2020年二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(文)通用版：專題檢測(十二)空間位置關(guān)系的判斷與證明

1、專題檢測（十二） 空間位置關(guān)系的判斷與證明 A 組一一“ 6+ 3+ 3”考點落實練 一、選擇題 1 已知 E, F , G, H 是空間四點，命題甲： E, F , G, H 四點不共面，命題乙：直線 EF 和 GH 不相交，則甲是乙成立的（ ） A 必要不充分條件 B.充分不必要條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 解析：選 B 若 E , F, G, H 四點不共面，則直線 EF 和 GH 肯定不相交，但直線 EF 和 GH 不相交，E, F , G , H 四點可以共面，例如 EF /GH，故甲是乙成立的充分不必要條 件. B 是錯誤的，若a丄B m/a,則 m 與B可能平行，

2、可能相交，也可能線在面內(nèi)，故 B 錯誤; C 是正確的，由直線與平面垂直的判斷定理能得到 C 正確；D是錯誤的，直線與平面垂直, 需直線與平面中的兩條相交直線垂直. 3.在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，|AB|= ,2|BBi| ,貝 ABi與 BCi所成角的大小為（ ） A. 30 C. 75 解析：選 D 將正三棱柱 ABC-AIBICI補(bǔ)為四棱柱 ABCD-AIBICIDI,連接 CiD , BD , 則 CID /BiA，/BCiD 為所求角或其補(bǔ)角.設(shè) BBi= 2,則 BC = CD = 2,/BCD = i20 , BD = 2 3, 又因為 BCi = CiD= .6,所以

3、/ BCID = 90 4.如圖，在三棱錐 P-ABC 中，不能證明 API BC 的條件是（ A. AP 丄 PB , API PC B. APIPB , BC 丄 PB C .平面 BPC 丄平面 APC , BC PCa , b 及平面a, B下列命題中正確的是（ A .若 a / a aCl B= b 則 a / b B.若 a丄 mil a,則 m B C .若 a丄 a, a / B則 a丄B D .若 a / a, b a,則 b 丄a 解析： 選 C A 是錯誤的 勺,因為 a 不一定在平面 B內(nèi)，所以 a, b 有可能是異面直線; B. D. 90 2 關(guān)于直線 D . AP

4、 丄平面 PBC 解析：選 B A 中，因為 AP 丄 PB, AP 丄 PC, PB A PC = P,所以 API平面 PBC.又 BC ?平面 PBC，所以 API BC,故 A 正確；C 中，因為平面 BPC 丄平面 APC，平面 BPCA平 面 APC = PC, BC 丄 PC,所以 BC 丄平面 APC.又 AP?平面 APC,所以 AP 丄 BC,故 C 正確； D 中，由 A 知 D 正確；B 中條件不能判斷出 API BC,故選 B. 5.如圖，以等腰直角三角形 ABC 的斜邊 BC 上的高 AD 為折痕，把 ABD 和厶 ACD 折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四

5、個結(jié)論： 所以/CAE = 60，即所求二面角的大小為 60 BD 丄 AC; 厶 BAC 是等邊三角形； 三棱錐 D-ABC 是正三棱錐; 平面 ADC 丄平面 ABC. 其中正確的結(jié)論是（ ） A . B. C . D . 解析：選 B 由題意知, BD 丄平面 ADC，故 BD 丄 AC,正確；AD 為等腰直角三角 形 ABC 的斜邊 BC 上的高，平面 ABD 丄平面 ACD ,所以 AB= AC = BC , BAC 是等邊三角 形，正確；易知 DA = DB = DC,結(jié)合知正確；由知不正確故選 B. 6.已知二面角的棱上有 A, B 兩點，直線 AC, BD 分別在這個二面角的兩

6、個半平面內(nèi)， 且都垂直于 AB，已知 AB= 4, AC= 6, BD = 8, CD = 2.17，則該二面角的大小為 （ ） C. 120 D. 60 解析：選 D 如圖，AC 丄 AB, BD 丄 AB,過 A 在平面 ABD 內(nèi)作 AE /BD，過 D 作 DE /AB ,連接 CE ,所以 DE /AB 且 DE 丄平面 AEC , ZCAE 即二面角的平面角，在 Rt DEC 中，CE = 2 13, 在CA2+ AE2- CE2 cos/CAE = 2CA X AE D C 、填空題 7. （2018 天津六校聯(lián)考）設(shè) a, b 為不重合的兩條直線， a, B為不重合的兩個平面，

7、給 出下列命題： 若 a / a且 b / a,貝U a / b; 若 a 丄a且 a 丄B,貝U a/ 3； 若a丄3則一定存在平面 Y使得丫丄a,丄3； 若a丄3則一定存在直線 l,使得 I 丄a , l / 3 其中真命題的序號是 _ . 解析：中 a 與 b 也可能相交或異面，故不正確. 垂直于同一直線的兩平面平行，正確. 中存在Y,使得丫與a , 3都垂直，正確. 中只需直線 I 丄a且 I? 3就可以，正確. 答案： 8. 若P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為 O, M 為 PB 的中點，給 出以下四個命題： OM /平面 PCD :OM /平面 PBC;OM /平

8、面 PDA:OM /平 面 PBA.其中正確的個數(shù)是 _ . 解由已知可得 OM /PD ,.OM /平面 PCD 且 OM /平面 PAD.故正確的只有. 答案： 9. （2018 全國卷H ）已知圓錐的頂點為 S,母線 SA, SB 所成角的余弦值為 8, SA 與圓 錐底面所成角為 45，若 SAB 的面積為 50,則該圓錐的側(cè)面積為 _ . 解析：如圖，I SA 與底面成 45角, /SAO 為等腰直角三角形. 設(shè) OA = r, 則 SO= r, SA= SB= 2r. 在ZSAB 中，cos ZASB= 7, 8 .sin /ASB汗 8 1 SZSAB = qSASBsin ZA

9、SB =(2r)2x 于=5 15, 解得 r = 2 10, SA= 7. ：2r = 4-J5，即母線長 l = 4.5, S 圓錐側(cè)=nl = nX 2 10X 4、5 = 40 2 n. 答案：40 2 n 三、解答題 10.(2018 長春質(zhì)檢) )如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，PA 丄平面 ABCD , E 為 PD 的中點. (1) 證明：PB /平面 ACE ; (2) 設(shè) PA= 1, AD = 3, PC= PD，求三棱錐 P-ACE 的體積. 解：證明：連接 BD 交 AC 于點 O,連接 OE. 在 APBD 中，PE = DE , BO =

10、 DO，所以 PB/OE. 又 OE ?平面 ACE , PB?平面 ACE , 所以 PB /平面 ACE. 由題意得 AC= AD , 1 1 所以 VP-ACE = 2VP-ACD = 4VP-ABCD 1 1S ?ABCD PA 11.如圖，在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AB= AC = AAi= 3, BC= 2, D 是BC 的中點，F(xiàn) 是 CCi上一點. (1) 當(dāng) CF = 2 時，證明：BiF 丄平面 ADF ; (2) 若 FD 丄 BiD，求三棱錐 Bi-ADF 的體積. 解：( (1)證明：因為 AB = AC, D 是 BC 的中點， 所以 AD 丄 BC.

11、在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，因為 BBi丄底面 ABC , AD?底面 ABC，所以 AD 丄 BiB. 因為 BC A BiB = B，所以 AD 丄平面 BiBCCi. 因為 BiF?平面 BiBCCi，所以 AD 丄 BiF. = 4 在矩形 BiBCCi 中，因為 CiF = CD = 1, BiCi= CF = 2, 所以 Rt ADCF Rt AFC1B1, 所以/CFD = ZCiBiF，所以/BiFD = 90 , 所以 BiF 丄 FD. 因為 AD A FD = D,所以 BiF 丄平面 ADF . (2)由(i)知 AD 丄平面 BiDF , CD = i, AD

12、 = 2 2, 在 RtABiBD 中，BD = CD = i, BBi= 3, 所以 BiD = p BD2+ BB2 = V. 因為 FD 丄 BiD, 所以 Rt CDF s RtJBiD, CD i i0 BB?即 DF = 3% i0=丁, 所以 VBi-ADF = VA-BiDF = S 但iDF X AD = 3 x 守 X. i0X 2 2 =晉. i2. (20i8 全國卷n )如圖，在三棱錐 P-ABC 中，AB= BC= 2 2, PA= PB= PC = AC = 4, O 為 AC 的中點. (1) 證明：PO 丄平面 ABC ; (2) 若點 M 在棱 BC 上，且

13、 MC = 2MB，求點 C 到平面 POM 的 距離. 解：( (i)證明：因為 PA= PC = AC = 4, O 為 AC 的中點， 所以 PO 丄 AC,且 PO = 2 3. 連接 OB, 因為 AB = BC= 丁 AC, 所以AABC 為等腰直角三角形， i 且 OB 丄 AC , OB = 2AC= 2. 所以 PO2+ OB2= PB2,所以 PO 丄 OB. 又因為 AC A OB = O,所以 PO 丄平面 ABC.所以 DF BiD 如圖，作 CH 丄 OM，垂足為 H , 又由（1）可得 0P 丄 CH , 所以 CH 丄平面 POM . 故 CH 的長為點 C 到

14、平面 POM 的距離. 1 由題設(shè)可知 0C = 2AC= 2, 2 4 運(yùn) CM = 3BC = -，/ACB = 45 , B 組一一大題專攻補(bǔ)短練 1. （2018 武漢調(diào)研）如圖，在矩形 ABCD 中，AB= 4, AD = 2, E 是 CD 的中點，將 ADE 沿 AE 折起，得到如圖所示的四棱錐 D1-ABCE，其中平面 D1AE 丄平面 ABCE. （1） 證明：BE 丄平面 D1AE ; （2） 設(shè) F 為 CD1的中點，在線段 AB 上是否存在一點 M ,使得 MF /平面 DJAE ,若存在, 求出 AAB 的值；若不存在，請說明理由. 解：（1）證明：四邊形 ABCD

15、為矩形且 AD = DE = EC = BC =2, A/AEB = 90 ，即 BE 丄 AE，又平面 D1AE 丄平面 ABCE , 平面 D1AE 門平面 ABCE = AE, BE 丄平面 D1AE. AM 1 AB = 4,理由如下： 取 D1E 的中點 L,連接 FL , AL,.FL /EC. 1 所以 OM = 25 CH = OC MC sin ZACB OM 4,5 5 所以點 C 到平面 POM 的距離為 又 EC /AB ,.FL /AB，且 FL =；AB, 4 M , F , L , A 四點共面, 若 MF /平面 ADiE，貝 U MF /AL. 四邊形 AMF

16、L 為平行四邊形, AM = FL = 4AB，即 2.（2018 湖北八校聯(lián)考）如圖，在直三棱柱 ABC-A AC = BC= 5, AA = AB = 6, D, E 分別為 AB 和 BB AD _ BE DB = EB . （1） 當(dāng) D 為 AB 的中點時，求證： A B 丄 CE ; （2） 當(dāng) D 在線段 AB 上運(yùn)動時（不含端點）,求三棱錐 積的最小值. 解：（1）證明： D 為 AB 的中點， E 為 B B 的中點, 三棱柱 ABC-A B C為直三棱柱， AA = AB = 6, 四邊形 ABB A為正方形， DE 丄 A B. AC = BC , D 為 AB 的中點，

17、 CD 丄 AB. 面 ABC, CD 丄平面 ABB A. 又 A B?平面 ABB A, CD 丄 A B. 又 CD n DE = D ,.A B 丄平面 CDE , CE?平面 CDE ,.A BCE. (2)設(shè) AD = x(0vx6), 則 BE = x, DB = 6 x, B 1 o VA -CDE = VC-A DE = 3( (s 四邊形 ABB A S ZAA D S/DBE S 36 3x1 6 x x 3 6 x h = ：(x2 6x+ 36) = ：(x 3)2+ 27(0 x6),由題意得平面 ABB A丄平面 ABC，且平面 ABB An平面 ABC = AB

18、 , CD ?平 由已知可得點 C 到平面 A DE 的距離即為 ABC 的邊 AB 上的高 h，且 h = 1 A B E) = 、 三棱錐 A -CDE 的體積 C 當(dāng) x= 3,即 D 為 AB 的中點時，VA，-CDE取得最小值，最小值為 18. 3.(2018 南昌模擬) )如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD，四邊形 ABCD 為直角梯形，AC 與 BD 相交于點 O, AD / BC, AD 丄 AB, AB= BC= AP= 3,三棱錐 P-ACD 的體積為 9. (1)求 AD 的值； 過點 O 的平面a平行于平面 PAB，平面a與棱 BC, AD , E

19、 , F , G, H，求截面 EFGH 的周長. 解：因為在四棱錐 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD , 四邊形 ABCD 為直角梯形， AD /BC, AD 丄 AB , AB = BC= AP= 3, 所以 V 三棱錐 P-ACD = X * X AB X AD X AP = = 9, 解得 AD = 6. (2)由題知平面 a/平面 PAB,平面 aQ平面 ABCD = EF，點 O 在 EF 上，平面 PAB A 平面 ABCD = AB , 根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得 EF /AB , 同理 EH /BP, FG /AP.因為 BC /AD, 所以 BOC SQOA , C

20、E OC 1 因為 EF /AB,所以 BC=AC=3 又易知 BE = AF , AD = 2BC，所以 FD = 2AF. FG FD 2 2 因為 FG /AP,所以 AP = AD = 3, FG = 3AP = 2. EH EC 1 因為 EH /BP,所以=BC = 3, 所以 EH = 3PB= 2. 如圖，作 HN /BC, GM /AD , HN A PB = N , GM A PA= M , 則 HN /GM , HN = GM , 所以四邊形 GMNH 為平行四邊形，所以 GH = MN ,所以 BC= CO=3 AD= OA= 6 1 2. PD , PC 分別相交于點 & E C D 在 APMN 中，MN = 8 + 1 2X 2 ：2cos 45 = 55, 又 EF = AB= 3, 所以截面 EFGH 的周長為 EF + FG + GH + EH = 3 + 2+ 5 + 2= 5 +. 5 +, 2. 4.如圖，在幾何體 ABCDEF 中，底面 ABCD 為矩形，EF / CD