第十七章重積分重點(diǎn)

1、 第十七章 重積分第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1.曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面(在上連續(xù))且,這種立體稱(chēng)為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來(lái)計(jì)算:用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個(gè)小區(qū)域 ,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來(lái)的曲頂柱體分劃成個(gè)小曲頂柱體 。（假設(shè)所對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體為,這里既代表第個(gè)小區(qū)域,又表示它的面積值,既代表第個(gè)小曲頂柱體,又代表它的體積值。）從而。 由于連續(xù),對(duì)于同一個(gè)小區(qū)域來(lái)說(shuō),函數(shù)值的變化不大。因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體

2、,于是。 整個(gè)曲頂柱體的體積近似值為。為得到的精確值,只需讓這個(gè)小區(qū)域越來(lái)越小,即讓每個(gè)小區(qū)域向某點(diǎn)收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設(shè)個(gè)小區(qū)域直徑中的最大者為, 則 2.平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有 面上的區(qū)域, 它在處的面密度為,這里,而且在上連續(xù),現(xiàn)計(jì)算該平面薄片的質(zhì)量。將分成個(gè)小區(qū)域 用記的直徑, 既代表第個(gè)小區(qū)域又代表它的面積。 當(dāng)很小時(shí), 由于連續(xù), 每小片區(qū)域的質(zhì)量可近似地看作是均勻的, 那么第小塊區(qū)域的近似質(zhì)量可取為，于是 ， 兩種實(shí)際意義完全不同的問(wèn)題, 最終都?xì)w結(jié)同

3、一形式的極限問(wèn)題。因此,有必要撇開(kāi)這類(lèi)極限問(wèn)題的實(shí)際背景, 給出一個(gè)更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念-二重積分。3.二重積分的定義定義17-1 設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù), 將區(qū)域任意分成個(gè)小閉區(qū)域：, 其中: 既表示第個(gè)小閉區(qū)域, 也表示它的面積。在每個(gè)上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記作，即其中: 叫做被積函數(shù)；叫做被積表達(dá)式；叫做面積元素；與叫做積分變量；叫做積分區(qū)域；叫做積分和。若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二重積分存在。由于二重積分的定義中對(duì)區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃分區(qū)域,那

4、么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作(并稱(chēng)為直角坐標(biāo)系下的面積元素),二重積分也可表示成為 。若,二重積分表示以為頂,以為底的曲頂柱體的體積。如果是負(fù)的，柱體就在面的下方，二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積，但二重積分的值是負(fù)的。如果在的若干部分區(qū)域上是正的，而在其他的部分區(qū)域上是負(fù)的，我們可以把面上方的柱體體積取成正，下方的柱體體積取成負(fù)，則在上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和。二、二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分有相類(lèi)似的性質(zhì)：1、 其中:是常數(shù)。2、 若區(qū)域分為兩個(gè)部分區(qū)域與,則3、若在上, ,為區(qū)域的面積,則：幾何意義: 高為的平頂

5、柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4、若在上,則有不等式：特別地,由于，有：5、估值不等式設(shè)與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值, 是的面積,則6、二重積分的中值定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 是的面積,則在上至少存在一點(diǎn),使得 例1 估計(jì)二重積分 的值, 是圓域。解 求被積函數(shù) f(x,y)=x2+4y2+9在區(qū)域上的最值：,于是有例2 比較積分與的大小, 其中D是三角形閉區(qū)域, 三頂點(diǎn)各為(1,0),(1,1),(2,0)。解 三角形斜邊方程，在D內(nèi)有,故,于是,因此。第二節(jié) 二重積分的計(jì)算利用二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的,二重積分的計(jì)算是通過(guò)兩個(gè)定積分的計(jì)算(即二次積分)來(lái)實(shí)現(xiàn)的

6、。一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分如果積分區(qū)域?yàn)樾停?，其中函?shù)、在區(qū)間上連續(xù)。的值等于以為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積。應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得： 如果積分區(qū)域D為Y型：，其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)。 。型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).如果積分區(qū)域既不是型區(qū)域，又不是型區(qū)域，則可把分成幾部分，使每個(gè)部分是型區(qū)域或是型區(qū)域，每部分上的二重積分求得后，根據(jù)二重積分對(duì)于積分區(qū)域具有可加性，它們的和就是在上的二重積分。例1改變積分 的次序.解 解：原式.例2改變積分的次序

7、.解 解：原式.例3 計(jì)算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域。解 (法一) , (法二) , 例4 求，其中是以為頂點(diǎn)的三角形.解 解：無(wú)法用初等函數(shù)表示， 積分時(shí)必須考慮次序。 注意：在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序。這時(shí)，即要考慮積分區(qū)域的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性。例5 求由曲面及所圍成的立體的體積。解 立體在面的投影區(qū)域?yàn)椋?二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 極坐標(biāo)系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來(lái)計(jì)算。情形一： ，其中函數(shù), 在上連續(xù)。 情形二： ，極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界曲線上。情形三： ，極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部。 例6 將下列區(qū)域用極坐標(biāo)變量表

8、示（1）解 （2）解 例7 計(jì)算，其中D 是由中心在原點(diǎn)，半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域.解 在極坐標(biāo)系下，注 本題如果用直角坐標(biāo)計(jì)算，由于積分不能用初等函數(shù)表示，所以算不出來(lái)。我們可以利用上面的結(jié)果來(lái)計(jì)算工程上常用的反常積分。設(shè) ， ，顯然，而被積函數(shù)滿(mǎn)足 ,故 再利用例7的結(jié)果有, ,故不等式改寫(xiě)成 ： 所以當(dāng)時(shí)有 , 即 。注 使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則：(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2)被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單( 含, 為實(shí)數(shù) )。第三節(jié) 三重積分一、三重積分的概念定義17-2 設(shè)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù),將任意地分劃成個(gè)小區(qū)域

9、 ,其中表示第個(gè)小區(qū)域,也表示它的體積。在每個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn), 作乘積，并作和式。如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分。記作，即 其中叫體積元素。自然地,體積元素在直角坐標(biāo)系下也可記作成。若函數(shù)在區(qū)域上連續(xù), 則三重積分存在。特別指出:二重積分的一些術(shù)語(yǔ)、性質(zhì)可相應(yīng)地移植到三重積分。如果表示某物體在處的質(zhì)量密度,是該物體所占有的空間區(qū)域,且在上連續(xù),則和式 就是物體質(zhì)量M的近似值, 該和式當(dāng)時(shí)的極限值就是該物體的質(zhì)量M，故。特別地, 當(dāng)時(shí),。二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分在面上的投影區(qū)域?yàn)? 過(guò)上任意一點(diǎn), 作平行于軸的

10、直線穿過(guò)內(nèi)部, 與邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)。 亦即, 的邊界曲面可分為上、下兩片部分曲面。,，其中, 在上連續(xù), 并且 。，若，則三重積分可化為如下三次積分：這就是三重積分的計(jì)算公式, 它將三重積分化成先對(duì)積分變量, 次對(duì),最后對(duì)的三次積分。 如果平行于x軸或y軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線與的邊界曲面S相交不多于兩點(diǎn)，也可把閉區(qū)域投影到面上或面上，這樣便可把三重積分化為按其他順序的三次積分。如果平行于坐標(biāo)軸且穿過(guò)閉區(qū)域內(nèi)部的直線與邊界曲面S的交點(diǎn)多于兩個(gè),可仿照二重積分計(jì)算中所采用的方法, 將分成若干個(gè)部分,(如),使在上的三重積分化為各部分區(qū)域( )上的三重積分之和,當(dāng)然各部分區(qū)域 () 應(yīng)適合對(duì)

11、區(qū)域的要求。例1 計(jì)算, 其中為球面及三坐標(biāo)面所圍成的位于第一卦限的立體。解 計(jì)算三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分，即所謂截面法。有下述計(jì)算公式。設(shè)空間閉區(qū)域其中是豎標(biāo)為z的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域，則有：例2 計(jì)算三重積分，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.解 法（一） 原式. 法（二） 。例3 計(jì)算三重積分，其中 是由橢球面所成的空間閉區(qū)域.解 ， 原式2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)為空間內(nèi)一點(diǎn),該點(diǎn)在面上的投影為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,則三個(gè)數(shù)稱(chēng)作點(diǎn)的柱面坐標(biāo)。規(guī)定的取值范圍是：，。柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面分別為：,即以軸為軸的圓柱面；,即過(guò)軸的半平面；,即與面

12、平行的平面。點(diǎn)的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間有關(guān)系式為： 用三組坐標(biāo)面,將分割成許多小區(qū)域,除了含的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小區(qū)域外,這種小閉區(qū)域都是柱體。考察由各取得微小增量所成的柱體,該柱體是底面積為,高為的柱體,其體積為：，這便是柱面坐標(biāo)系下的體積元素, 且有這就是三重積分由直角坐標(biāo)變量變換成柱面坐標(biāo)變量的計(jì)算公式。至于變量變換為柱面坐標(biāo)后的三重積分的計(jì)算，則可化為三次積分來(lái)進(jìn)行，其積分限要由在中的變化范圍來(lái)確定。具體說(shuō)來(lái)，用柱面坐標(biāo)表示積分區(qū)域的方法如下：(1)找出在面上的投影區(qū)域, 并用極坐標(biāo)變量表示之；(2)在內(nèi)任取一點(diǎn), 過(guò)此點(diǎn)作平行于軸的直線穿過(guò)區(qū)域, 此直線與邊界曲面的兩交點(diǎn)之豎坐標(biāo)(

13、將此豎坐標(biāo)表示成的函數(shù) )即為的變化范圍。例4 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,其中是由曲面與平面所圍成的閉區(qū)域。解 ，3.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分這里，的變化范圍為：,三組坐標(biāo)面分別為：，即以原點(diǎn)為心的球面；，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、軸為軸的圓錐面；，即過(guò)軸的半平面。不難看出,點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)間的關(guān)系為 用三組坐標(biāo)面, , ,將分劃成許多小區(qū)域,考慮當(dāng)各取微小增量 所形成的六面體,若忽略高階無(wú)窮小,可將此六面體視為長(zhǎng)方體,其體積近似值為：，這就是球面坐標(biāo)系下的體積元素。由此，有： 這就是三重積分在球面坐標(biāo)系下的計(jì)算公式。其右端的三重積分可化為關(guān)于積分變量的三次積分來(lái)實(shí)現(xiàn)其計(jì)算,當(dāng)然,這需要將積分區(qū)域用

14、球面坐標(biāo)加以表示。實(shí)際中經(jīng)常遇到的積分區(qū)域是這樣的，是一包圍原點(diǎn)的立體, 其邊界曲面是包圍原點(diǎn)在內(nèi)的封閉曲面,將其邊界曲面方程化成球坐標(biāo)方程,據(jù)球面坐標(biāo)變量的特點(diǎn)有。例如:若是球體 , 則的球坐標(biāo)表示形式為 例5 求半徑為的球面與半頂角為餓內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。解 設(shè)球面通過(guò)原點(diǎn)，球心在軸上，又內(nèi)接錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其軸與軸重合，則球面方程為，錐面方程為。第四節(jié) 重積分的應(yīng)用把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中。若要計(jì)算的某個(gè)量對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量相應(yīng)地分成許多部分量，且等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地部分量可近

15、似地表示為的形式，其中在內(nèi)。這個(gè)稱(chēng)為所求量的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為。一、曲面的面積設(shè)曲面由方程給出,為曲面在面上的投影區(qū)域,函數(shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)和,現(xiàn)計(jì)算曲面的面積。在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(它的面積也記作),在內(nèi)取一點(diǎn),對(duì)應(yīng)著曲面上一點(diǎn),曲面在點(diǎn)處的切平面設(shè)為。以小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于軸的柱面, 該柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直徑很小,那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面面積。曲面在點(diǎn)處的法線向量( 指向朝上的那個(gè))為，它與軸正向所成夾角的方向余弦為 ，這就是曲面的面積元素, 故，即：例1 求球面含在柱面() 內(nèi)部的面積。 解 所

16、求曲面在面的投影區(qū)域 曲面方程為 , 則據(jù)曲面的對(duì)稱(chēng)性,有若曲面的方程為或,可分別將曲面投影到面或面,設(shè)所得到的投影區(qū)域分別為或,類(lèi)似地有或二、質(zhì)心先討論平面薄片的質(zhì)心。設(shè)平面上有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于，處，質(zhì)量分別為則該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的坐標(biāo)為： ， 。其中為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，分別為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸和軸的靜矩。設(shè)有一平面薄片,占有面上的閉區(qū)域,在點(diǎn)處的面密度為,假定在上連續(xù),如何確定該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)。在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(這小閉區(qū)域的面積也記作)，是這小閉區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。由于的直徑很小，且在上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于的部分的質(zhì)量近似等于，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)上，于是可寫(xiě)出靜矩元素及：

17、，以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域上積分，便得：，又由平面薄片的質(zhì)量為：，從而,薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為：，如果薄片是均勻的,即面密度為常量,則十分顯然, 這時(shí)薄片的質(zhì)心完全由閉區(qū)域的形狀所決定, 因此, 習(xí)慣上將均勻薄片的質(zhì)心稱(chēng)之為該平面薄片所占平面圖形的形心。例2 求位于兩圓和之間的均勻薄片的質(zhì)心。解 因?yàn)殚]區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)于軸，所以可知: ，所求質(zhì)心是.類(lèi)似地，占有空間有界閉區(qū)域、在點(diǎn)處的密度為(假定在上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是，其中三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量先討論平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)平面上有個(gè)質(zhì)點(diǎn), 它們分別位于點(diǎn)處, 質(zhì)量分別為。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于軸以及對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為設(shè)有一薄片,占有面上的閉區(qū)域,在點(diǎn)處的面密

18、度為, 假定在上連續(xù)。 現(xiàn)要求該薄片對(duì)于軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,。 應(yīng)用元素法。在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(這小閉區(qū)域的面積也記作)，是這小閉區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。由于的直徑很小，且在上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于的部分的質(zhì)量近似等于，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)上，于是可寫(xiě)出薄片對(duì)于軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素：，以這些元素為被積表達(dá)式，在閉區(qū)域上積分，便得：，例3 求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片(面密度為常數(shù))對(duì)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為，類(lèi)似地，占有空間有界閉區(qū)域、在點(diǎn)處的密度為(假定在上連續(xù))的物體對(duì)于、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：，.四、引力討論空間一物體對(duì)于物體外一點(diǎn)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力問(wèn)題。設(shè)物

19、體占有空間有界閉區(qū)域，它在點(diǎn)處的密度為，并假定在上連續(xù)。在物體內(nèi)任取一直徑很小的閉區(qū)域(這閉區(qū)域的體積也記作)，為這一小塊中的一點(diǎn)。把這一小塊物體的質(zhì)量近似地看作集中在點(diǎn)處。按兩質(zhì)點(diǎn)間的引力公式，可得這一小塊物體對(duì)位于處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力近似地為：其中為引力元素在三個(gè)坐標(biāo)周上的分量，為引力常數(shù)，。將在上分別積分，即得：如果考慮平面薄片對(duì)薄片外一點(diǎn)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力，設(shè)平面薄片占有平面上的有界閉區(qū)域，其面密度為，那么只要將上式中的密度換成面密度，將上的三重積分換成上的二重積分，就可得到相應(yīng)的計(jì)算公式。例4 設(shè)球體具有均勻的密度，求對(duì)球體外一點(diǎn)（質(zhì)量為1）的引力（引力系數(shù)為）. 解 設(shè)球體為，球外一點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0，).顯然有，現(xiàn)在計(jì)算，= =，其中，.用柱坐標(biāo)計(jì)算：= = =.所以，.習(xí)題十七 重積分1. 證明：若函數(shù)在有界閉區(qū)域上可積，則在上有界2. 設(shè)是可求面積的有界區(qū)域，函數(shù)在上有界并且在內(nèi)連續(xù).證明在上可積.3. 設(shè)函數(shù)在可求面積的有界閉區(qū)域上連續(xù)，且對(duì)于有證明存在無(wú)窮多個(gè)使得等式 成立4.設(shè)函數(shù)在可求面積的有界閉區(qū)域可積，證明在閉區(qū)域的上的三重積分存在.反之，設(shè)在可求體積的有界閉區(qū)域上可積，并設(shè)是可求面積的有界閉區(qū)域，試問(wèn)：在上的二重積分是否一定存在？5.計(jì)算下列重積分或累次積分：其中為區(qū)域； 其中為區(qū)域；6.其中是由與所圍的有界閉區(qū)域； 其中是由與所