大一高等數(shù)學(xué)第九章第四節(jié)重積分的應(yīng)用

1、實(shí)例實(shí)例一顆地球的同步軌道通訊一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們看到它在的角速率相同，即人們看到它在天空不動(dòng)若地球半徑取為天空不動(dòng)若地球半徑取為R，問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？一、曲面的面積一、曲面的面積衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?Dd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域,),

2、( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的切平面的切平面上過(guò)上過(guò)為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則有則有，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以如圖，如圖， d),(yxMdAxyzs o ,面上的投影面上的投影在在為為xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyzxz 22)()(1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxA

3、zxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圓柱體，含在圓柱體axyx 22內(nèi)部的那部分面積內(nèi)部的那部分面積.由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yx

4、az )0( a所圍立體的表面積所圍立體的表面積.解解解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域?yàn)槠矫嫔系耐队坝驗(yàn)閤y,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a),(yx 設(shè)設(shè)xoy平面上有平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于),(11

5、yx，),(22yx，,),(nnyx處，質(zhì)量分別處，質(zhì)量分別為為nmmm,21則該質(zhì)點(diǎn)系的則該質(zhì)點(diǎn)系的重心重心的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11二、物理應(yīng)用二、物理應(yīng)用平面薄片的重心平面薄片的重心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx

6、 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心例例 3 3 設(shè)平面薄板由設(shè)平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t與與x軸圍成，它的面密度軸圍成，它的面密度1 ，求形心坐標(biāo)，求形心坐標(biāo)解解先求區(qū)域先求區(qū)域 D的面積的面積 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐標(biāo)為所求形心坐標(biāo)為 ),(65

7、 a.由于區(qū)域關(guān)于直線由于區(qū)域關(guān)于直線ax 對(duì)稱對(duì)稱 ， 設(shè)設(shè)xoy平平面面上上有有n個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)，它它們們分分別別位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx處處，質(zhì)質(zhì)量量分分別別為為nmmm,21則則該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系對(duì)對(duì)于于x軸軸和和y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量依依次次為為 niiixymI12， niiiyxmI12.平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)，在點(diǎn)),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，平面

8、薄片對(duì)于上連續(xù)，平面薄片對(duì)于x軸和軸和y軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量y例例 4 4 設(shè)設(shè)一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別 為為a、b，求求這這三三角角形形對(duì)對(duì)其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量.解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對(duì)對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：對(duì)同理：對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dxdyyIDx

9、2 .1213 ab 例例 5 5 已知均勻矩形板已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)（面密度為常數(shù)）的長(zhǎng)）的長(zhǎng)和寬分別為和寬分別為b和和h，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hbA 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因?yàn)闉榫鼐匦涡伟灏寰鶆騽?由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)2bx ，2hy .hb將將坐坐標(biāo)標(biāo)系系平平移移如如圖圖oyxhbuvo 對(duì)對(duì)u軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量 DududvvI2 22222hhbbdud

10、vv .123 bh 對(duì)對(duì)v軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 DvdudvuI2 .123 hb 薄片對(duì)薄片對(duì)軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，計(jì)算該平面薄片對(duì)位于上連續(xù)，計(jì)算該平面薄片對(duì)位于 z軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)), 0 , 0(0aM處的單位質(zhì)點(diǎn)的處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力引力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxaf

11、FDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力例例6 6 求面密度為常量、半徑為求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形的均勻圓形薄片：薄片：222Ryx ，0 z對(duì)位于對(duì)位于 z軸上的軸上的點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0aM處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力)0( a解解由積分區(qū)域的對(duì)稱性知由積分區(qū)域的對(duì)稱性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRfa幾何應(yīng)用：曲面的面積幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)

12、用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題.)0(cos,cos之間的均勻薄片的重心之間的均勻薄片的重心求位于兩圓求位于兩圓babrar ab xyo薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對(duì)稱軸對(duì)稱x, 0 y則則 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考題解答思考題解答一、一、 求錐面求錐面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面積曲面面積. .二、二、 設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域設(shè) 薄 片

13、 所 占 的 閉 區(qū) 域D是 介 于 兩 個(gè) 圓是 介 于 兩 個(gè) 圓 cos,cosbrar )0(ba 之間的閉區(qū)域之間的閉區(qū)域, ,求求均勻薄片的重心均勻薄片的重心. .三、三、 設(shè)有一等腰直角三角形薄片設(shè)有一等腰直角三角形薄片, ,腰長(zhǎng)為腰長(zhǎng)為a, ,各點(diǎn)處的各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 設(shè)均勻薄片設(shè)均勻薄片( (面密度為常數(shù)面密度為常數(shù) 1)1)所占閉區(qū)域所占閉區(qū)域D由拋物由拋物線線xy292 與直線與直線2 x所圍成所圍成, ,求求xI和和yI. .練練 習(xí)習(xí) 題題五、求面密度為常量五、求面密度為常量 的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片: : 0,222221 zyRxyR對(duì)位于對(duì)位于z軸上點(diǎn)軸上點(diǎn) )0)(, 0 , 0(0 aaM處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F. .六、 設(shè)由六、 設(shè)由exoyxy 及及,ln所圍的均