2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：1.2 第3課時(shí)　三角形中的幾何計(jì)算 Word版含解析

1、第3課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算目標(biāo) 1.記住正弦定理、三角形的面積公式及余弦定理和其推論；2.會(huì)用正、余弦定理，三角形的面積公式，余弦定理的推論計(jì)算三角形中的一些量重點(diǎn) 正、余弦定理、三角形面積公式，余弦定理推論的應(yīng)用難點(diǎn) 探尋解題的思路與方法知識(shí)點(diǎn)一三角形面積公式 填一填已知abc中，a，b，c所對(duì)的角分別為a，b，c，其面積為s，則sbcsinaacsinbabsinc.答一答1已知三角形的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形的面積為(abc)r.2與傳統(tǒng)的三角形面積的計(jì)算方法相比，用兩邊及其夾角正弦值之積的一半求三角形的面積有什么優(yōu)勢(shì)？提示：主要優(yōu)勢(shì)是不必計(jì)算三角形的高，只要知道

2、三角形的“基本量”就可以求其面積知識(shí)點(diǎn)二三角形中常用的結(jié)論 填一填abc，；在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然；任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式sin(ab)sinc，cos(ab)cosc，tan(ab)tanc，sincos，cossin.答一答3在abc中，已知b3，c3，b30°，求a邊用正弦定理簡單，還是用余弦定理簡單？有什么技巧？提示：用余弦定理簡單由余弦定理b2a2c22accosb，得32a2(3)22×a×3cos30°，整理得a29a180，a3或a6.技巧：當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，若由已知

3、只求內(nèi)角，則用正弦定理合適；若由已知只求邊，則用余弦定理合適知識(shí)點(diǎn)三幾何計(jì)算問題的主要類型 填一填答一答4三角形的兩邊分別為3 cm,5 cm，它們所夾角的余弦值為方程5x27x60的根，則這個(gè)三角形的面積為6_cm2.解析：方程5x27x60的兩根為x12(不符合，舍去)，x2，因此兩邊夾角的余弦值等于，并可求得正弦值為，于是三角形面積s×3×5×6(cm2)類型一與三角形面積有關(guān)的計(jì)算問題例1在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知c2，c.(1)若abc的面積等于，求a，b；(2)若sinb2sina，求abc的面積分析在分析題目的時(shí)候要注意

4、三角形面積公式的特點(diǎn)，sabsinc與c2a2b22abcosc都含有ab，這正是解題的突破口解(1)由余弦定理，得a2b2ab4，又abc的面積等于，所以absinc，得ab4，聯(lián)立得方程組解得(2)由余弦定理，得a2b2ab4，由正弦定理及sinb2sina，得b2a，聯(lián)立得方程組解得所以abc的面積sabsinc.對(duì)于此類問題，一般用公式sabsincbcsinaacsinb進(jìn)行求解，可分為以下兩種情況：(1)若所求面積為多邊形，可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積(2)若所給條件為邊角關(guān)系，則需要運(yùn)用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，再利用三角形面積公式進(jìn)行求解變式訓(xùn)練

5、1(1)在abc中，sabc(a2b2c2)，則c.解析：由sabc(a2b2c2)得absinc(a2b2c2)，即sinc.sinccosc，即tanc1，c.(2)在abc中，若b30°，ab6，ac6，則abc的面積是18或9.解析：由正弦定理，得，所以sinc.因?yàn)閍b>ac，所以c>b.所以c60°或120°.當(dāng)c60°時(shí)，a90°.所以sabcab·ac·sina18；當(dāng)c120°時(shí)，a30°.所以sabcab·ac·sina9.故abc的面積是18或9.類型

6、二三角形中線段長度的計(jì)算例2如圖所示，在四邊形abcd中，ac平分dab，abc60°，ac7，ad6，sacd，求ab的長解ac平分dab，12.sacdad·ac·sin1，sin1.在abc中，由正弦定理得，bc5.由余弦定理得ac2ab2bc22ab·bc·cosb，72ab25210·ab×.整理可得ab25ab240，(ab8)(ab3)0.ab8.求線段的長度，先看所求線段在哪個(gè)三角形中，然后，結(jié)合已知條件利用正弦定理、余弦定理求解.,也可設(shè)出線段長度，列方程求解.變式訓(xùn)練2如圖，在abc中，b45°

7、，d是邊bc上一點(diǎn)，ad5，ac7，dc3，求ab的長解：在adc中，由余弦定理，得cosadc，所以adc120°，所以adb60°.在abd中，由正弦定理，得ab.類型三三角形中的證明問題例3在abc中，角a，b，c的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c.求證：.分析解答本題可通過正弦定理、余弦定理化邊為角或化角為邊，即可證明證明證法一：由余弦定理a2b2c22bccosa，b2a2c22accosb，得a2b2b2a22c(acosbbcosa)，即a2b2c(acosbbcosa)，變形得cosbcosa.由正弦定理得，.證法二：cosbcosa.，cosb，cosa.代入上式得

8、··.等式成立有關(guān)三角形的證明問題，主要涉及三角形的邊和角的三角函數(shù)關(guān)系.從某種意義上看，這類問題就是有目標(biāo)地對(duì)含邊和角的式子進(jìn)行化簡的問題，所以解題思路與判斷三角形的形狀類似：將邊化為角或者將角化為邊. 變式訓(xùn)練3在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，求證：c.證明：由余弦定理的推論得cosb，cosa，代入等式右邊，得右邊c左邊，c.1在abc中，a6，b30°，c120°，則abc的面積是(c)a9 b8c9 d18解析：由題意知a180°120°30°30°.則ab6，因此sabc×6

9、×6×sin120°9.2已知abc的面積為，且b2，c，則a的大小為(a)a60°或120° b60°c120° d30°或150°解析：由sabcbcsina得×2××sina，所以sina，故a60°或120°，故選a.3在abc中，ab，點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)，且ad1，bad30°，則abc的面積為.解析：因?yàn)閍b，ad1，bad30°，所以sabd××1×sin30°.又因?yàn)閐為bc的中點(diǎn)，

10、所以sabc2sabd.4已知abc的三個(gè)內(nèi)角滿足2bac，且ab1，bc4，則邊bc上的中線ad的長為.解析：由2bac，及abc知，b.在abd中，ab1，bd2，所以ad2ab2bd22ab·bdcos3.因此ad.5在abc中，若b30°，ab2，ac2，求abc的面積解：ab2，ac2，b30°，根據(jù)正弦定理，有sinc，又ab>ac，c>b，則c有兩解，(1)當(dāng)c為銳角時(shí)，c60°，a90°，sabcab·acsina2.(2)當(dāng)c為鈍角時(shí)，c120°，a30°，sabcab·acsina.綜上可知，abc的面積為2或.本課須掌握的兩大方面1求三角形面積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題目給