非線性曲線擬合的最小二乘法及其應(yīng)用

1、專(zhuān)題研究 ZHUANTI YANJIU _非線性曲線擬合的 最小二桑艷麗（煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院264005）【摘要】本文主要討論了怎樣利用最小二乘法求MtftH 曲圾的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題，并調(diào)試出了求解此問(wèn)題的程序.【關(guān)鍵詞】最小二乘弦；數(shù)據(jù)處理；曲皺擬合在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中,我們常常需要從一組 測(cè)定的數(shù)據(jù)（例如N個(gè)點(diǎn)（X.）去求得自變疑和因 變雖丁的一個(gè)近似解析表達(dá)式=卩（巧，戰(zhàn)小二乘法是 經(jīng)常使用的方法最小二乘法適用于做線性擬合此時(shí) 擬合曲線的一般式為y = abx.而在許多實(shí)際問(wèn)題中. 變S：之間內(nèi)住的關(guān)系呈非線性關(guān)系，此時(shí)我們可以把 擬合曲線yahx中的門(mén)變戢x和因變鼠y看成是 氏他

2、變比的函數(shù)，例如須來(lái)的函數(shù)關(guān)系足/（）=" +儀心人 令X = g（x9） j = f（y9 ） t則經(jīng)過(guò)變換后即得r = a + bx的形 式于是許多非姒性問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成廣線件問(wèn)題而得到解決.如何找到更符合實(shí)際情況的數(shù)據(jù)擬合，一方而夏 根據(jù)業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)呦定經(jīng)驗(yàn)曲線的近似公式另 一方而要根據(jù)散點(diǎn)圖的分布形狀及待點(diǎn)來(lái)選擇適十的 曲線擬合這些數(shù)據(jù).例1在某化學(xué)反咸甲測(cè)得生成物濃度y（溝與時(shí) 間f（min）的數(shù)據(jù)見(jiàn)下農(nóng)試用啟小二乘法建立龍與y 之問(wèn)的經(jīng)驗(yàn)公式.t1$4567846488.89.229.59.79.86t9101112131415161010.210.3210.4210.51

3、0.5510.5810.6解 將（2知數(shù)據(jù)點(diǎn)Gy）（心1.2.16）描繪在坐 標(biāo)紙上（圖略），觀察可知擬介曲線y二卩應(yīng)具冇如下 特點(diǎn):（1）1«1線隨著”的增加而上升但上升速度由快到慢.（2）當(dāng)20時(shí),反應(yīng)尚未開(kāi)始，即y = 當(dāng)/ 8時(shí), y迫于某一常數(shù)故1也線通過(guò)廉點(diǎn)11的一水平漸近線.具有上述特點(diǎn)的曲線很多選用不同的數(shù)學(xué)模熨. 可以獲得不同的擬合曲線和經(jīng)驗(yàn)公式.方案1設(shè)想，=卩（）是雙曲線的并且具有下面 的衣達(dá)形式y(tǒng)=通過(guò)變吐變換將它轉(zhuǎn)化為關(guān)于 特定參數(shù)的線性函數(shù)可以將上式改寫(xiě)成J-二“+丄，y 1 于是引進(jìn)新變yd） = Jd>= 則上式變換成外Qy 1“ + 6巴根據(jù)線

4、性最小二乘法的解法可以求得a=80.6621.6=16,6822-代入到廠占得經(jīng)能公式：廠80.6621/ + 161.6822 *方案2設(shè)世y = p（f）具右描數(shù)形式y(tǒng) = w ' .a > 0.6 <0.為了在求參數(shù)“和b時(shí)避免求解一個(gè)非線性 方程組，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)In y = In a +,引入新變雖y,2' = In y,/l2）二卜并記A = In a,R = bt則上式就 是嚴(yán)二A +從，根據(jù)最小二乘法的解法，可以求得 A = -4.4807. = -1.0567,于是可以得到 a ="= 0.011325.6 =/? =-1.0567.故

5、得另一個(gè)經(jīng)強(qiáng)公式:y = _J.O5670.011325己.把這兩個(gè)經(jīng)臉公式進(jìn)行比較：經(jīng)於公式均方«菱tA大M差公式1.19 x 10-0.1568 x 10 -公式0.34 x 10 '0.277 x 10 '從均方i吳蓋和展大偏羞兩個(gè)不同的角度存.肩者 優(yōu)亍舸者因此在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常要經(jīng)過(guò)反復(fù)分 析多次選擇、計(jì)算和比較才能獲得較好的數(shù)學(xué)模型.園小二乘法的應(yīng)川很廣.下而我們利用昴小二乘 法來(lái)解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題.例2川電PR （/= 10伏的電池給電容益充電電容 -丄器上f時(shí)刻的電壓為a）二（-5）e其中u 是電容器的初始電壓丁是充電常數(shù)試山卜面一組數(shù) 據(jù)確定a和丁

6、.t/s0.51234579(TV6.366.487.26&22&66&999.439.63解電容RS t r時(shí)刻的電壓為：im = U7U-g_j-丄e，電池電壓：（/= 10,故有：«/«）= 10- （10- 5比即=（10- ®）e計(jì)，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得： In （10 - U（t） = ln（10 - 卜十），引入新變 fiy =卜2叫|93蘭© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 專(zhuān)題研究

7、ZHUANTIYANJIU需注意的問(wèn)題孫躍(河北省懷來(lái)縣沙城中學(xué) 075400)可彳咲(Y, 3-汽lU(l. + 8)在奇中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)形如ax2 + bxc的函數(shù)求 df * if值域的問(wèn)題，這類(lèi)函數(shù)在作適當(dāng)變形后很容易轉(zhuǎn)化為 關(guān)于x的二次方程這時(shí)又可轉(zhuǎn)化為學(xué)卞所熟悉的根的 判別式問(wèn)題，但這種方法常?！痹谧冃紊系牟坏葍r(jià)利邏 輯上的不嚴(yán)密而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤現(xiàn)歸納鑒理如下：1. 如果函數(shù)y =呼廣肛+(* 0)的定義域是ax + ex +f/? 可放心用A法求函數(shù)的值域.例1求函數(shù))=臺(tái)的值域.解析 已知函數(shù)可化為:yx2-(y+2)x+(2y+ 1)=0.(i) 十 y # 0, A = (y +

8、 2)2 - 4y(2y + 1) > 0.得 yw |-y V7.O)U lO.-VT-.(ii) 當(dāng)y = OH寸，"琴，合適.原函數(shù)的值域?yàn)椴?V7-,i-V7-.2. 如果函數(shù)y= "：+' +： (d * 0)的分子與分dx + e.v + /母中有相同的肉式，可約去，然后求新的函數(shù)的值域.例2求函數(shù)廠于耳山)的值域.解析巫式變形為y=,隹；3)3工07(x+l)(x-3)是事實(shí)，原分式的分子與分母町以約去工-3得乂M 1.3 (接上頁(yè))ln(10 一 (/)* = /.并記“ =ln(10 一 UJ上=則原 T式變?yōu)閥 = “ +必求解得<1

9、= 1.4912,6 =-0.2857,進(jìn)而 求得幾=5.5577. t = 3.5002.Matlab程療如下:編寫(xiě)M文件：function f = curvefun (x 9 (data )f= 10-(10-x(l)* exp (-tdata/x (2)；%x(l)=0；x(2)=tol；原函數(shù)的值域?yàn)椴?#176;°'£)u(£,l )u(l,+oo).3如果函數(shù)y二ax2 + bx + c * 0)的定義域不dx- + ex是尺且分子與分母中沒(méi)冇相同的岡式可以血接用A 法求函數(shù)的值域.事實(shí)上假如xo使得血+ ex0 +/= 0. 而<uo+

10、6xu + c 0.則、氣函數(shù)y= 忖加+ ；轉(zhuǎn)化為方® y(dx2 + ex + /) = ax1 + bx + c fn 也不是此方程的 根所以方程ydx2 + ex +/) = av2 bx + c fl身性質(zhì)決 定了它沒(méi)冇甌這樣的根.例3求函數(shù)廠£一防的值域.x* 2x -S解析由y= £_： + 得r _ 2x -3(y- Da?- (2y- 1 )x - 3y - 1 = 0.(i)當(dāng)"1 時(shí)山于 A=(2y-lF+4(j -l)(3y+l)M0.(ii)當(dāng) y 二 1 B4 J!)x = -4 合適. 處函數(shù)的偵域?yàn)?0<3 s711

11、" u點(diǎn)撥盡管該函數(shù)的定義域?yàn)?-OC,-1)U(-1,3)U (3,+oo),可是當(dāng) * = -1,3 時(shí)不是方程(y - l)x2-(2y- 1 )x - 3y - 1 =0 的根也就是說(shuō)(y - 1 )x2 - (2/- l)x- 3y - 1 = 0門(mén)身沒(méi)冇x = -l,3這樣的根.總結(jié) 形如y = 叭+/ 類(lèi)的函數(shù)求值域時(shí).ax + ex +f如果分子、分付冇公岡式先約掀(注意加n變雖x的約 束條件)化為其他類(lèi)函數(shù)的求值域問(wèn)弧如果分子、分 付沒(méi)有公閃式就可以?xún)?接使用A法求解.輸人命令：tdata=0.5 1 2 3 4 5 7 9;v<|ata=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 ； x0=5,3；x=lsqciirvefil( 4 curvefun x0, (data, V