk .提醒： 求和抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)， 也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)(2019廈門一模)已知數(shù)列an是公差為 2 的等差數(shù)列， 數(shù)列bn滿足b16，b1b22b33bnnan1.(1)求an，bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列1anbn的前 n 項(xiàng)和6解(1)數(shù)列an是公差為 2 的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足 b16，b1b22b3

9、3bnnan1.所以當(dāng) n1 時(shí)，a2b16，故 an62(n2)2n2，由于 b1b22b33bnnan1，當(dāng) n2 時(shí)，b1b22b33bn1n1an，得：bnnan1an2，所以 bn2n.所以 bn6（n1）2n（n2）.(2)當(dāng) n1 時(shí)，s11a1b1146124.當(dāng) n2 時(shí)，1anbn12n（2n2）141n1n1 ，則 sn12414121313141n1n1 ，12414121n1 ，2n112（n1），當(dāng) n1 時(shí)滿足上式，故 sn2n112（n1）.本例第(1)問(wèn)在求bn的通項(xiàng)公式時(shí)靈活運(yùn)用了數(shù)列前 n 項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，注意通項(xiàng)公式是否包含 n1 的情況；第(2)問(wèn)在求

10、解中運(yùn)用了裂項(xiàng)法，即若an是等差數(shù)列，則1anan11d1an1an1.教師備選例題7(2019唐山五校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足：1a12a2nan38(32n1)，nn*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bnlog3ann，求1b1b21b2b31bnbn1.解1a138(321)3，當(dāng) n2 時(shí)，因?yàn)閚an1a12a2nan1a12a2n1an138(32n1)38(32n21)32n1，當(dāng) n1 時(shí)，nan32n1也成立，所以 ann32n1.(2)bnlog3ann(2n1)，因?yàn)?bnbn11（2n1） （2n1）12(12n112n1)，所以1b1b21b2b31bnbn112

11、113 1315 12n112n1 12112n1 n2n1.(2017全國(guó)卷)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn， a33， s410， 則nk11sk_2nn1設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，8依題意有a12d3，4a16d10，解得a11，d1，所以 snn（n1）2，1sn2n（n1）21n1n1 ，因此nk11sk2(11212131n1n1)2nn1.形如1nk n(k 為非零常數(shù))型an1nk n1k( nk n)已知函數(shù) f(x)xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，令 an1f（n1）f（n），nn*，記數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，則 s2 019()a. 2 0181b.

12、 2 0191c. 2 0201d. 2 0201c由 f(4)2 得 4a2，解得 a12，則 f(x) x.an1f（n1）f（n）1n1 n n1 n，s2 019a1a2a3a2 019( 2 1)( 3 2)( 4 3)( 2 020 2 019) 2 0201.運(yùn)用分母有理化對(duì)分式1n1 n正確變形并發(fā)現(xiàn)其前后項(xiàng)之間的抵消關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵求和 s11 313 51119 121()a5b4c10d9as1 3133 535119 12111912111125，故選 a.形如 bn（q1）an（ank） （an1k）(q 為等比數(shù)列an的公比)型9bn（q1）an（ank） （a

13、n1k）1ank1an1k.(2019鄭州模擬)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn， 且 a28， snan12n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列23nanan1的前 n 項(xiàng)和 tn.解(1)a28，snan12n1，a1s1a2222，當(dāng) n2 時(shí)，ansnsn1an12n1an2n，即 an13an2，又 a283a12，an13an2，nn*，an113(an1)，數(shù)列an1是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為 a113，公比為 3，an133n13n，an3n1.(2)23nanan123n（3n1） （3n11）13n113n11.數(shù)列23nanan1的前 n 項(xiàng)和tn1311321 1

14、3211331 13n113n11 1213n11.本例第(1)問(wèn)在求解通項(xiàng)公式時(shí)運(yùn)用了構(gòu)造法，形如 an1an的數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式都可以采用此法；第(2)問(wèn)運(yùn)用了裂項(xiàng)相消法求和已知 an是等比數(shù)列，且 a212，a5116，若 bnan1（an1） （an11），則數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為()a.2n12（2n1）b.2n12n110c.12n1d.2n12n2aa5a2q3，q318，q12，a11，an12n1，bn12n12n1112n1112n1112n11b1b2b3bn112111120111221112111123111221112n1112n11112n1122n12（2

15、n1）.故選 a.形如 ann1n2（n2）2型ann1n2（n2）2141n21（n2）2.正項(xiàng)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 sn滿足：s2n(n2n1)sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an；(2)令 bnn1（n2）2a2n， 數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 tn， 證明： 對(duì)于任意的 nn*，都有 tn564.解(1)由 s2n(n2n1)sn(n2n)0，得sn(n2n)(sn1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以 sn0，snn2n.于是 a1s12，當(dāng) n2 時(shí)，11ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n.(2)證明：由于 an2n，故 bnn

16、1（n2）2a2nn14n2（n2）21161n21（n2）2tn11611321221421321521（n1）21（n1）21n21（n2）211611221（n1）21（n2）21161122564.(1)與不等式相結(jié)合考查裂項(xiàng)相消法求和問(wèn)題應(yīng)分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式(2)放縮法常見的放縮技巧有：1k21k21121k11k1 .1k1k11k21k11k.2( n1 n)1n2( n n1)已知等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，滿足 s42a41，s32a31.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記 bnlog2(an an1)， 數(shù)列bn的前

17、n 項(xiàng)和為 tn， 求證：1t11t21tn2.解(1)設(shè)an的公比為 q，由 s4s3a4得 2a42a3a4，所以a4a32，所以 q2.又因?yàn)?s32a31，所以 a12a14a18a11，所以 a11.所以 an2n1.(2)證明：由(1)知 bnlog2(anan1)log2(2n12n)2n1，所以 tn1（2n1）2nn2，12所以1t11t21tn1121221n211121231（n1）n111212131n11n21n2.考點(diǎn) 3錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和的具體步驟步驟 1寫出 snc1c2cn.步驟 2等式兩邊同乘等比數(shù)列的公比 q，即 qsnqc1qc2qcn.步驟

18、3兩式錯(cuò)位相減轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求和步驟 4兩邊同除以 1q，求出 sn.同時(shí)注意對(duì) q 是否為 1 進(jìn)行討論(2019莆田模擬)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，且 a11，an12sn1，數(shù)列bn滿足 a1b1，點(diǎn) p(bn，bn1)在直線 xy20 上，nn*.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) cnbnan，求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 tn.解(1)由 an12sn1 可得 an2sn11(n2)，兩式相減得 an1an2an，即 an13an(n2)又 a22s113，所以 a23a1.故an是首項(xiàng)為 1，公比為 3 的等比數(shù)列所以 an3n1.由點(diǎn) p(bn，bn1)，在直線 x

19、y20 上，所以 bn1bn2.則數(shù)列bn是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列則 bn1(n1)22n1.(2)因?yàn)?cnbnan2n13n1，所以 tn1303315322n13n1.13則13tn1313325332n33n12n13n，兩式相減得：23tn12323223n12n13n.所以 tn3123n22n123n13n13n1.本例巧妙地將數(shù)列an及其前 n 項(xiàng)和為 sn，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)融合在一起，難度適中求解的關(guān)鍵是將所給條件合理轉(zhuǎn)化，并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和(2019煙臺(tái)一模)已知等差數(shù)列an的公差是 1，且 a1，a3，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求

20、數(shù)列an2an的前 n 項(xiàng)和 tn.解(1)因?yàn)閍n是公差為 1 的等差數(shù)列，且 a1，a3，a9成等比數(shù)列，所以a23a1a9，即(a12)2a1(a18)，解得 a11.所以 ana1(n1)dn.(2)tn112121223123n12n，12tn11222123(n1)12nn12n1，兩式相減得12tn12112212312nn12n1，所以12tn1212n1112n12n1112nn2n1.所以 tn22n2n.14課外素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)建模 數(shù)列中等量關(guān)系的建立2019 全國(guó)卷理科 21 題將數(shù)列與概率知識(shí)巧妙的融合在一起，在考查概率知識(shí)的同時(shí)， 突出考查學(xué)生借用數(shù)列的遞推關(guān)系將實(shí)際

21、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 數(shù)列作為特殊的函數(shù)， 在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用， 如增長(zhǎng)率， 銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問(wèn)題，這就要求考生除熟練運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)概念外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解題的速度.直接借助等差(等比)數(shù)列的知識(shí)建立等量關(guān)系【例 1】從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800 萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少15，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為 400 萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加14.(1)設(shè) n 年內(nèi)(本年度為

22、第一年)總投入為 an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為 bn萬(wàn)元，寫出 an，bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？解(1)第 1 年投入為 800 萬(wàn)元，第 2 年投入為 800115 萬(wàn)元，第 n 年投入為 800115n1萬(wàn)元，所以，n 年內(nèi)的總投入為：an800800115 800115n14 000 145n，第 1 年旅游業(yè)收入為 400 萬(wàn)元，第 2 年旅游業(yè)收入為 400114 萬(wàn)元，15，第 n 年旅游業(yè)收入 400114n1萬(wàn)元所以，n 年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn400400114 400114n11 60054n1 .(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò) n 年旅游業(yè)的總收入才能

23、超過(guò)總投入，由此 bnan0，化簡(jiǎn)得 5(45)n2(54)n70，即 1 60054n1 4000 145n0，令 x45n，代入上式得：5x27x20.解得 x25，或 x1(舍去)即45n25，由此得 n5.至少經(jīng)過(guò) 5 年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.評(píng)析本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn)，正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問(wèn)中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧【素養(yǎng)提升練習(xí)】 公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金 a1， 以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 d(d0)，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目 a1，a

24、2，是一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利如果固定年利率為 r(r0)，那么，在第 n 年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a1(1r)n1， 第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a2(1r)n2， ，以 tn表示到第 n 年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額求證：tnanbn，其中an是一個(gè)等比數(shù)列，bn是一個(gè)等差數(shù)列解t1a1，對(duì) n2 反復(fù)使用上述關(guān)系式，得tntn1(1r)an16tn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，在式兩端同乘 1r，得(1r)tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)

25、，得rtna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)andr(1r)n1ra1(1r)nan.即 tna1rdr2(1r)ndrna1rdr2.如果記 ana1rdr2(1r)n，bna1rdr2drn，則 tnanbn，其中an是以a1rdr2(1r)為首項(xiàng)，以 1r(r0)為公比的等比數(shù)列；bn是以a1rdr2dr為首項(xiàng)，dr為公差的等差數(shù)列借助數(shù)列的遞推關(guān)系建立等量關(guān)系【例 2】大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)已成為當(dāng)代潮流某大學(xué)大三學(xué)生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬(wàn)元作開店資金，全部用作批發(fā)某種商品銀行貸款的年利率為6%，約定一年后一次還清貸款已知夏某每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的 15%，

26、每月月底需要交納個(gè)人所得稅為該月所獲利潤(rùn)的 20%，當(dāng)月房租等其他開支 1 500 元，余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，假定每月月底該商品能全部賣出(1)設(shè)夏某第 n 個(gè)月月底余 an元，第 n1 個(gè)月月底余 an1元，寫出 a1的值并建立 an1與 an的遞推關(guān)系；(2)預(yù)計(jì)年底夏某還清銀行貸款后的純收入(參考數(shù)據(jù)：1.12113.48，1.12123.90，0.12117.431011，0.12128.921012)解(1)依題意，a120 000(115%)20 00015%20%1 50020900(元)，17an1an(115%)an15%20%1 5001.12an1500(nn*，1n11)(2)令 an11.12(an)，則an11.12an0.12，對(duì)比(1)中的遞推公式，得12 500.則 an12 500(20 90012 500)1.12n1，即 an8 4001.12n