第4章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體基本運(yùn)動(dòng)習(xí)題解答080814

1、第四章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體基本運(yùn)動(dòng)本章要點(diǎn)一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的確定的三種方法 ）矢量法：；）直角坐標(biāo)法：，；）弧坐標(biāo)法（軌跡已知）：.2 點(diǎn)的速度與加速度的矢量表示 速度 ， 加速度 .3 點(diǎn)的速度與加速度的直角坐標(biāo)表示速度在各坐標(biāo)軸上的投影為 ， ， .速度的大小和方向余弦為 加速度在各坐標(biāo)軸上的投影為 加速度的大小和方向余弦分別為4 點(diǎn)的速度與加速度的弧坐標(biāo)表示點(diǎn)的速度 ，切向加速度 ；法向加速度 ，其中為切線單位矢量，指向弧坐標(biāo)增加的方向；表示主法線正向的單位矢量，指向曲率中心（即指向曲線凹的一方）。 全加速度為 全加速度的大小和它與法線間夾角的正切分別為，解題要領(lǐng)：1 確定動(dòng)點(diǎn)，根

2、據(jù)題意是選擇矢量法、直角坐標(biāo)法還是弧坐標(biāo)法，三種方法各有所長(zhǎng).2 從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)求點(diǎn)的速度和加速度是對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)運(yùn)算；反之，也可以從加速度出發(fā)求速度和運(yùn)動(dòng)方程，或從速度出發(fā)求運(yùn)動(dòng)方程，這是積分運(yùn)算，但結(jié)果都不唯一 ，積分常數(shù)需要用初始條件來(lái)確定。3 從直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)計(jì)算切向加速度、法向加速度、曲率半徑、弧坐標(biāo)的過(guò)程點(diǎn)的速度：， 點(diǎn)的加速度： ，切向加速度： ， 法向加速度：，曲率半徑：， 弧坐標(biāo)：.二、剛體的平移剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任意一條直線始終平行于它的初始位置，剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移。具有性質(zhì)：剛體平移時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同，在同一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度和加速度也相同。剛

3、體的平移問(wèn)題可以歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的整體描述轉(zhuǎn)動(dòng)方程 ， 角速度 ，角加速度 .勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（為常量），則 ，勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（為常量），則，.2 角速度和角加速度的矢量表示， ，其中為沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向的單位矢量。3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度距轉(zhuǎn)軸距離為的點(diǎn)的速度為 ，切向加速度： ， 法向加速度： 全加速度的大?。?加速度的方向： .用矢積表示剛體上各點(diǎn)的速度和加速度點(diǎn)的速度 ，切向加速度， 法向加速度 .解題要領(lǐng)1 利用三角函數(shù)關(guān)系寫(xiě)出轉(zhuǎn)動(dòng)方程，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)一次得到角速度，求導(dǎo)兩次得到角加速度方程，角速度或角加速度為正，表明其轉(zhuǎn)向是與角度增加的方向一致；角速度和角加

4、速度同號(hào)（異號(hào)）表明剛體作加（減）速轉(zhuǎn)動(dòng)。2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的切向和法向加速度的計(jì)算公式是點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)的特例，不可混淆。第四章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體基本運(yùn)動(dòng) 習(xí)題解答題 4-1圖4-1 圖示曲線規(guī)尺的桿長(zhǎng)mm，mm。桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律為rad，并且當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，角，求尺上D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡。解： 已知，故點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)方程為 消去時(shí)間t得到點(diǎn)D的軌跡方程為 （橢圓） 題4-2圖4-2 圖示AB桿長(zhǎng)l，以的規(guī)律繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，為常量。而與桿連接的滑塊B以的規(guī)律沿水平線作諧振動(dòng)，、b為常量。求A點(diǎn)的軌跡。解： 采用直角坐標(biāo)法，取圖示直角坐標(biāo)系Oxy, 則A點(diǎn)位置坐標(biāo)為 ，即 .消去時(shí)間t得A點(diǎn)軌跡方程

5、為：.（橢圓）題4-3圖4-3 套筒A由繞過(guò)定滑輪B的繩索牽引而沿導(dǎo)軌上升，滑輪中心到導(dǎo)軌的距離為l，如圖所示。設(shè)繩索以等速拉下，忽略滑輪尺寸。求套筒A的速度和加速度與距離x的關(guān)系式。解：設(shè)時(shí)，繩上C點(diǎn)位于B處，在瞬時(shí)t,到達(dá)圖示位置 則 常量，將上式求導(dǎo)，得到管套A的速度和加速度為 ， ，負(fù)號(hào)表示的實(shí)際方向與軸相反。題4-4圖4-4 如圖所示，半徑為R的圓形凸輪可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)頂桿BC作鉛垂直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)凸輪圓心在A點(diǎn)，偏心距，其中為常量。試求頂桿上B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，由余弦定理可得 其中OA=e ，AB=R ，設(shè)代入上式可以得到 ，解出 .題4-5圖4

6、-5 若將題4-4中的頂桿換成平底的物塊M，其余條件不變。試求物塊上B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：由右圖所示， .4-6 圖示、b、c三種機(jī)構(gòu)，已知機(jī)構(gòu)尺寸h和桿OA與鉛直線的夾角，其中為常量，分析并比較它們的運(yùn)動(dòng)：1）穿過(guò)小環(huán)M的桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)撥動(dòng)小環(huán)沿水平導(dǎo)桿滑動(dòng)，求小環(huán)的速度和加速度。2）繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的桿OA，推動(dòng)物塊M沿水平面滑動(dòng)，求物塊M上一點(diǎn)的速度和加速度。3）桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)套在桿上的套筒M帶動(dòng)桿MN沿水平軌道運(yùn)動(dòng)，求MN上一點(diǎn)的速度和加速度。a) b) c)題 4-6圖解：經(jīng)分析圖a)、b) 、c) 中M點(diǎn)速度和加速度相同。以O(shè)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向

7、為y軸。對(duì)圖在a)、 b) 、c) 中M點(diǎn)都有， ， .題4-7圖4-7 圖示滑道連桿機(jī)構(gòu)。已知m；m，滑道連桿BC繞軸B按的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)（以rad計(jì)）。試求滑塊A的速度和加速度。解： 如右圖所示。以B為極點(diǎn)和BO為極軸建立極坐標(biāo)系，則A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 ， .A點(diǎn)的速度為， . A點(diǎn)的加速度為， . .也可以用直角坐標(biāo)法求解，并求出A點(diǎn)地切向和法向加速度。4-8 如圖所示，一直桿以繞其固定端O轉(zhuǎn)動(dòng)，其中為常量。沿此桿有一滑塊以勻速滑動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，桿在水平位置，滑塊在O點(diǎn)，試求滑塊的軌跡（以極坐標(biāo)表示）。題4-8圖解： 以O(shè)為極點(diǎn)，水平方向?yàn)闃O軸，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為， 消去時(shí)間t，得到滑塊以極坐標(biāo)

8、表示的軌跡方程為 .4-9 點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，其軌跡的參數(shù)方程為 ，設(shè)時(shí)，；坐標(biāo)s的起點(diǎn)和時(shí)點(diǎn)的位置一致，s的正方向相當(dāng)于x增大的方向。試求軌跡的直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)沿軌跡運(yùn)動(dòng)的方程、點(diǎn)的速度和切向加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。解：由運(yùn)動(dòng)方程消去t，得軌跡方程：，（） 時(shí)，由 ，積分得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 ； 點(diǎn)的速度和加速度在軌跡切線上的投影為： ， .4-10 點(diǎn)沿平面曲線軌跡向x、y增大的方向運(yùn)動(dòng)，其中x、y的單位皆為m，速度大小為常量。求動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)處時(shí)，其速度和加速度在坐標(biāo)軸上的投影。解：點(diǎn)的切向加速度和法向加速度為 ， ；式中 ， ， 當(dāng)時(shí)， ，有 ， ， 當(dāng)時(shí)點(diǎn)的速度和加速度在坐標(biāo)軸上的投影為： ，題4

9、-11圖4-11 如圖所示，曲柄CB以等角速度繞C軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為。通過(guò)滑塊B帶動(dòng)搖桿OA轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)，。求搖桿轉(zhuǎn)動(dòng)方程。解：由題圖所示： 由此解出桿的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 4-12 已知圖示機(jī)構(gòu)的尺寸如下：；。如輪按（單位為rad）的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)s時(shí)，桿AB上的點(diǎn)M的速度和加速度。題4-12圖解： 點(diǎn)M與點(diǎn)A有相同的速度和加速度， 即 題4-13圖4-13 機(jī)構(gòu)如圖所示，假設(shè)AB桿以勻速u(mài)運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)。試求當(dāng)時(shí)，搖桿OC的角速度和角加速度。解： OC桿轉(zhuǎn)角滿足， 對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得， 將 代入得 題4-14圖， . 負(fù)號(hào)表示與方向相反。 4-14 紙盤(pán)由厚度為的紙條卷成，令紙盤(pán)的中心不動(dòng)，而以等速v拉紙

10、條。求紙盤(pán)的角加速度（以半徑r的函數(shù)表示）。解： 設(shè)紙盤(pán)在t=0時(shí)刻的初始半徑為R，則在t時(shí) 刻紙盤(pán)減少的面積為 將以上兩式分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 紙盤(pán)的角加速度 .題4-15圖4-15 圖示滾子傳送帶，已知滾子的直徑，轉(zhuǎn)速為。求鋼板在滾子上無(wú)滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，并求在滾子上與鋼板接觸點(diǎn)的加速度。解： 設(shè)鋼板上的點(diǎn)與滾子上的點(diǎn)接觸，鋼板平動(dòng)速度鋼板加速度 滾子上點(diǎn)的加速度 ， 題4-16圖4-16 圖示機(jī)構(gòu)中，桿AC以勻速沿水平導(dǎo)槽向右運(yùn)動(dòng)，通過(guò)滑塊A使桿OB繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知O軸與導(dǎo)槽相距h。試求桿OB的角速度和角加速度。解： OA桿轉(zhuǎn)角滿足， 對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得，其中 ， ， . 題4-17圖4-17 小環(huán)A沿半徑為R的固定圓環(huán)以勻速運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)穿過(guò)小環(huán)的擺桿OB繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試求OB的角速度和角加速度。若，試求B點(diǎn)的速度和加速度。解： 設(shè)角ADC為，由題義知， 因D為圓心，有角AOC=ADC，設(shè)角AOC為，則OB桿的角速度為 角加速度求B點(diǎn)速度和加速度:以O(shè)為原點(diǎn)取直角坐標(biāo)系，B坐標(biāo)為B點(diǎn)的速度為B點(diǎn)的加速度為題4-18圖 4-18 長(zhǎng)度為的細(xì)桿可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)A緊靠在物塊B的側(cè)面上。若B以勻速向右運(yùn)動(dòng)，試求桿OA的角速度和角加速度。解： 設(shè)初始位置OA桿為垂直位置，在t時(shí)刻O(píng)A桿與水平線夾角為，由圖示幾何關(guān)系有