(完整版)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法集錦非等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結(jié)合近幾年的高考情況，對(duì) 數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法給以歸納總結(jié)。一、累加法形如anan 1f(n)(n=2、3、4)且ff(2) . f(n 1)可求，則用累加法求an。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。解：na2a11n 1anan 12足該式二、累乘法求an。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例 3 .在數(shù)列an中，a1=1,an 1例 1. 在數(shù)列an中，a1=1,anan 1n 1(n=2、3、4)，求an的通項(xiàng)公式。a3a2a4a3n-1個(gè)等式累加得：ana1.(n-1)

2、=叫anan 1na1-且a11也滿足該式an(nN).例 2.在數(shù)列an中，a1=1,a* 1(n N),求an。解: n=1 時(shí),印=12時(shí),a2a3a2a4a322223以上 n-1 個(gè)等式累加得ana12 222n1=21=21 22，故an22a12n1且a11也滿(n N)。形如衛(wèi)f (n)an 1(n=2、3、4)，且f(1) f(2)f(n1)可求，則用累乘法nan,求an。a解：由已知得 亠n，分別取 n=1、2、3（n-1）,代入該式得ann-1 個(gè)等式累乘，即a2a3a4a1a?a3出=1X2x3X-X(n-1)=( n-1)! 所以時(shí),an 1引(na11)!故an(n

3、 1)!且ai0!=1 也適用該式an(n1)!(n N).2例 4 已知數(shù)列an滿足a1=,an 1 an，求an。n 1解：由已知得旦,ann 1分別令n=1, 2, 3,.(n-1),代入上式得 n-1 個(gè)等式累乘，即an1所以一，又因?yàn)閰栍三、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列an既不等差，也不等比。若把 an列，使之等比，從而求出an。an 1=bancn其中 b、c 為不相等的常數(shù),an ._ 12 3n 1an 123 4n所以an2。3nJ中每-一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)形如an 1 :=banc或an 1=banf nn為次式。 )或2、 、 也滿足該式，3a?a3a4a1a2a3

4、例 5、（06 福建理 22 ）已知數(shù)列an滿足a1=1,an 1=2an1(n N），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列anp，其中 p 為常數(shù)，使之成為公比是an的系數(shù) 2 的等比數(shù)列即an 1p=2(anp)整理得：an 1=2anp使之滿足an1=2an1 p=1即an1是首項(xiàng)為a11=2, q=2 的等比數(shù)列an1=2 2n 1an=2n1例 6、（ 07 全國(guó) 理 21）設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1(0,1),an3 an1,n=2、3、4（）求an的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列anp，使之成為q1即anp=2(an 1p)整理得：an1-的等比數(shù)列2132 an 1- P滿足an3 an

5、1233p=2例 7、(07 全國(guó) 理 22)已知數(shù)列an中，a1=2,an1=(.2()求an的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列anp，使之成為q . 21的等比數(shù)列an 1P=(、2 1) (anp)整理得：an 1=G. 2 1)an+ (、2 2)p使之滿足已知條件an1= c、2 1) an+2G-2 1) G.2 2)p 2.2 1)解得P . 2 an.2是首項(xiàng)為2 .2 q、2 1的等比數(shù)列，由此得an.2= (2.2) ( J 1)n 1 an=、2(、2 1)n.2例 8、已知數(shù)列an中，a1=1,an1=2an3n，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個(gè)數(shù)列，該數(shù)列中含3n

6、是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列an3n，其中 為常數(shù)，使之為公比是an的系數(shù) 2 的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列an3n, 為不為 0 的常數(shù)，使之成為 q=2 的等比數(shù)列即an 13n1=2(an3n)整理得：an1=2an(23n3n1)滿足an1=2an3n得23n3n13n1新數(shù)列3n是首項(xiàng)為a13=2, q=2 的等比數(shù)列 an3=2 2“1an=3 2n例 9、( 07 天津文 20)在數(shù)列an中，a1=2,an 1=4an解:構(gòu)造新數(shù)列ann，使之成為 q=4 的等比數(shù)列，則an 1(n 1)=4(ann)整理得：an 1=4an3 n滿足an 1=4an3n 1，即3 n3n

7、1得1新數(shù)列ann的首項(xiàng)為a111, q=4 的等比數(shù)列n 1n 1ann 4an4 n四、構(gòu)造等差數(shù)列法n 1數(shù)列an既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如an 1banb f (n),那么把兩邊 p=-1 即新數(shù)列an1首項(xiàng)為ai1,q等比數(shù)列印0()n1故an=(a11)2)3n 1，求數(shù)列的通項(xiàng)an。同除以bn 1后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出an。例10. (07 石家莊一模)數(shù)列an滿足an2an 121 (n 2)且a481。求(1)印、a2、a3(2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列篤為等差數(shù)列？若存在求出的值及an；若不存在，說(shuō)明理由。解：(1)由a4=2a321=81 得a3

8、=33 ；又Ta3=2a222又Ta2=2a121=13 ,.a1=5(2)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列2_為等差數(shù)列項(xiàng)公式。1=33 得a?=13 ；an 1_an2an 12* 1=2*2n12n12n該數(shù)為常數(shù)1即旦異為首項(xiàng)即2，d=1的等差數(shù)列an1亍=2+51) 1=n+1 an=(n 1) 2n1例 11、數(shù)列an滿足an 1=2ann 1(2)(n N),首項(xiàng)為a12，求數(shù)列an的通解：an 1=2an(2)n1兩邊同除以(2)n1得芳=冷+1數(shù)列占是首項(xiàng)為 dr，d=1的等差數(shù)列舌=1+(n 1) 1 n故an=n( 2)n例 12數(shù)列an中，a1=5，且an3an 131(n=

9、2、3、 4)，試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列備為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列,即3nan 1亍d整理得an3an 13nd+3，讓該式滿足an3an 13n1取d 3n3n,an故12 3n1， d=12(n 1) 11，即亍是首項(xiàng)為亍a12，公差d=1的等差數(shù)列。11n1n- - an=(n )322 21兩邊同除以anan 1后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出例 13、（07 天津理 21）在數(shù)列an中，a1=2,且an 1an(2 )2其中 0,（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解:n 1的底數(shù)與an的系數(shù)相同，則兩邊除以n 1得an 1得2* 1n 12nn五、列。an12

10、n1an2nn 1na仁.-n2nn公差 d=1 的等差數(shù)取倒數(shù)法0 (n1) n an(n 1)n2n。有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有anan1項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難,例 14、已知數(shù)列an,a1=1,a* 1ann1 anN，求an=?解：把原式變形得an 1an 1anan兩邊同anan 1得anan 1 4 是首項(xiàng)為1, d=1的等差數(shù)列故anan(n 1)( 1)3例 15、（ 06 江西理 22）已知數(shù)列an滿足a12且an3nan 12an 1n 1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：把原式變形成2anan 1(n 1總3n a. 1兩邊同除以anan 1得即an構(gòu)造新數(shù)列an

11、， 使其成為公比1q=的等比數(shù)列3即an3(3 an 1）整理得:an-滿足式使3an 1331數(shù)n11是首項(xiàng)為1ana11丄的等比數(shù)列列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1)an 1)11移項(xiàng)得：an 12(an)an 1an38q=2 的等比數(shù)列。31n 12n 2an(2、29) o3有些數(shù)列給出an的前 n 項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系式Sn=f(an),利用該式寫出Sn 1f (an 1)，兩式做差，再利用an 1Sn 1Sn導(dǎo)出an 1與an的遞推式，從而求出ano例 17.(07 重慶 21 題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn滿足S1 1 且 6Sn=(an1)(

12、an2)nN求an的通項(xiàng)公式。1a1S1= 11)12)解得a1=1 或a1=2,由已知a1S1 1,因此a1=2 又由611Sn 1Sn=何11)12)1) 2)得66an)(an 1an3)=0-an0- -an 1an3從而an是首項(xiàng)為 2,公差為 3 的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)為an=2+3(n-1)=3n-1.1例 18.(07 陜西理 22)已知各項(xiàng)全不為 0 的數(shù)列ak的前 k 項(xiàng)和為Sk，且Sk= akak1(k N)2其中印=1，求數(shù)列ak的通項(xiàng)公式。an1(1)3 3(3)n ann 3n例16. (06江西文22)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列n N求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。a.滿足：

13、ai3，且空口 幻anan 12anan 1解：把原式變形為2an 1ananan 1(2an兩邊同除以anan1得212anan 1anan 1所以新數(shù)列 丄an是首項(xiàng)為11a1ana13故an12n2解關(guān)于an的方程得an3解：由an 1(an 1六利用公式anSnSn 1(n 2)求通項(xiàng)1解：當(dāng) k=1 時(shí)，a1S1=a1a2及a1=1 得a2=2 ；當(dāng) k2 時(shí)，2列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1), 11/由ak=SkSk1= akak 1ak1ak得ak(ak1ak 1)=2ak從而a2m 1=1+(m-1)2=2m-1a2m=2+(m-1)2=2m ( mN)例 1

14、9.（07 福建文 21）數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn,a1=1,an 1項(xiàng)公式。an的通項(xiàng)公式。故ak=k (k N).2Sn( nN),解：由a1=l,a22S1=2，當(dāng) n 2 時(shí)an=Sn盼弓時(shí)2an）得一口 =3，因此an是an首項(xiàng)為a2=2,q=3 的等比數(shù)列。故an=2 3n 2（n 2）,而a1=1 不滿足該式1所以an=2(n=1)3n 2(n 2)例 20.（06 全國(guó)i理422）該數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和Sna.2* 1(n=1、2、3)求41解：由Sn3 an3(n=1、2、3)得ai5=茁所以a1=2 再Sn1=an 1將和相減得:an=Sn122“(n=2、3)33S

15、n 1=4(anan 1)g (2332n)整理得an2n4(an 1n 12)2是首項(xiàng)為ai24,q=4的等比數(shù)列。即an2n=4 4n 1=4n，因而an4n2n。七重新構(gòu)造新方程組求通項(xiàng)法有時(shí)數(shù)列 anan與bn必須得重新構(gòu)造關(guān)于an和bn的方程組，然后解新方程組求得an和bn。an例 21. （07 遼寧第 21 題）：已知數(shù)列an, bn滿足a1=2, D=1 且bn3an 141匚an 141bn 114_3bn 114（n2），求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式。解析：兩式相bi3, d=2 的等差數(shù)列，故anbn=3+2(n-1)=2n+1(1)解：構(gòu)造新數(shù)列anbn，則(anbn)

16、(an 1bn 1)2新數(shù)列anbn是首項(xiàng)為玄1數(shù)列anbn=3 2(n 1)=2n 11當(dāng)2=1時(shí)，新數(shù)列anbn是首項(xiàng)為a b1=1, q= 的等比數(shù)列21 1 1而兩式相減得anbn=an 1 1=(an 11bn=(2)的等比數(shù)列，故anan聯(lián)立(1)、得anbn2n 1b，(釘由此得an分析該題條件新穎bn 1)則anbn是首項(xiàng)為印 0=1 ,q=gn i (J，bnn g 中。,給出的數(shù)據(jù)比較特殊， 兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比數(shù)列，從而 再通過解方程組很順利求出an 、bn的通項(xiàng)公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。an例 22.在數(shù)列an、bn中

17、a1=2,b1=1，且bn12an6bn(n N1an7bn)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式。解析：顯然再把a(bǔ)n 1與bn 1做和或做差已無(wú)規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列anbn其中為an 1bn 1=2an6bn(an7bn)=(2) an+(76)bn=(2)(anbn)令76- 2-得1=2 或2=3 則 anbn為首項(xiàng)a1的等比數(shù)即1=2 時(shí)，an2bn是首項(xiàng)為 4,q=4 的等比數(shù)列，故ann 1 n2bn=4x4=4;2=3 時(shí)，an3bn是首項(xiàng)為 5,q=5 的等比數(shù)列，故ann 1 n3bn=5x5=5聯(lián)立二式n n解得an3nan3bn54n2 5n,bn54n。注：該法也可適用于例21,下面給出例21 的該種解法anbn=(3 1)an1+(丄4443gw)=蔦anbn 1(11 3令得1=1 或2=1即31=1 時(shí)，新數(shù)列anbn中,anbn=an 1bn 1d=2 的等差(1)n 1二anbn=聯(lián)立(1)、(2)anbn2nanbn得ann，tn例 23.在