電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)(jch)第一頁，共72頁。5.1 5.1 泊松方程泊松方程(fngchng)(fngchng)和拉普拉斯方程和拉普拉斯方程(fngchng) (fngchng) 靜態(tài)靜態(tài)(jngti)(jngti)場(chǎng)中的麥克斯韋方場(chǎng)中的麥克斯韋方程組程組 對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)，各場(chǎng)量只是對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)，各場(chǎng)量只是(zhsh)(zhsh)空間坐標(biāo)的函數(shù)，并空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間t t無關(guān)。因此無關(guān)。因此 ，靜態(tài)場(chǎng)的麥克斯，靜態(tài)場(chǎng)的麥克斯韋方程組為：韋方程組為： 00DEBHJ 00svlslsD dsdvE dlB dsH dlJ ds

2、 電流連續(xù)性方程為：電流連續(xù)性方程為： 00J dssJ 第1頁/共72頁第二頁，共72頁。由上述方程組可知，靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場(chǎng)的由上述方程組可知，靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的，即電場(chǎng)只由電荷產(chǎn)生，磁場(chǎng)只由電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的，即電場(chǎng)只由電荷產(chǎn)生，磁場(chǎng)只由電流電流(dinli)(dinli)產(chǎn)生。沒有變化的磁場(chǎng)，也沒有變化的電場(chǎng)。既產(chǎn)生。沒有變化的磁場(chǎng)，也沒有變化的電場(chǎng)。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基然如此，我們就可以分別寫出靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基本方程。本方程。 1 1、靜電場(chǎng)的基本、靜電場(chǎng)的基本

3、(jbn)(jbn)方程方程 靜電場(chǎng)是靜止電荷靜電場(chǎng)是靜止電荷(dinh)(dinh)或靜止帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)，其基或靜止帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)，其基本方程為本方程為 0DE 0svlD dsdvqE dl上式表明：靜電場(chǎng)中的旋度為上式表明：靜電場(chǎng)中的旋度為0 0，即靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)不可能由旋，即靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的通量源。渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的通量源。 第2頁/共72頁第三頁，共72頁。另外另外(ln wi)(ln wi)：電介質(zhì)的物態(tài)：電介質(zhì)的物態(tài)方程為方程為 E 靜電場(chǎng)是一個(gè)靜電場(chǎng)是一個(gè)(y )(y )有源無旋場(chǎng)，所以靜電場(chǎng)可用電位函數(shù)來描述，有源無旋場(chǎng)，所以靜電場(chǎng)可

4、用電位函數(shù)來描述，即即 DE 2 2、恒定電場(chǎng)的基本、恒定電場(chǎng)的基本(jbn)(jbn)方程方程 載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場(chǎng)，即為恒載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場(chǎng)，即為恒定電場(chǎng)。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時(shí)，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中定電場(chǎng)。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時(shí)，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場(chǎng)維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場(chǎng)也是恒定的。也是恒定的。第3頁/共72頁第四頁，共72頁。 要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠(yko)非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場(chǎng)力搬到A極板。這種提供非靜電力將其

5、它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。 恒定電流的形成恒定電流的形成+ABC- 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)重要區(qū)別：恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)重要區(qū)別： （1 1）恒定電場(chǎng)可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。）恒定電場(chǎng)可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。 （2 2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須必須(bx)(bx)有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。第4頁/共72頁第五頁，共72頁。若一閉合路徑若一閉合路徑(ljng)(ljng)經(jīng)過電源經(jīng)過電源，則：，則： ElE dle0sJ ds即電場(chǎng)強(qiáng)度即電場(chǎng)強(qiáng)度 的線積分等于電源的電動(dòng)

6、勢(shì)的線積分等于電源的電動(dòng)勢(shì) EEe若閉合若閉合(b h)(b h)路徑不經(jīng)過電源，路徑不經(jīng)過電源，則：則： 0lE dl這是恒定電場(chǎng)在無源區(qū)的基本這是恒定電場(chǎng)在無源區(qū)的基本(jbn)(jbn)方程積分形式，其微分形式為方程積分形式，其微分形式為 00EJ JE 從以上分析可知，恒定電場(chǎng)的無源區(qū)域也是一個(gè)位場(chǎng)，從以上分析可知，恒定電場(chǎng)的無源區(qū)域也是一個(gè)位場(chǎng)，也可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述。也可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述。 另外：另外：導(dǎo)體中的物態(tài)方程為導(dǎo)體中的物態(tài)方程為 E 第5頁/共72頁第六頁，共72頁。 3 3、恒定磁場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)(cchng)(cchng)的的基本方程基本方程 0slsB dsH d

7、lJ ds這是恒定這是恒定(hngdng)(hngdng)磁場(chǎng)的基本方程。磁場(chǎng)的基本方程。 BH 從以上方程可知，恒定磁場(chǎng)從以上方程可知，恒定磁場(chǎng)(cchng)(cchng)是一個(gè)旋渦場(chǎng)，電流是這個(gè)旋是一個(gè)旋渦場(chǎng)，電流是這個(gè)旋渦場(chǎng)的源，磁力線是閉合的。渦場(chǎng)的源，磁力線是閉合的。 另外：另外：磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為 恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場(chǎng)，而且存在恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場(chǎng)，而且存在磁場(chǎng)，但這個(gè)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，是恒定磁場(chǎng)。假設(shè)導(dǎo)體磁場(chǎng)，但這個(gè)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，是恒定磁場(chǎng)。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為中的傳導(dǎo)電流為I I，電流密度為，電流密度為 , ,則有則有

8、 J 0BHJ 第6頁/共72頁第七頁，共72頁。 靜電場(chǎng)既然是一個(gè)位場(chǎng)，就可以用一個(gè)標(biāo)量函靜電場(chǎng)既然是一個(gè)位場(chǎng)，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)數(shù) 的梯度來表示它的梯度來表示它: :E 泊松方程泊松方程(fngchng)(fngchng)和拉普拉斯方程和拉普拉斯方程(fngchng) (fngchng) 1 1、靜電場(chǎng)的位函數(shù)、靜電場(chǎng)的位函數(shù)(hnsh) (hnsh) 即即式中的標(biāo)量函數(shù)式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為稱為電位函數(shù)。電位函數(shù)。 0 所以所以(suy)(suy)有有對(duì)于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，對(duì)于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，為常數(shù)為常數(shù), ()DEE () 即即靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)的位函數(shù)的位函數(shù) 滿足滿

9、足的泊松方程。的泊松方程。 2 第7頁/共72頁第八頁，共72頁。上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源源”的區(qū)域內(nèi)，靜的區(qū)域內(nèi)，靜電場(chǎng)的電位函數(shù)所滿足電場(chǎng)的電位函數(shù)所滿足(mnz)(mnz)的方程，我們將這種形式的方程稱的方程，我們將這種形式的方程稱為為 泊松方程。泊松方程。 如果場(chǎng)中某處有如果場(chǎng)中某處有=0=0，即在無源，即在無源(w yun)(w yun)區(qū)域，則上式變?yōu)閰^(qū)域，則上式變?yōu)?0我們將這種形式的方程稱為我們將這種形式的方程稱為 拉普拉斯方程。它拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù) 應(yīng)滿足

10、的方程。應(yīng)滿足的方程。 2 第8頁/共72頁第九頁，共72頁。在直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中系中 2222222xyz在圓柱在圓柱(yunzh)(yunzh)坐標(biāo)系中坐標(biāo)系中 22222211()rr rrrz在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中 22222222111()(sin)sinsinRRRRRR2拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式： 第9頁/共72頁第十頁，共72頁。 2 2、恒定電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)(din (din chng)chng)的位函數(shù)的位函數(shù) 根據(jù)電流連續(xù)性方程根據(jù)電流連續(xù)性方

11、程 及物態(tài)方程及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對(duì)應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有為一常數(shù)（對(duì)應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有 0J JE 2()()0JE 則有則有20 在無源區(qū)域，恒定在無源區(qū)域，恒定(hngdng)(hngdng)電場(chǎng)是一個(gè)位場(chǎng)，即有電場(chǎng)是一個(gè)位場(chǎng)，即有 0E這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù) 使得使得 E這說明，在無源區(qū)域，恒定這說明，在無源區(qū)域，恒定(hngdng)電場(chǎng)的位函數(shù)滿足電場(chǎng)的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。 第10頁/共72頁第十一頁，共72頁。 3 3、恒定磁場(chǎng)的位函數(shù)、恒定磁場(chǎng)的位函數(shù)(hnsh)(hnsh)分布分布 2()A

12、AAJ 人為人為(rnwi)(rnwi)規(guī)定規(guī)定 0A (1) 磁場(chǎng)磁場(chǎng)(cchng)的的矢量位函數(shù)矢量位函數(shù)這個(gè)規(guī)定被稱為庫(kù)侖規(guī)范這個(gè)規(guī)定被稱為庫(kù)侖規(guī)范 2AJ 于是有于是有此式即為矢量磁位的泊松方程。此式即為矢量磁位的泊松方程。 恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，即恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，即 , ,但它卻是無散場(chǎng)，但它卻是無散場(chǎng)， 即即 BJ 0B ABA 引入一個(gè)矢量磁位引入一個(gè)矢量磁位 后，由于后，由于 ，可得，可得 第11頁/共72頁第十二頁，共72頁。20A在沒有電流的區(qū)域在沒有電流的區(qū)域 , , 所以有所以有 0J 在沒有電流分布在沒有電流分布(fnb)的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場(chǎng)的基本方程變?yōu)榈膮^(qū)域內(nèi)，恒定磁

13、場(chǎng)的基本方程變?yōu)?0BH (2) 磁場(chǎng)磁場(chǎng)(cchng)的標(biāo)量的標(biāo)量位函數(shù)位函數(shù)m這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也成了無旋場(chǎng)，具有位場(chǎng)的性這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也成了無旋場(chǎng)，具有位場(chǎng)的性質(zhì)，因此，象靜電場(chǎng)一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，質(zhì)，因此，象靜電場(chǎng)一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，即標(biāo)量磁位函數(shù)即標(biāo)量磁位函數(shù) 注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能(cinng)應(yīng)應(yīng)用。用。Hm 即令即令 此式即為矢量磁位此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程的拉普拉斯方程第12頁/共72頁第十三頁，共72頁。以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場(chǎng)的基本方程表明：靜態(tài)場(chǎng)可以用以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場(chǎng)的基

14、本方程表明：靜態(tài)場(chǎng)可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足(mnz)(mnz)泊松泊松方程，在無源區(qū)域均滿足方程，在無源區(qū)域均滿足(mnz)(mnz)拉普拉斯方程。因此，拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場(chǎng)的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯靜態(tài)場(chǎng)的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對(duì)具體的方程的問題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對(duì)具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原解方法之前，我們要

15、先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。 當(dāng)媒質(zhì)是均勻、線性和各項(xiàng)同性時(shí)，由當(dāng)媒質(zhì)是均勻、線性和各項(xiàng)同性時(shí)，由 和和 可得可得 0BBH0HHm 由于由于(yu(yuy) y) 20m第13頁/共72頁第十四頁，共72頁。5.2 5.2 對(duì)偶原理對(duì)偶原理 如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對(duì)偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱將是相同的，這就

16、是對(duì)偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱為對(duì)偶性方程，在對(duì)偶性方程中，處于同等地位的量稱為對(duì)偶量為對(duì)偶性方程，在對(duì)偶性方程中，處于同等地位的量稱為對(duì)偶量。 有了對(duì)偶原理后，我們就能把某種場(chǎng)的分析計(jì)算結(jié)果，直接有了對(duì)偶原理后，我們就能把某種場(chǎng)的分析計(jì)算結(jié)果，直接推廣到其對(duì)偶的場(chǎng)中，這也是求解推廣到其對(duì)偶的場(chǎng)中，這也是求解(qi ji)(qi ji)電磁場(chǎng)的一種方法。電磁場(chǎng)的一種方法。 第14頁/共72頁第十五頁，共72頁。1 1、=0=0區(qū)域的靜電場(chǎng)與電源外區(qū)域的恒定區(qū)域的靜電場(chǎng)與電源外區(qū)域的恒定(hngdng)(hngdng)電場(chǎng)的對(duì)偶電場(chǎng)的對(duì)偶 0E 20qI 對(duì)偶量對(duì)偶量恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)靜

17、電場(chǎng)靜電場(chǎng)0E EEE E 0J0D DJDE JE 20qD dss IJ dss第15頁/共72頁第十六頁，共72頁。0E 20m 對(duì)偶量對(duì)偶量恒定磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng)靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)0HEH0B0D DBDE BH20mq qD dss Bsds 2 2、=0=0區(qū)域的靜電場(chǎng)與區(qū)域的靜電場(chǎng)與 區(qū)域的恒定磁場(chǎng)的對(duì)偶區(qū)域的恒定磁場(chǎng)的對(duì)偶 0J 第16頁/共72頁第十七頁，共72頁。5.3 5.3 疊加原理疊加原理(yunl)(yunl)和唯一性定理和唯一性定理 在研究具體的工程電磁場(chǎng)問題時(shí)，無論是靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、還在研究具體的工程電磁場(chǎng)問題時(shí)，無論是靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、還是恒定磁場(chǎng)，都需要根據(jù)實(shí)際工程中

18、給定的邊界條件，通過求解泊松是恒定磁場(chǎng)，都需要根據(jù)實(shí)際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位(din wi)(din wi)函數(shù)或矢量磁位函數(shù)函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。 邊界條件的分類邊界條件的分類(fn li) (fn li) 給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類：給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類： 第一類邊界條件第一類邊界條件 直接給定整個(gè)場(chǎng)域邊界上的直接給定整個(gè)場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)值位函數(shù)值 ( )f s為邊界點(diǎn)為邊界點(diǎn)S S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。 ( )f s第17頁/共72頁第十八頁，共

19、72頁。因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) (yn wi) ( )fsn故上式相當(dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場(chǎng)強(qiáng)度的法向故上式相當(dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量，這類問題分量，這類問題(wnt)(wnt)稱為第二類邊界條件。稱為第二類邊界條件。 snnDEn 第二類邊界條件第二類邊界條件 只給定待求位函數(shù)在邊界只給定待求位函數(shù)在邊界(binji)(binji)上的法向?qū)?shù)值上的法向?qū)?shù)值 第三類邊界條件第三類邊界條件 給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合的線性組合 ( )( )12fsfsn這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。這是混合邊界條件，稱

20、為第三類邊界條件。 第18頁/共72頁第十九頁，共72頁。疊加原理疊加原理(yunl) (yunl) 若若 和和 分別滿足拉普拉斯方程，即分別滿足拉普拉斯方程，即 和和 , ,則則 和和 的線性組合：的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程：必然也滿足拉普拉斯方程：式中式中a a、b b均為常系數(shù)。均為常系數(shù)。122102201212ab212()0ab唯一性定理唯一性定理(dngl) (dngl) 唯一唯一(wi y)(wi y)性定理可敘述為：對(duì)于任一靜態(tài)場(chǎng)，在邊界條件性定理可敘述為：對(duì)于任一靜態(tài)場(chǎng)，在邊界條件給定后，空間各處的場(chǎng)也就唯一給定后，空間各處的場(chǎng)也就唯一(wi y)(wi y)地確定

21、了，或者說這地確定了，或者說這時(shí)拉普拉斯方程的解是唯一時(shí)拉普拉斯方程的解是唯一(wi y)(wi y)的。的。 第19頁/共72頁第二十頁，共72頁。 當(dāng)有電荷當(dāng)有電荷(dinh)(dinh)存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷(dinh)(dinh)或極化電荷或極化電荷(dinh)(dinh)，而，而感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷(dinh)(dinh)或極化電荷或極化電荷(dinh)(dinh)將影響場(chǎng)的分布。將影響場(chǎng)的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效解，可以用等效(dn xio)

22、(dn xio)電荷電荷的電位替代的電位替代1. 問題問題(wnt)的提的提出出幾個(gè)實(shí)例幾個(gè)實(shí)例接地導(dǎo)體板附近有接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。q qqq非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷等效電荷等效電荷5.4 5.4 鏡象法鏡象法 第20頁/共72頁第二十一頁，共72頁。 接地導(dǎo)體球附近接地導(dǎo)體球附近(fjn)(fjn)有一個(gè)點(diǎn)電荷，如有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。圖。非均勻感應(yīng)非均勻感應(yīng)(gnyng)(gnyng)電荷產(chǎn)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體接地導(dǎo)體(dot)(dot)柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似

23、柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電，但等效電 荷為線電荷。荷為線電荷。q q非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷qq等效電荷等效電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用?；蚓€電荷的作用。問題：這種等效電荷是否存在？問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理？第21頁/共72頁第二十二頁，共72頁。2. 鏡像法的原理鏡像法的原理(yunl) 用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從

24、而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)(mizh)空間變空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)換成無限大單一均勻媒質(zhì)(mizh)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡(jiǎn)化的的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。一種間接求解法。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙邊界條件，那就

25、是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙(qiomio)地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問題所地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法構(gòu)成的一種有效的解析求解法3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)鏡像法的理論基礎(chǔ)解的惟一性定理解的惟一性定理第22頁/共72頁第二十三頁，共72頁。 像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量(dinling)(dinling)大小大小“三要素三要素” ” ；4. 鏡像法應(yīng)用鏡像法應(yīng)用(yngyng)的關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)鍵點(diǎn)5. 確定確定(qudng)鏡像電荷的兩條原則鏡像電荷的兩條原則等效求解的等效求解的“

26、有效場(chǎng)域有效場(chǎng)域”。鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng) 區(qū)域區(qū)域 的邊界條件來確定。的邊界條件來確定。第23頁/共72頁第二十四頁，共72頁。1. 點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體(dot)平面的鏡像平面的鏡像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR滿足原問題的邊界條件，所得滿足原問題的邊界條件，所得(su d)(su d)的結(jié)的結(jié)果是正確的。果是正確的。接地導(dǎo)體接地導(dǎo)體(dot)平面的鏡像平面的鏡像鏡

27、像電荷鏡像電荷電位函數(shù)電位函數(shù)因因z = 0時(shí)，時(shí)，q qhhq 有效區(qū)域有效區(qū)域RR q qh第24頁/共72頁第二十五頁，共72頁。上半空間上半空間( z0 ( z0 ）的電位）的電位(din (din wi)wi)函數(shù)函數(shù)q qh22222211( , , )4()()qx y zxyzhxyzh(0)z 222 3 202 ()Szqhzxyh 222 3 2d dd2()inSSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 導(dǎo)體導(dǎo)體(dot)平面上的感應(yīng)電荷密度為平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面導(dǎo)體平面(pngmin)上的總感應(yīng)電荷為上的總感應(yīng)電荷為第25頁/共72頁第

28、二十六頁，共72頁。2. 線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體(dot)平面的鏡像平面的鏡像鏡像線電荷鏡像線電荷(dinh)：滿足原問題滿足原問題(wnt)的邊界條件，所得的解是正確的。的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)電位函數(shù)hhl 有效區(qū)域有效區(qū)域1r2rl當(dāng)當(dāng)z=0時(shí)，時(shí)，12rr0ln(0)2lRzR,llhh 第26頁/共72頁第二十七頁，共72頁。3. 點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體(dot)平面的鏡像平面的鏡像 如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地(jid)導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q 位于位

29、于(d1, d2 )處。處。 顯然，顯然，q1 對(duì)平面對(duì)平面(pngmin) 2 以以及及q2 對(duì)平面對(duì)平面(pngmin) 1 均不能滿均不能滿足邊界條件。足邊界條件。1231111()4qRRRR 對(duì)于平面對(duì)于平面1，有鏡像電荷，有鏡像電荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )對(duì)于平面對(duì)于平面2，有鏡像電荷，有鏡像電荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )處處再設(shè)置一再設(shè)置一鏡像電荷鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能，所有邊界條件才能得到滿足。得到滿足。電位函數(shù)電位函數(shù)q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第27頁/共72頁

30、第二十八頁，共72頁。電介質(zhì)分界面的鏡象電介質(zhì)分界面的鏡象(jn xin)(jn xin)電電荷荷 如圖，如果分界面如圖，如果分界面(jimin)(jimin)是介電常是介電常數(shù)為數(shù)為11和和22的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面，在介質(zhì)，在介質(zhì)1 1中距分界面中距分界面(jimin)(jimin)為為h h處置有處置有一點(diǎn)電荷一點(diǎn)電荷 q q ， 則求解介質(zhì)空間中任一點(diǎn)的則求解介質(zhì)空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)電位分布可以用鏡像法求解。電場(chǎng)電位分布可以用鏡像法求解。 設(shè)在介質(zhì)設(shè)在介質(zhì)11和和22內(nèi)的電位函數(shù)分別為內(nèi)的電位函數(shù)分別為11和和2 2 。 在介質(zhì)在介質(zhì)1 1中，除中，除 q

31、q 點(diǎn)處以外點(diǎn)處以外, ,均有均有 2100z（）qq1r1h12rz22第28頁/共72頁第二十九頁，共72頁。 是點(diǎn)電荷是點(diǎn)電荷q q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷同產(chǎn)生的電位函數(shù)。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在介質(zhì)在介質(zhì)1 1中產(chǎn)生的電場(chǎng)可以用處于中產(chǎn)生的電場(chǎng)可以用處于z0z0z0）的格林函數(shù)，就是求位于上半空間）的格林函數(shù)，就是求位于上半空間 rr處的單位點(diǎn)電荷以處的單位點(diǎn)電荷以z=0z=0平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn)意一點(diǎn)r r處的電位。這個(gè)處的電位。這個(gè)(zh ge)(zh g

32、e)電位可以用平面鏡像法求得電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數(shù)為，因而上半空間的格林函數(shù)為 12111( , )()4G r rRR222 1/21222 1/22()()() ()()() RxxyyzzRxxyyzz 式中式中第66頁/共72頁第六十七頁，共72頁。3 3、球內(nèi)、外空間、球內(nèi)、外空間(kngjin)(kngjin)的格的格林函數(shù)林函數(shù) 我們可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)我們可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)(zubio)(zubio)原原點(diǎn)、半徑為點(diǎn)、半徑為a a的球外空間的格林函數(shù)的球外空間的格林函數(shù)1211( , )()4aG r rRr R221/212

33、21/222(2cos )(2cos )coscoscossinsincos()arRrrrrRrrrrr 式中式中第67頁/共72頁第六十八頁，共72頁。5.7 5.7 有限有限(yuxin)(yuxin)差分法差分法 有限差分法是一種近似數(shù)值計(jì)算法，在一些工程技術(shù)計(jì)算中被廣有限差分法是一種近似數(shù)值計(jì)算法，在一些工程技術(shù)計(jì)算中被廣泛使用。這種方法是在待求場(chǎng)域內(nèi)選取有限個(gè)離散點(diǎn)，在各個(gè)離散點(diǎn)泛使用。這種方法是在待求場(chǎng)域內(nèi)選取有限個(gè)離散點(diǎn)，在各個(gè)離散點(diǎn)上以差分方程近似代替各點(diǎn)上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表上以差分方程近似代替各點(diǎn)上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)值表示的方程組。結(jié)合具體示的位函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)值表示的方程組。結(jié)合具體邊界條件，求解差分方程組，即得到邊界條件，求解差分方程組，即得到(d do)(d do)所選的各個(gè)離散點(diǎn)上的所選的各個(gè)離散點(diǎn)上的位函數(shù)值。有限差分法不僅能處理線性問題，還能處理