第五章第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、 第 5 講 數(shù)列的綜合應(yīng)用 考點(diǎn)一_等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題_ (2014 高考北京卷)已知an是等差數(shù)列，滿(mǎn)足 a13，a412，數(shù)列bn滿(mǎn)足b14，b420，且bnan為等比數(shù)列 (1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，由題意得 da4a1312333， 所以 ana1(n1)d3n(n1，2，) 設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為 q，由題意得 q3b4a4b1a12012438，解得 q2. 所以 bnan(b1a1)qn12n1. 從而 bn3n2n1(n1，2，) (2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，) 數(shù)列3

2、n的前 n 項(xiàng)和為32n(n1)，數(shù)列2n1的前 n 項(xiàng)和為12n122n1. 所以，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為32n(n1)2n1. 規(guī)律方法 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列， 部分項(xiàng)成等比數(shù)列， 要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來(lái)單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過(guò)運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開(kāi)弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解 1.(2013 高考課標(biāo)全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的公差不為零， a125 ，且 a1，a11，a13成等比數(shù)列 (1)求an的通項(xiàng)公式； (2)求 a1a4a7a3n2. 解：(1)設(shè)an的公差為

3、d，由題意得 a211a1a13， 即(a110d)2a1(a112d) 于是 d(2a125d)0. 又 a125，所以 d0(舍去)，d2. 故 an2n27. (2)令 Sna1a4a7a3n2. 由(1)知 a3n26n31， 故a3n2是首項(xiàng)為 25，公差為6 的等差數(shù)列 從而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n. 考點(diǎn)二_數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題_ 某企業(yè)在第 1 年初購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)價(jià)值為 120 萬(wàn)元的設(shè)備 M，M 的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少?gòu)牡?2 年到第 6 年，每年初 M 的價(jià)值比上年初減少 10 萬(wàn)元；從第 7 年開(kāi)始，每年初 M 的價(jià)值為上年初的 75%. (1)

4、求第 n 年初 M 的價(jià)值 an的表達(dá)式； (2)設(shè) Sn表示數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，求 Sn(n7) 解 (1)當(dāng) n6 時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為 120，公差為10 的等差數(shù)列，an12010(n1)13010n； 當(dāng) n6 時(shí)，數(shù)列an是以 a6為首項(xiàng)，34為公比的等比數(shù)列 又 a670，所以 an7034n6. 因此，第 n 年初，M 的價(jià)值 an的表達(dá)式為 an13010n，n6，7034n6，n7. (2)由等差及等比數(shù)列的求和公式得 當(dāng) n7 時(shí)，由于 S6570， 故 SnS6(a7a8an) 57070344134n6 78021034n6. 規(guī)律方法 解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟

5、： (1)確定模型類(lèi)型：理解題意，看是哪類(lèi)數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列模型基本特征見(jiàn)下表： 數(shù)列模型 基本特征 等差數(shù)列 均勻增加或者減少 等比數(shù)列 指數(shù)增長(zhǎng)，常見(jiàn)的是增產(chǎn)率問(wèn)題、存款復(fù)利問(wèn)題 簡(jiǎn)單遞推數(shù)列 指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少如年收入增長(zhǎng)率為20%， 每年年底要拿出 a(常數(shù))作為下年度的開(kāi)銷(xiāo)，即數(shù)列an滿(mǎn)足 an11.2ana (2)準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確； (3)給出問(wèn)題的答案：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn) 2.

6、現(xiàn)有流量均為 300 m3s 的兩條河 A，B 匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為 2 kgm3和 0.2 kgm3，假設(shè)從匯合處開(kāi)始，沿岸設(shè)有若干觀(guān)測(cè)點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的過(guò)程中， 其混合效果相當(dāng)于兩股水流在 1 s 內(nèi)交換 100 m3的水量，即從 A 股流入 B 股 100 m3水，經(jīng)混合后，又從 B 股流入 A 股 100 m3水并混合，問(wèn)從第幾個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)開(kāi)始，兩股河水的含沙量之差小于 0.01 kgm3(不考慮沙沉淀) 解：設(shè)第 n 個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)處 A 股水流含沙量為 an kgm3，B 股水流含沙量為 bn kgm3，則 a12，b10.2， bn1400(300bn

7、1100an1)14(3bn1an1)， an1400(300an1100bn1)14(3an1bn1)， anbn12(an1bn1)， anbn是以(a1b1)為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列 anbn9512n1. 解不等式9512n1180， n9. 因此，從第 9 個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)開(kāi)始，兩股水流的含沙量之差小于 0.01 kgm3. 考點(diǎn)三_數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題(高頻考點(diǎn))_ 數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是每年高考的難點(diǎn)，多為解答題，難度偏大 高考對(duì)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題的考查常有以下兩個(gè)命題角度： (1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題； (2)考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題 等比數(shù)列a

8、n滿(mǎn)足 an1an9 2n1，nN*. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若不等式 Snkan2 對(duì)一切 nN*恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 解 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q， an1an9 2n1，nN*， a2a19，a3a218， qa3a2a2a11892. 2a1a19，a13. an3 2n1，nN*. (2)由(1)知 Sna1（1qn）1q3（12n）123(2n1)， 3(2n1)k 3 2n12， k2132n1對(duì)一切 nN*恒成立 令 f(n)2132n1，則 f(n)隨 n 的增大而增大， f(n)minf(1)21353，k5

9、3. 實(shí)數(shù) k 的取值范圍為，53. 規(guī)律方法 數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題的解題策略 (1)數(shù)列與不等式的恒成立問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題常構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問(wèn)題； (2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問(wèn)題解決此類(lèi)問(wèn)題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等 3.(1)(2015 陜西商洛模擬)已知函數(shù) f(x)滿(mǎn)足 f(xy)f(x) f(y)且 f(1)12. 當(dāng) nN*時(shí)，求 f(n)的表達(dá)式； 設(shè) ann f(n)，nN*，求證：a1a2a3an2； (2)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn22n1 an(nN*) 求證：數(shù)列ann是等比數(shù)列； 設(shè)數(shù)列2nan

10、的前 n 項(xiàng)和為 Tn，An1T11T21T31Tn，試比較 An與2nan的大小 解：(1)令 xn，y1， 得 f(n1)f(n) f(1)12f(n)， f(n)是首項(xiàng)為12，公比為12的等比數(shù)列， f(n)12n. 證明：設(shè) Tn為an的前 n 項(xiàng)和， ann f(n)n12n， Tn1221223123n12n， 12Tn12221233124(n1)12nn12n1， 兩式相減得12Tn1212212nn12n1， Tn212n1n12n2. (2)證明：由 a1S123a1，得 a112， 當(dāng) n2 時(shí)，由 anSnSn1，得ann12an1n1， 所以ann是首項(xiàng)和公比均為12

11、的等比數(shù)列 由得ann12n， 于是 2nann，所以 Tn123nn（n1）2，則1Tn21n1n1，于是 An211n12nn1， 而2nan2n1n2，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較2nn2與nn1的大小 設(shè) f(n)2nn2，g(n)nn1， 當(dāng) n4 時(shí)，f(n)f(4)1，而 g(n)g(n) 經(jīng)驗(yàn)證當(dāng) n1，2，3 時(shí)，仍有 f(n)g(n) 因此對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 f(n)g(n)即 An2nan. 交匯創(chuàng)新數(shù)列與函數(shù)的交匯 (2014 高考四川卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù) f(x)2x的圖象上(nN*) (1)若 a12，點(diǎn)(a8，4b7)在函數(shù) f(x)

12、的圖象上，求數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn； (2)若 a11， 函數(shù) f(x)的圖象在點(diǎn)(a2， b2)處的切線(xiàn)在 x 軸上的截距為 21ln 2， 求數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和 Tn. 解 (1)由已知，b72a7，b82a84b7， 有 2a842a72a72. 解得 da8a72. 所以 Snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n. (2)函數(shù) f(x)2x在(a2，b2)處的切線(xiàn)方程為 y2a2(2a2ln 2)(xa2)， 它在 x 軸上的截距為 a21ln 2. 由題意知，a21ln 221ln 2，解得 a22. 所以 da2a11，從而 ann，bn2n. 所以 Tn122

13、22323n12n1n2n， 2Tn1122322n2n1. 因此，2TnTn11212212n1n2n 212n1n2n2n1n22n. 所以 Tn2n1n22n. 名師點(diǎn)評(píng) 數(shù)列與函數(shù)的交匯創(chuàng)新主要有以下兩類(lèi)：(1)如本例，已知函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，再利用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)求解；(2)已知數(shù)列，在求解中利用函數(shù)的性質(zhì)、思想方法解答 提醒 解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見(jiàn)解法有助于該類(lèi)問(wèn)題的解決，同時(shí)要注意 n 的范圍 已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a11 且 3an12Sn3(n 為正整數(shù)) (1

14、)求an的通項(xiàng)公式； (2)若nN*，32kSn恒成立，求實(shí)數(shù) k 的最大值 解：(1)當(dāng) n1 時(shí)，a11，3an12Sn3a213； 當(dāng) n2 時(shí)，3an12Sn33an2Sn13，得 3(an1an)2(SnSn1)0，因此 3an1an0，即an1an13， 因?yàn)閍2a113， 所以數(shù)列an是首項(xiàng) a11，公比 q13的等比數(shù)列， 所以 an13n1. (2)因?yàn)閚N*，32kSn恒成立， Sn32113n， 即32k32113n， 所以 k113n. 令 f(n)113n，nN*，所以 f(n)單調(diào)遞增，k 只需小于等于 f(n)的最小值即可，當(dāng) n1 時(shí)，f(n)取得最小值，所以

15、kf(1)11323，實(shí)數(shù) k 的最大值為23. 1(2015 山西省四校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn首項(xiàng)都是 1，公差與公比都是2，則 ab1ab2ab3ab4ab5( ) A54 B56 C58 D57 解析：選 D.由題意，an12(n1)2n1，bn12n12n1，ab1ab5a1a2a4a8a16137153157. 2已知數(shù)列an滿(mǎn)足：a1m(m 為正整數(shù))，an1an2，當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，3an1，當(dāng)an為奇數(shù)時(shí).若 a61，則 m 所有可能的取值為( ) A4，5 B4，32 C4，5，32 D5，32 解析：選 C.an1an2，當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，3an1，當(dāng)an為奇數(shù)時(shí)，

16、注意遞推的條件是 an(而不是 n)為偶數(shù)或奇數(shù)由 a61 一直往前面推導(dǎo)可得 a14 或 5 或 32. 3(2014 高考遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d.若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則( ) Ad0 Ca1d0 解析： 選C.設(shè) bn2a1an， 則bn12a1an1， 由于2a1an是遞減數(shù)列， 則bnbn1， 即2a1an2a1an1.y2x是單調(diào)增函數(shù)，a1ana1an1， a1ana1(and)0，a1(anand)0，即 a1(d)0，a1d0. 4在數(shù)列an中，若 a12，an1ann 2n，則 an( ) A(n2) 2n B112n C.23114n D.23112n

17、解析：選 A.因?yàn)?an1ann 2n，所以 an1ann 2n，所以 ana1(anan1)(an1an2)(a2a1)(n1)2n1(n2)2n2222121(n2) 設(shè) Tn(n1)2n1(n2)2n2222121(n2)，則 2Tn(n1)2n(n2)2n1(n3)2n2223122，兩式相減得 Tn(n2) 2n2(n2)，所以 an(n2) 2n2a1(n2) 2n(n2)又 n1 時(shí)，上式成立，所以選 A. 5(2015 湖南澧縣一中等三校聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，0a1a41，則能使不等式a11a1a21a2an1an0 成立的最大正整數(shù) n 是( ) A5 B6 C7 D8 解

18、析：選 C.設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q，則1an為等比數(shù)列，其公比為1q，因?yàn)?0a11 且 a11q3.又因?yàn)閍11a1a21a2an1an0，所以 a1a2an1a11a21an，即 a1（1qn）1q1a111qn11q，把 a11q3代入，整理得 qnq7，因?yàn)?q1，所以 n7，故選C. 6(2013 高考江西卷)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的 2 倍，則需要的最少天數(shù) n(nN*)等于_ 解析：每天植樹(shù)的棵數(shù)構(gòu)成以 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 Sna1（1qn）1q2（12n）122n12.由 2n121

19、00，得 2n1102.由于 2664，27128.則 n17，即 n6. 答案：6 7 在等比數(shù)列an中， 若 an0， 且 a1 a2 a7 a816， 則 a4a5的最小值為_(kāi) 解析：由等比數(shù)列性質(zhì)得，a1a2a7a8(a4a5)416，又 an0，a4a52.再由基本不等式，得 a4a52 a4a52 2.a4a5的最小值為 2 2. 答案：2 2 8設(shè) Sn是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，若S2nSn(nN*)是非零常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列an為“和等比數(shù)列” 若數(shù)列2bn是首項(xiàng)為 2， 公比為 4 的等比數(shù)列， 則數(shù)列bn_(填“是”或“不是”)“和等比數(shù)列” 解析：數(shù)列2bn是首項(xiàng)為 2，公比為

20、 4 的等比數(shù)列，所以 2bn2 4n122n1，bn2n1.設(shè)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，則 Tnn2，T2n4n2，所以T2nTn4，因此數(shù)列bn是“和等比數(shù)列” 答案：是 9在等比數(shù)列an(nN*)中，a11，公比 q0，設(shè) bnlog2an，且 b1b3b56，b1b3b50. (1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列； (2)求bn的前 n 項(xiàng)和 Sn及an的通項(xiàng)公式 an. 解：(1)證明：bnlog2an， bn1bnlog2an1anlog2q 為常數(shù)， 數(shù)列bn為等差數(shù)列且公差 dlog2q. (2)設(shè)數(shù)列bn的公差為 d，b1b3b56，b32. a11，b1log2a10. b

21、1b3b50，b50. b12d2，b14d0，解得b14，d1. Sn4nn（n1）2(1)9nn22. log2q1，log2a14，q12，a116. an25n(nN*) 10(2014 高考浙江卷)已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足 a1a2a3an( 2)bn(nN*)若an為等比數(shù)列，且 a12，b36b2. (1)求 an與 bn； (2)設(shè) cn1an1bn(nN*)記數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和為 Sn. 求 Sn； 求正整數(shù) k，使得對(duì)任意 nN*，均有 SkSn. 解：(1)由題意知 a1a2a3an( 2)bn，b3b26， 知 a3( 2)b3b28. 又由 a12，得公比 q2(q2 舍去)， 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n(nN*)， 所以，a1a2a3an2n（n1）2( 2)n(n1) 故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為 bnn(n1)(nN*) (2)由(1)知 cn1an1bn12n1n1n1(