線束原理在幾何證明中的應(yīng)用講解學(xué)習(xí)

1、精品文檔精品文檔AB、EF=3DE 。的中點(diǎn)， D為BC邊上一點(diǎn)， P在BF上，DP / CF , Q在CE上，DQ / BE , PQ交 BE于點(diǎn)R，交CF于點(diǎn)S,求證：PR=RS=SQ。【例2】如圖2,設(shè)E、F分別為 ABC 的邊 AC、AB【提示】有三條線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)如圖1-1，于點(diǎn) RDR : RS :=1 : 1 : 1, DE : AG=DR : RG=1 : 2; DF : AG=DS : SG=2 : 1。過(guò)點(diǎn)D作DG /、S、 G ，SG=BM : MN : NCA線束原理”在幾何證明中的應(yīng)用剛上初中三年級(jí)的同學(xué)現(xiàn)在開(kāi)始學(xué)平行線分線段成比例”和相似三角形”，這兩部分有相互交叉的內(nèi)

2、容，例如在“ A”字型相似模型和 “ X”型相似模型中，平行線分線段成比例”中也有這兩種模型（詳見(jiàn)比例與相似高級(jí)教程（十）：線束原理），它們的共同點(diǎn)是有兩條或兩條以上的線段經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么用相似”的原理或 平行線分線段成比例 ”的原理都可以得到應(yīng)有的結(jié)論。但是，當(dāng)線段較多讓人眼花繚亂時(shí)， 我們僅用相似的原理來(lái)求解就顯得過(guò)程臃腫，較為繁雜，反而用平行線分線段成比例”的原理來(lái)求解則顯得簡(jiǎn)潔明了。當(dāng)經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的線段超過(guò)兩條（至少三條）時(shí)， 可用其推論 線束原理”（詳見(jiàn)比例與相似高級(jí)教程（十）：線束原理）來(lái)解決?！纠?】如圖1，M、N ABC邊BC上兩點(diǎn)，且滿 足BM=MN=NC ，一條平行于 AC的

3、直線分別交AM和AN延長(zhǎng)線于點(diǎn) D、E和F。求證：A，且BM=MN=NC ，所以構(gòu)造 線束模型”來(lái)解決。BC，分別交 AM、AN、AC則根據(jù)“線束原理”，【提示】點(diǎn) G ABC的重心（或中心），故:FG : FC=EG : EB=1 : 3 ；F14-1平行線分線段成比精品文檔PR : PQ=PK : PD, QS : PQ=QH : QD ;根據(jù)線束原理”，PK : PD= FG : FC=1 : 3; QH : QD= EG : EB=1 : 3,PR : PQ= QS : PQ= 1 : 3?！咀ⅰ看祟}圖形線段較多，要充分利用已知條件識(shí)別比例關(guān)系?！纠?】如圖3，梯形ABCD的底邊 AB

4、上任取一點(diǎn) M , 過(guò) M 作 MK / BD , MN / AC，分別交 AD、BC 于點(diǎn) P, Q,求證：KP=QN?！咎崾尽?KP : KN=KR : KM=DO : DB=DC : (DC +AB);QN : KN=NS : MN=CO : CA=DC : （DC +AB）; 故 KP=QN【注】求出 KP和QN與KN的比例關(guān)系是解開(kāi)此題的關(guān)鍵思想?！纠?4】如圖 4, AB=AC , BD / AC , AB / CE，過(guò) A 點(diǎn)的直線分別交 BD、CE于點(diǎn)D、E,求證：（1 ）AM=NC ;（2） MN / DE?！咎崾尽浚? ）利用平型關(guān)系構(gòu)造線束模型”，如圖4-1。延長(zhǎng)DB交E

5、C延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，則四邊形 ABFC為菱形。 根據(jù)線束原理：AM : AB=EC : EF;又 NC : BF=EC : EF, AM : AB=NC : BF=NC : AB ;AM=NC。（2）用以前學(xué)的角度關(guān)系來(lái)證明MN / DE不太容易，此題考慮用平行線分線段成比例”的逆定理（詳見(jiàn)比例與相似高級(jí)教程（二）：成比例線段判斷平行關(guān)系）來(lái)證明。根據(jù)線束原理：BM : MA=CF : CE=AB : CE=BN : NE , MN / DE。【注】通過(guò)此題，我們證明兩直線平行的方法又多了一種，就是 例”的逆定理。精品文檔【例5】如圖5, ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，PF丄BC

6、 , PE丄AC ,AF 交 PE 于點(diǎn) N , BE 交 PF 于點(diǎn) M。求證：(1) PM=PN ;( 2) MN / AB。A圈5 i鋁中片松工網(wǎng)【提示】(1 )根據(jù)線束原理：EN : NP=CF : BF=CF : FP; PM : MF=AE : CE=CF : FP; EN:NP=PM:MF=CF : FP ; 設(shè) CF=a,FP=b，則:Q0PAf=-=-b=-=- PN=PM 。(2)Z PNM=45o，/ APE=45o , MN / AB.【練習(xí)題】如圖 6,正方形 BFDE內(nèi)接于 ABC , CE與DF交于點(diǎn) N , AF交DE于 點(diǎn) M , CE 與 AF 交于點(diǎn) P。求證：(1 ) EM=DN ( MD=FN );( 2) MN / AC?！咎崾尽看祟}與【例5】十分類(lèi)似