橢圓型偏微分方程實(shí)驗(yàn)報告

1、實(shí)驗(yàn)報告實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱 橢圓型偏微分方程 實(shí)驗(yàn)室 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室 所屬課程名稱 微分方程數(shù)值方法 實(shí) 驗(yàn) 類 型 算法設(shè)計 實(shí) 驗(yàn) 日 期 2014年6月6日 班 級 學(xué) 號 姓 名 成 績 實(shí)驗(yàn)概述：【實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙蟆?實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖峭ㄟ^分析Possion問題并用交替迭代法來求解其次邊值問題，進(jìn)一步了解交替迭代法的算法特點(diǎn)即在矩形區(qū)域上的差分格式可以大大降低計算量。實(shí)驗(yàn)要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式編寫出相應(yīng)的代碼解決Possion問題?！緦?shí)驗(yàn)原理】對于簡單的橢圓型偏微分方程 Poission 方程:采用正方形網(wǎng)格剖分正方形區(qū)域 ,對 x 和 y 方向采用中心差分并記則對Pois

2、sion方程離散后差分格式可寫成;改寫為由此得Peaceman-Rachford 迭代格式為其分量形式為將以上兩步寫成矩陣形式，第一步迭代為：第二步迭代為：這里的 gij 和 gij 分別為迭代參數(shù)可取為：實(shí)際上每個迭代步相當(dāng)于解N 1個系數(shù)矩陣為三對角陣的N 1階線性代數(shù)方程組，可用追趕法求解。【實(shí)驗(yàn)環(huán)境】（使用的軟硬件）軟件：MATLAB 2012a硬件：電腦型號：聯(lián)想 Lenovo 昭陽E46A筆記本電腦操作系統(tǒng)：Windows 8 專業(yè)版 處理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 2.27GHz 2.27GHz實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：【實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計】利用Peaceman-Ra

3、chford迭代格式求解 求解域 : 0 x, y 1,其精確解為u = sin x sin y。首先利用上述原理進(jìn)行分析，從而利用Matlab軟件編寫出相應(yīng)程序?！緦?shí)驗(yàn)過程】（實(shí)驗(yàn)步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析）我們首先編寫一個m文件，包含交替方向迭代法程序如下:function u=alter(a0,b0,f,h)%輸入-a0為x,y方向起始端點(diǎn);%-b0為x,y方向終點(diǎn);%-f為方程右端函數(shù);%-h為網(wǎng)格步長;%輸出-u為解矩陣。p=200;N=fix(b0-a0)/h);u=zeros(N+1);v=zeros(N+1);g=zeros(N+1);x=a0:h:b0;y=x;tau=h*h/(

4、2*sin(pi*h);a=-tau*ones(1,N-2);c=a;d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1);for k=1:perr=0;for i=2:Nfor j=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j);endv(2:N,i)=trisys(a,d,c,g(2:N,i)'endfor i=2:Nfor j=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*v(i,j)+tau*(v(i+1,j)+v(i-1,j)+h*h*f(x(i),y(j);t=abs(u(i,j)-v(i,

5、j);if (err<t)err=t;endendu(i,2:N)=trisys(a,d,c,g(i,2:N);endif (err<1e-4)errkbreak;endk=k+1;end取步長h = 0.2,迭代殘差為10-4。然后在Command Window里編寫如下程序：f=inline('2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)','x','y');a0=0;b0=1;h=0.2;u=alter(a0,b0,f,h);x1=a0:h:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u)運(yùn)行結(jié)果如下所示：err =6

6、.4665e-05k =9將步長縮小為h = 0.1,迭代殘差為10-4。然后在Command Window里編寫如下程序：f=inline('2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)','x','y');a0=0;b0=1;h=0.1;u=alter(a0,b0,f,h);x1=a0:h:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u)運(yùn)行結(jié)果如下所示：err =7.3408e-05k =19【結(jié)論】（結(jié)果） 本次實(shí)驗(yàn)通過采用了不同的步長對同一迭代方法PR迭代格式進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)通過縮小步長,使得計算結(jié)果大大改善?！拘〗Y(jié)】 交替方向迭代法的出現(xiàn)源于求解拋物型方程的交替方向隱格式，它的最大有點(diǎn)是容易實(shí)