非線性多重網(wǎng)格反演的一般框2重點(diǎn)

1、非線性多重網(wǎng)格反演的一般框架主要分為五個(gè)部分 1.介紹 2多重網(wǎng)格反演框架 反問題 、多重網(wǎng)格的反演算法、固定網(wǎng)格反演、多重網(wǎng)格收斂的反演。穩(wěn)定泛函。 3. 光擴(kuò)散層析成像中的應(yīng)用4數(shù)值結(jié)果。提出了評(píng)價(jià)模型所需的分辨率 、多重網(wǎng)格性能評(píng)價(jià)。摘要A variety of new imaging modalities, such as optical diffusion tomography, require the inversion of a forward problem that is modeled by the solution to a 3-D partial differentia

2、l equation. For these applications,多種新的成像方式，如光擴(kuò)散層析成像，要求正問題，采用求解三維偏微分方程反演。這些應(yīng)用程序，圖像重建是特別困難的。image reconstruction is particularly difficult because the forward problem is both nonlinear and computationally expensive to evaluate.因?yàn)樘岢龅膯栴}是非線性和評(píng)價(jià)計(jì)算昂貴的。在本文中，我們提出了非線性多重網(wǎng)格反演是適用于各種各樣的反問題的一般性框架。多重網(wǎng)格反演算法結(jié)果的遞歸多重網(wǎng)

3、格技術(shù)的優(yōu)化問題的求解逆問題中的應(yīng)用。該方法通過動(dòng)態(tài)調(diào)整目標(biāo)泛函在不同的尺度，that they are consistent with, and ultimately reduce, the finest scale cost functional. 他們是一致的，并最終減少，細(xì)尺度函數(shù)值。 在這種方式中，多重網(wǎng)格反演算法有效地計(jì)算解決所需的精細(xì)尺度反演問題。重要的是，新的算法可以大大減少計(jì)算，因?yàn)樵谡蚝头磫栴}更粗的離散化在較低的分解。 這個(gè)方法被廣泛應(yīng)用，貝葉斯光擴(kuò)散層析，廣義高斯馬爾科夫隨機(jī)場圖像先驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｕ故玖朔浅４蟮挠?jì)算節(jié)省潛力。數(shù)值數(shù)據(jù)也表明了魯棒收斂一系列的初始條件為非凸優(yōu)化問

4、題。隨機(jī)場圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@示了非常大的計(jì)算節(jié)省的潛力。數(shù)值數(shù)據(jù)也表明了一系列的非凸優(yōu)化的初始條件的魯棒收斂problem.問題。關(guān)鍵詞：多重網(wǎng)格算法、反問題、光擴(kuò)散層析成像、多尺度 一介紹 一大類圖像處理的問題，如模糊，高分辨率的渲染，圖像恢復(fù)，圖像分割，與斷層運(yùn)動(dòng)分析，逆問題的解決，通常，這些反問題的數(shù)值解法是計(jì)算能力的要求，特別是當(dāng)問題必須制定在三維上。最近，一些新的成像方式，如光擴(kuò)散層析成像（ODT） 和電阻抗斷層成像（EIT），備受關(guān)注，例如光擴(kuò)散層析成像在安全上有很大的潛力，非侵入性的醫(yī)療診斷方法與化學(xué)特異。然而，這些反問題有關(guān)聯(lián)的新模式，目前有大量的困難挑戰(zhàn)，首先，正演模型取決偏微

5、分方程（PDE）描述的解決，(PDE) which is computationally demanding to solve. Second, the unknown image is formed by the這是計(jì)算能力的要求。第二，未知的圖像決定于偏微分方程的系數(shù)，從而正演模型是高度非線性的，即使本身是線性偏微分方程。最后，這些問題通常是由于固有的三維向三維的能量傳播散射介質(zhì)模型。因?yàn)樽匀唤缰械脑S多現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述偏微分方程反問題，也有許多其他有類似的計(jì)算上的困難，包括微波tomography 7, thermal wave tomography 8, and inverse scatt

6、ering 9.斷層，熱波成像和逆散射。要解決的逆問題，大部分的算法，如共軛梯度（CG），最速下降（SD），和迭代坐標(biāo)下降（ICD） 10 使用固定網(wǎng)格執(zhí)行所有計(jì)算。盡管巨大的進(jìn)步已經(jīng)減少了計(jì)算的復(fù)雜性，這些固定網(wǎng)格的方法，計(jì)算成本仍然十分關(guān)注。也許更重要的是，fixed grid optimization methods are essentially performing a local search of the cost function固定的網(wǎng)格優(yōu)化方法本質(zhì)上是執(zhí)行的成本函數(shù)的局部搜索，and are therefore more susceptible to being trapp

7、ed in local minima that can result in poorer quality因此更容易陷入局部極小值，會(huì)導(dǎo)致質(zhì)量較差reconstructions.重建。多尺度技術(shù)已經(jīng)減少反問題的計(jì)算得到了廣泛的研究。即使是簡單的多尺度的方法，如初始化的精細(xì)分辨率迭代粗的解決方案，已被證明是在許多成像問題的有效。小波已被研究了貝葉斯斷層，和wavelet and multiresolution models have been applied in Bayesian formulations of emission tomography小波變換和多尺度模型已應(yīng)用于發(fā)射斷層掃描的貝葉

8、斯公式21, 22, 23, 24 and thermal wave tomography 25. For ODT, a two resolution wavelet，和熱波成像。光擴(kuò)散層析成像ODT，一個(gè)二維分辨率小波decomposition was used to speed inversion of a problem linearized with a Born approximation 26.分解是用來加速問題線性化近似反演一出世。多重網(wǎng)格方法是一類特殊的多尺度算法，通過遞歸的方法操作上的數(shù)據(jù)在不同的分辨率，使用嵌套的迭代和粗網(wǎng)格校正的思。多重網(wǎng)格算法最初引起興趣的一種方法為有效

9、地消除光誤差分量求解偏微分方程，這并不總是阻尼fixed-grid relaxation schemes. In particular, the full approximation scheme (FAS) of Brandt 27 can固定網(wǎng)格松弛方案。特別是，全近似格式（FAS）勃蘭特 27 能be used to solve nonlinear PDEs. Multigrid methods have been used to expedite convergence in various是用來解決非線性偏微分方程。多重網(wǎng)格方法已被用來加速收斂的各種image processing

10、problems, for example, lightness computation 33, shape-from-X 33, 34,圖像處理的問題，例如，亮度計(jì)算 ，形狀從-X ，optical flow estimation 33, 35, 36, 37, 38, signal/image smoothing 39, 40, image segmentation光流估計(jì)，信號(hào)/圖像平滑，圖像分割40, 41, image matching 42, image restoration 43, anisotropic diffusion 44, sparse-data圖像匹配，圖像復(fù)原，各

11、向異性擴(kuò)散，稀疏的數(shù)據(jù)surface representation 45, interpolation of missing image data 40, 46, and image binarization表面表征，丟失的圖像數(shù)據(jù)的插值，和圖像二值化。最近，多重網(wǎng)格算法已經(jīng)被用來解決圖像重建問題。博曼和紹爾表明非線性多重網(wǎng)格算法可以應(yīng)用于貝葉斯反演問題。本文采用非線性多重網(wǎng)格技術(shù)計(jì)算最大后驗(yàn)概率（MAP）非高斯先驗(yàn)分布和非負(fù)約束重建。麥考密克和韋德應(yīng)用多重網(wǎng)格方法的線性化的企業(yè)所得稅問題，與博爾恰used a nonlinear multigrid approach to EIT based

12、 on a direct nonlinear formulation analogous to FAS用非線性多重網(wǎng)格方法的基礎(chǔ)上制定的非線性EIT直接類似于Fasin nonlinear multigrid PDE solvers. Brandt et al. developed multigrid methods for EIT 50 and在非線性多重網(wǎng)格求解偏微分方程的求解器。勃蘭特等人。用于電阻抗斷層成像EIT的多重網(wǎng)格方法atmospheric data assimilation 51, and applied multigrid or multiscale methods to

13、various numerical大氣數(shù)據(jù)同化，并應(yīng)用多重網(wǎng)格或多尺度方法的各種數(shù)值computation problems including inverse problems 52, 53. Johnson et al. 54 applied an algebraic計(jì)算問題，包括反問題。約翰遜等人。應(yīng)用代數(shù)multigrid algorithm to inverse bioelectric field problems formulated with the finite-element method.多重網(wǎng)格算法的逆生物電場問題的有限元法的制定In 55, 56, Ye, et al.

14、 formulated the multigrid approach directly in an optimization framewo等。制定了多重網(wǎng)格方法直接在一個(gè)優(yōu)化框架，and used the method to solve ODT problems. In related work, Nash and Lewis formulated multigrid使用的方法來解決口腔問題。在相關(guān)的工作，納什和劉易斯制定了多重網(wǎng)格algorithms for the solution of a broad class of optimization problems 57, 58. Imp

15、ortantly, both對(duì)于廣泛的一類優(yōu)化問題的求解算法，重要的是，無論是the approaches of Ye and Nash are based on the matching of cost functional derivatives at different你們和納什方法的基礎(chǔ)上在不同的成本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的匹配scales.尺度。在本文中，我們提出了一個(gè)方法，我們稱之為多重網(wǎng)格反演，多重網(wǎng)格反演是應(yīng)用非線性多重網(wǎng)格優(yōu)化的逆解的一般方法問題。在我們的方法中一個(gè)關(guān)鍵的創(chuàng)新就是正向和逆解決模型是不同的。這使得我們的方法特別適合于反問題的解決方案with PDE forward model

16、s for a number of reasons:在偏微分方程模型有很多原因：1.通過粗網(wǎng)格解決提出的偏微分方程模型，計(jì)算量大大減少，在以前的方法，建立了偏微分方程在最好的網(wǎng)格只解決了。這意味著粗網(wǎng)格更新是計(jì)算復(fù)雜性，或一種線性逼近was made for the coarse grid forward model 48, 55, 56.粗網(wǎng)格正演模型。2.粗網(wǎng)格模型可以通過正確離散偏微分方程模型，保留正向模型的非線性特性。3. 各種各樣的優(yōu)化方法可用于在每個(gè)網(wǎng)格求解反問題。因此，常用的方法，如預(yù)條件共軛梯度和/或伴隨分化63, 64 can be employed at each grid

17、 resolution.可以在每個(gè)網(wǎng)格分辨率。多重網(wǎng)格反演方法目的是解決反問題例如光擴(kuò)散層析成像（odt）和電阻抗斷層成像（eit），它普遍適用于任何反問題，該模型可以自然地represented at differing grid resolutions.表示在不同的網(wǎng)格決議。多重網(wǎng)格反演方法是制定一個(gè)優(yōu)化框架定義一個(gè)序列在降低分辨率優(yōu)化泛函。要有良好的表現(xiàn)方法為了正確的細(xì)網(wǎng)格的收斂性，它是必不可少的，在不同尺度下的目標(biāo)泛函be consistent.是一致的。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們提出了一個(gè)適應(yīng)的粗網(wǎng)格遞歸泛函方法，這保證了多重網(wǎng)格的更新將不會(huì)改變一個(gè)確切的解決方案的細(xì)網(wǎng)格的問題，即準(zhǔn)確的

18、細(xì)網(wǎng)格的解決方案，始終是一個(gè)固定點(diǎn)的多重網(wǎng)格算法。此外，我們證明了在一定條件下，非線性多重網(wǎng)格反演方法是保證產(chǎn)生monotone convergence of the fine grid cost functional. We present experimental results for the ODT細(xì)網(wǎng)格目標(biāo)泛函的單調(diào)收斂性。我們目前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的ODTapplication which show that the multigrid inversion algorithm can provide dramatic reductions in應(yīng)用表明，多重網(wǎng)格反演算法提供了急劇減少com

19、putation when the inversion problem is solved at the resolution necessary to achieve a high quality計(jì)算，當(dāng)反演問題的解決在分辨率要達(dá)到高質(zhì)量reconstruction.重建。 本文的結(jié)構(gòu)如下。第二部分介紹了多重網(wǎng)格的一般概念反演算法，并討論了其收斂性1-4節(jié)。在第三節(jié)中，我們說明了的多重網(wǎng)格反演方法在ODT問題中的應(yīng)用，及其數(shù)值結(jié)果在第四節(jié)的最后，第五是結(jié)語。二、多重網(wǎng)格反演框架 在本節(jié)中，我們概述的正則化反演方法，然后制定一般多重網(wǎng)格反演方法。A反問題 設(shè)y是一個(gè)隨機(jī)向量（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）測量，

20、讓x是一個(gè)有限維向量表示未知量，在我們的例子中的圖像，以重建。任何逆問題，有一個(gè)正演模型給出了 (1) 等價(jià)于 which represents the computed means of the measurements given the image x. 它代表了計(jì)算機(jī)測量的裝置，給出了圖像X。 逆問題很多，如ODT，正演模型是由偏微分方程確定離散偏微分方程的系數(shù)給出的解決方案。我們假設(shè)測量是有條件的高斯給定，所以 (2) 定義是正定加權(quán)矩陣，P是測量維度，參數(shù)成比例的噪音方差，請(qǐng)注意，測量噪聲covariance matrix is equal to d協(xié)方差矩陣相等，當(dāng)數(shù)據(jù)值是實(shí)數(shù)，

21、P等于向量Y的長度，但當(dāng)測量是復(fù)數(shù)時(shí)，則P等于Y維數(shù)的兩倍。Our objective is to invert the forward model of (1) and thereby estimate x from a particular measurement vector y. 我們的目標(biāo)是將正向模型（1），從而根據(jù)特定的測試向量估計(jì)，這有很多方法執(zhí)行估計(jì)，包括最大后驗(yàn)概率（MAP）的各種方法的估計(jì)，估計(jì)最大似然，和正則化反演。所有這些方法通過最有目標(biāo)泛函去計(jì)算的值。 （3）其中是穩(wěn)定函數(shù)規(guī)范的逆，注意在最大后驗(yàn)方法中，where p(x) is the prior distribu

22、tion assumed for x. 其中p（x）是經(jīng)驗(yàn)分布假設(shè)為x.我們將估計(jì)的噪聲方差參數(shù)和x的共同最大化（3）式對(duì)求導(dǎo)，另得到 在把代入（3）中下降常數(shù)產(chǎn)生目標(biāo)泛函優(yōu) （4）我們一般認(rèn)為是一個(gè)連續(xù)可為的函數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)，在和的聯(lián)合優(yōu)化具有許多重要的優(yōu)點(diǎn)，首先，在許多應(yīng)用中解決多重網(wǎng)格，測量噪音是事先不知道的，相對(duì)噪聲的大小可能是已知的。在這樣的場景中，它可以同時(shí)估計(jì)。值隨著x值。更重要的是，我們發(fā)現(xiàn)，有一個(gè)the logarithm in the expression of (4) makes optimization less susceptible to being trapped

23、in local對(duì)數(shù)在表達(dá)（4）中，優(yōu)化而使人陷在局部最小值minima 67. In any case, the multigrid methods we describe are equally applicable to the case wh。多重網(wǎng)格方法在任何的情況下，我們描述的情況是同樣適用于固定的。在這樣的情況下，目標(biāo)泛函是由代替方程（4）。B.固定網(wǎng)格反問題 當(dāng)目標(biāo)泛函（4）制定，反是通過解決相關(guān)的優(yōu)化問題的計(jì)算,反問題計(jì)算用來解決合并優(yōu)化問題 （5）大多數(shù)優(yōu)化算法，例如共軛梯度（CG），最速下降（SD），和迭代坐標(biāo)下降（ICD），通過迭代最小目標(biāo)泛函，我們解釋一個(gè)簡單的迭代，

24、例如固定網(wǎng)格優(yōu)化： 其中成是目標(biāo)泛函最小值，是初始值，是更新值，我們通常假定固定網(wǎng)格算法降使目標(biāo)泛函在每次迭代值下降，除非的初始值是目標(biāo)泛函的局部最小值。因此我們說這個(gè)更新的算法單調(diào)，當(dāng)嚴(yán)格不等式 rc(xinit) 6= 0 or xupdate 6= xinit. 循環(huán)應(yīng)用一個(gè)固定網(wǎng)格優(yōu)化，產(chǎn)生一序列單調(diào)遞減的估計(jì)值，因此，通過迭代公式（6）可以近似解決（5）。 在許多反問題中，例如，光擴(kuò)散層析成像（odt）正演模型計(jì)算需要解決三維偏微分方程，我們必須用計(jì)算機(jī)來描述數(shù)值解，雖然精細(xì)離散網(wǎng)格是可取的因?yàn)樗档土私Ｕ`差和增加最終圖像的分辨率，these improvements are ob

25、tained at the expense of a dramatic increase in computational cost.在計(jì)算成本大幅增加費(fèi)用得到了這些改進(jìn)。the computational cost typically increases by a factor of 8 each time the resolution is計(jì)算成本通常會(huì)增加8的每個(gè)時(shí)間分辨率是一個(gè)因素增加了一倍。在精細(xì)的分辨率問題的解決也趨于收斂速度慢。例如，許多固定網(wǎng)格算法如ICD2有效地消除誤差在高空間頻率，但低頻率errors are damped slowly 29, 10.誤差衰減緩慢。C.多重

26、網(wǎng)格反問題的算法在本節(jié)中，我們得到了多重網(wǎng)格反演的基本算法的優(yōu)化求解(5).設(shè)表示的細(xì)網(wǎng)格的圖像，讓是的粗分辨率用表示，隨著最佳網(wǎng)格采樣周期網(wǎng)格采樣周期。根據(jù)細(xì)分變率得到粗分辨率，關(guān)系式： 是線性抽取矩陣（限制算子），定義為類似線性插值矩陣，我們首先定義粗網(wǎng)格目標(biāo)泛函，形式類似于式子（4），由尺度指數(shù)量為， （7）注意正演模型，和穩(wěn)定泛函都用來評(píng)價(jià)尺度q的，很重要，因?yàn)樵u(píng)價(jià)提出的模型在低分辨率的基本.減少了計(jì)算，因變量的數(shù)量也減少。一般D的具體形式從物理問題解決的結(jié)果用適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格間距在第三節(jié)中，我們將給出一個(gè)典型的例子是光擴(kuò)散層析成像(ODT)where D is computed by di

27、scretizing the 3-D PDE using agrid spacing proportional to 2q.其中是通過離散的三維偏微分方程（PDE）使用間距成正比，計(jì)算模型. 量在（7）表示一個(gè)調(diào)整測量向量scale q.尺度q，請(qǐng)注意，在這項(xiàng)工作中，我們假設(shè)和是相同的長度在每一個(gè)尺度，.因此，數(shù)據(jù)分辨率對(duì)不起作用，穩(wěn)定泛函在固定尺度上選擇的最佳近似的細(xì)尺度的泛函。我們給這樣一個(gè)穩(wěn)定的一個(gè)例子，在第二部分e中， 在本節(jié)余下的部分，我們解決了目標(biāo)泛函的每個(gè)尺度能夠吻合的連續(xù)解，像這樣，我們定義調(diào)整目標(biāo)泛函， （8） 其中是一個(gè)行向量，引入他是為了校正目標(biāo)泛函的梯度.所有的量tak

28、e on their fine scale values and A在細(xì)尺度值呈現(xiàn)因此我們的目標(biāo)是導(dǎo)出關(guān)于和符合目標(biāo)泛函的粗細(xì)尺度的遞推表達(dá)式。 設(shè)是網(wǎng)格q的局部解，我們想要用這個(gè)解循環(huán)固定網(wǎng)格優(yōu)化粗網(wǎng)格，利用這個(gè)結(jié)果矯正細(xì)網(wǎng)格結(jié)果，粗網(wǎng)格更新為 （9）其中是由減少形成的初始條件，是更新后的值?，F(xiàn)在我們可以利用這個(gè)結(jié)果來更新更細(xì)的網(wǎng)格解決方案。我們通過插值來改變粗尺度解通過 （10）理想情況下，新解和舊解一樣好，具體來說，當(dāng)固定網(wǎng)格算法單調(diào)時(shí)，我們希望，然而，這不一定，如果目標(biāo)泛函不一致，粗尺度糾正很容易的就遠(yuǎn)離了最優(yōu)解。這種不一致性問題，如果粗、細(xì)規(guī)模目標(biāo)泛函等價(jià)于are equal wit

29、hin an additive constant.This means we would like等價(jià)于內(nèi)加常數(shù)。這意味著我們要 （11）持有的所有值然后，我們的目標(biāo)是選擇一個(gè)粗尺度目標(biāo)泛函符合精細(xì)化目標(biāo)泛函描述（11）。我們通過的合理選擇。第一，我們加強(qiáng)了模型和測量之間的初始誤差是相同的在粗和細(xì)尺度的條件下，給予 （12）產(chǎn)生更新值 （13）直觀的說，括號(hào)里這項(xiàng)是正演模型與分辨率不吻合的懲罰項(xiàng)。 接下來，我們分情況介紹執(zhí)行條件，粗細(xì)尺度目標(biāo)泛函等同于當(dāng)前值，確切的執(zhí)行情況為在粗網(wǎng)格與細(xì)網(wǎng)格目標(biāo)泛函梯度在和上相同，更確切地說 （14） 圖一是校正項(xiàng)的作用，(a) 當(dāng)粗細(xì)網(wǎng)格目標(biāo)泛函的梯度在初始

30、值不相等時(shí)，那么由粗網(wǎng)格迭代得到的很能會(huì)增加細(xì)網(wǎng)格的值。（b）當(dāng)粗細(xì)網(wǎng)格目標(biāo)泛函的值吻合時(shí)，那么一個(gè)經(jīng)由適當(dāng)選擇的粗網(wǎng)格目標(biāo)泛函就可以確保粗網(wǎng)格迭代減少細(xì)網(wǎng)格目標(biāo)泛函的函數(shù)值。是指由泛函的梯度所構(gòu)成的行向量，這個(gè)條件是最優(yōu)解是多重網(wǎng)格反演方法的固定點(diǎn)的必要條件，在第二部分第四小節(jié)具體給出如何使用這個(gè)條件及其他假設(shè)來證明多重網(wǎng)格的收斂性。式子（14）需要注意的是插值矩陣乘在梯度向量的右邊，它實(shí)際上起到的是限制算子的作用，無論限制算子還是延拓算子式子（14）都成立。由式子（14）得到 （15）是未調(diào)整的目標(biāo)泛函在式子（7）中，通過估計(jì)梯度值通過式子（15）得到 （16）與是在粗細(xì)網(wǎng)格上未調(diào)整目標(biāo)泛

31、函的梯度，分別給出 （17） 更新二重網(wǎng)格 重復(fù)次 固定網(wǎng)格更新細(xì)網(wǎng)格更新 抽取 用（13）計(jì)算 用（16）計(jì)算 重復(fù)次 固定網(wǎng)格更新粗網(wǎng)格更新 粗網(wǎng)格校正返回次 固定網(wǎng)格更新細(xì)網(wǎng)格更新 返回/回送結(jié)果圖2，二重網(wǎng)格反問題算法的規(guī)范代碼，符號(hào)是用來使目標(biāo)泛函明確的依賴與 （18）H是共軛轉(zhuǎn)置算子，表示正演模型的梯度或者？ （19） （20)作為本部分的總結(jié)，圖2展示了偽代碼實(shí)施二重網(wǎng)格算法，在這個(gè)圖像中，我們使用符號(hào)符號(hào)是用來使目標(biāo)泛函明確的依賴與，注意,和固定網(wǎng)格迭代之前完成粗網(wǎng)格修正,可以通過和調(diào)整算法的收斂速度。多重網(wǎng)格V型算法是通過簡單地取代了固定網(wǎng)格更新解決二重網(wǎng)格算法的遞歸子程序調(diào)

32、用,在圖像3（b）展示了偽代碼，通過多重網(wǎng)格迭代算法我們可以解出式子（5），正如圖像3（a）所示，多重網(wǎng)格-V型算法算法的然后從細(xì)到粗與細(xì)的決議迭代，主要的（） 初始值由背景經(jīng)驗(yàn)值 選擇一些固定網(wǎng)格迭代和重復(fù)直到收斂 多重網(wǎng)格v型 （a）多重網(wǎng)格V型重復(fù)次 固定網(wǎng)格更新細(xì)網(wǎng)格更新若，返回/如果是粗網(wǎng)格尺度，返回結(jié)果 抽取 用（13）計(jì)算 用（15）計(jì)算 多重網(wǎng)格v型粗網(wǎng)格更新 粗網(wǎng)格校正返回次 固定網(wǎng)格更新細(xì)網(wǎng)格更新 返回/回送結(jié)果 （b) 規(guī)范偽代碼（a）是解決多重網(wǎng)格反問題的重要路線，（b）是多重網(wǎng)格-V算法的子程序，多重網(wǎng)格-V算法相似于二重網(wǎng)格算法，但是遞歸調(diào)用自身進(jìn)行粗網(wǎng)格迭代。D.

33、多重網(wǎng)格繁衍的收斂性多重網(wǎng)格反演方法可以看做是這樣一種方法：即通過暫時(shí)性的將原始代價(jià)泛函替換成較低分辨率下的代價(jià)泛函，以達(dá)到降低淺在高額計(jì)算量的目的，實(shí)際上，為了加快或簡化運(yùn)算過程，學(xué)者們已經(jīng)設(shè)計(jì)出一大類依賴于所謂替代范圍進(jìn)行利用的最優(yōu)化方法，或?qū)⑺麄兎Q之泛函替代法，在EM算法中采用的Q函數(shù)，就是作為一種典型的替代泛函而為人周知，最近，De Pierro發(fā)現(xiàn)同樣的基本方法可以應(yīng)用于斷層問題的方式,允許并行更新計(jì)算像素的處罰ML重建70,71。De Pierro的方法已經(jīng)被用來證明收斂和在斷層允許并行更新ICD方法72,73。然而，應(yīng)用在多重網(wǎng)格反演方法中的替代泛函有一個(gè)不同于其他獨(dú)特泛函的獨(dú)特優(yōu)勢：