2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)北師大版必修5學(xué)案：1.2.1 第1課時(shí)　等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式 Word版含解析

1、§2等差數(shù)列21等差數(shù)列第1課時(shí)等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的定義 填一填如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，稱這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示由此定義可知，對(duì)于等差數(shù)列an，有a2a1a3a2anan1d.答一答1怎樣用公式表示等差數(shù)列的定義？提示：an1and(d為常數(shù))知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 填一填設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則通項(xiàng)公式ana1(n1)d.答一答2怎樣推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？提示：an是等差數(shù)列，所以a2a1d，a3a2d，a4a3d，an1an2d，anan1d.將以上n1個(gè)等式的

2、兩邊分別相加得ana1(n1)d，所以ana1(n1)d.知識(shí)點(diǎn)三從函數(shù)角度研究等差數(shù)列an 填一填(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則anf(n)a1(n1)dnd(a1d)點(diǎn)(n，an)落在直線ydx(a1d)上這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.(2)d>0時(shí)an是遞增數(shù)列，d<0時(shí)an是遞減數(shù)列，d0時(shí)an是常數(shù)列答一答3怎樣判斷等差數(shù)列的單調(diào)性？提示：ana1(n1)ddn(a1d)是關(guān)于n的一次函數(shù)，d為斜率，(n，an)在直線上，由anam(nm)d，得d，d>0時(shí)，一次函數(shù)遞增，an是遞增數(shù)列；d<0時(shí)，一次函數(shù)遞減，an是遞減數(shù)列理解

3、等差數(shù)列的定義需注意以下問題：(1)注意定義中“從第2項(xiàng)起”這一前提條件的兩層含義：其一，第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無(wú)法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合；其二，定義中包括首項(xiàng)這一基本量，且必須從第2項(xiàng)起，以便保證數(shù)列中各項(xiàng)均與其前一項(xiàng)作差(2)注意定義中“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求，它的含義也有兩個(gè)：其一是強(qiáng)調(diào)作差的順序，即后面的項(xiàng)減前面的項(xiàng)；其二是強(qiáng)調(diào)這兩項(xiàng)必須相鄰(3)注意定義中的“同一常數(shù)”這一要求，否則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列類型一等差數(shù)列的判定 【例1】判斷下列各數(shù)列是否為等差數(shù)列(1)1,2,4,6,8；(2)7,7,7,7,7；(3)m，mn，m2n,2mn；(4)ad，a，

4、ad.【思路探究】根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷，即判斷從第2項(xiàng)開始每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是否等于同一個(gè)常數(shù)【解】(1)因?yàn)?11,422,642,862,12，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列(2)因?yàn)?77777770，所以該數(shù)列是等差數(shù)列(3)因?yàn)?mn)m(m2n)(mn)n，(2mn)(m2n)mn，所以當(dāng)nmn，即m2n時(shí)，該數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)m2n時(shí)，該數(shù)列不是等差數(shù)列(4)因?yàn)閍(ad)(ad)ad，所以該數(shù)列是等差數(shù)列規(guī)律方法 要判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，只要看對(duì)于任意的正整數(shù)n，an1an是不是等于同一個(gè)常數(shù)，切記不可通過計(jì)算a2a1，a3a2，a4a3等幾個(gè)有限的式子的值后，根據(jù)它們的

5、值都是同一個(gè)常數(shù)，就得出該數(shù)列為等差數(shù)列的結(jié)論因?yàn)橛商厥獾揭话愕贸龅慕Y(jié)論不一定正確判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)an3n1；(2)an(3)ann2n.解：(1)由通項(xiàng)公式an3n1，知an13(n1)1.于是an1an3(n1)1(3n1)3.由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列(2)由通項(xiàng)公式an知a11，a21，a32.顯然an1an1(nn，n2)恒成立但a2a1a3a2，即數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差才是同一個(gè)常數(shù)，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列(3)由ann2n得an1(n1)2n1n23n2，則an1an2n2，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列類型二 等差數(shù)列的證明 【例2】已知函數(shù)f(

6、x)，數(shù)列xn的通項(xiàng)由xnf(xn1)(n2，且nn)確定(1)求證：是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1時(shí)，求x100.【思路探究】(1)利用條件xnf(xn1)可以確定數(shù)列xn中相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，要證明是等差數(shù)列，按照定義，只需證明或(n2)是常數(shù)即可；(2)利用(1)的結(jié)論先求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式，再用通項(xiàng)公式求x100.【解】(1)證明：xnf(xn1)(n2，nn)，所以，(n2，nn)所以 是等差數(shù)列(2)由(1)知 的公差為.又因?yàn)閤1，即2.所以2(n1)×，2(1001)×35.所以x100.規(guī)律方法 (1)判斷數(shù)列為等差數(shù)列要靈活運(yùn)用三種判定方法，本例是用等差數(shù)列的

7、定義來證明和判斷的(2)由某些遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的一個(gè)重要方法就是構(gòu)造新數(shù)列法先通過取倒數(shù)、平方或其他分解變形構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，再證明該數(shù)列就是等差數(shù)列然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出所求的數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中觀察分析遞推式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出新數(shù)列是解決問題的關(guān)鍵已知數(shù)列an滿足a14，an4(n2)，令bn.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)證明：因?yàn)閎n1，所以bn1bn，所以數(shù)列bn是公差d的等差數(shù)列(2)由(1)得構(gòu)成以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列，所以(n1)×，所以an2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2.類型三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

8、【例3】已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列an的前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【思路探究】思路一思路二【解】方法一：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的前三項(xiàng)分別為a1，a1d，a12d，則即解得或因?yàn)閿?shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，所以從而等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n1.方法二：由于數(shù)列an為等差數(shù)列，因此可設(shè)其前三項(xiàng)分別為ad，a，ad，則即解得或由于數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，因此從而an4n1.規(guī)律方法 求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的兩種思路1設(shè)出基本量a1與d，利用條件構(gòu)建方程組，求出a1與d，即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式2已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)時(shí)，利用anam(nm)d求出公差d即可繞過求首項(xiàng)a1，

9、直接寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式注意：對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最終結(jié)果一般寫成關(guān)于n的一次函數(shù)的形式，不必保留a1(n1)d的形式已知等差數(shù)列an單調(diào)遞減，a31，a2a4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)判斷數(shù)列a1an是否為等差數(shù)列？若是，求出公差；若不是，說明理由解：(1)由題知a2a4a1da13d2(a12d)2a32.又a2a4，數(shù)列an單調(diào)遞減，a4，a2.公差d，a1a2d2，an2(n1)·n.(2)由(1)，知a1an2an，則當(dāng)n2時(shí)，2an2an12(anan1)1(常數(shù))，數(shù)列a1an是等差數(shù)列，且公差為1.【例4】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列5,8,11，和3,7,11，都有1

10、00項(xiàng)，那么它們共有多少相同的項(xiàng)？【思路探究】先求出每個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，列出等式，研究項(xiàng)數(shù)的關(guān)系即可【解】數(shù)列5,8,11，記為an，數(shù)列3,7,11，記為bm，則an5(n1)·33n2，bm3(m1)·44m1.令anbm，得3n24m1(n，mn)，即nm1(n，mn)要使n為正整數(shù)，m必須是3的倍數(shù)，記m3k(kn)n·3k14k1.4k1100，k，且kn，1k25.兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng)規(guī)律方法 (1)本題的求解，要用到兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求公共項(xiàng)本題的關(guān)鍵是要把通項(xiàng)公式求對(duì)，然后探求公共項(xiàng)滿足的條件(2)本題易錯(cuò)處在于，令anbn，得3n24n

11、1，n3.從而兩數(shù)列只有一個(gè)公共項(xiàng)，這是明顯的錯(cuò)誤兩數(shù)列的公共項(xiàng)不一定項(xiàng)數(shù)相同，比如，a7b6，這也是它們的公共項(xiàng)(3)本題也可以先找出幾個(gè)公共項(xiàng)后，觀察其特點(diǎn)，得到其通項(xiàng)公式在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，求首項(xiàng)a1與公差d，并求該數(shù)列的通項(xiàng)公式解：解法一：由題意，知解得d3，a12.an2(n1)·33n5.解法二：由anam(nm)d，得a12a5(125)d，即d3.又a5a14d，a510，a12，an2(n1)·33n5.多維探究系列等差數(shù)列公差計(jì)算的方法公差是等差數(shù)列的兩個(gè)關(guān)鍵量之一，公差的計(jì)算正確與否，直接決定著等差數(shù)列問題解決的正確與否，而公差

12、的計(jì)算方法不唯一，因此我們要選擇合適的計(jì)算方法，且能計(jì)算正確法一：danan1.法二：d.法三：d.【例5】在等差數(shù)列an中，已知a510，a1525，求a25.【思路分析】通過已知條件，特別是項(xiàng)的下標(biāo)關(guān)系，可采取多種方法求解【規(guī)范解答】解法一：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則根據(jù)題意可得這是一個(gè)以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個(gè)方程組，得所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an4×(n1)，即ann.因此a25×2540.解法二：設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anpnq，則根據(jù)題意可得解這個(gè)方程組，得所以ann，所以a2540.解法三：由題意可知a15a510d，即251010d

13、，所以10d15.又因?yàn)閍25a1510d，所以a25251540.(1)an為等差數(shù)列，且a72a41，a30，則公差d(b)a2bc. d2(2)等差數(shù)列an中，amn，amn，則其公差d的值為(b)a.b.c.d.解析：(1)由題意得解得d.故選b.(2)d.一、選擇題1下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是(d)a6,6,6，6，b2，1,0，n3，c5,8,11，3n2，d0,1,3，解析：d中相鄰兩項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù)，不符合等差數(shù)列的概念2在abc中，三內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列，則b等于(b)a30° b60°c90° d120°解析：a，b，c成等差數(shù)列，bacb，即ac2b.又abc180°，b60