第二類曲面積分學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第二類曲面第二類曲面(qmin)積分積分第一頁(yè)，共71頁(yè)。觀察觀察(gunch)(gunch)以下曲面的側(cè)以下曲面的側(cè) ( (假設(shè)曲面是光滑假設(shè)曲面是光滑的的) )曲面曲面(qmin)(qmin)分上側(cè)分上側(cè)和下側(cè)和下側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第1頁(yè)/共71頁(yè)第二頁(yè)，共71頁(yè)。n曲面曲面(qmin)(qmin)的分的分類類: :1 .1 . 雙 側(cè) 曲 面雙 側(cè) 曲 面(qmin);(qmin);2 .2 . 單 側(cè) 曲 面單 側(cè) 曲 面(qmin).(qmin).典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè)

2、下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁(yè)/共71頁(yè)第三頁(yè)，共71頁(yè)。莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型(dinxng)(dinxng)單側(cè)曲面單側(cè)曲面: :播放播放(b fn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第3頁(yè)/共71頁(yè)第四頁(yè)，共71頁(yè)。側(cè)曲面。側(cè)曲面。單單為雙側(cè)曲面。否則稱為為雙側(cè)曲面。否則稱為沒有改變，則稱沒有改變，則稱的方向的方向點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)，到到越過邊界移動(dòng)，最后回越過邊界移動(dòng)，最后回上不上不點(diǎn)出發(fā)，在點(diǎn)出發(fā)，在，若動(dòng)點(diǎn)從，若動(dòng)點(diǎn)從，記為，記為向向，取定一個(gè)指，取定一個(gè)指處的法向量有兩個(gè)指向處的法向量有兩個(gè)指向在在上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，為為為一光

3、滑曲面，為一光滑曲面，設(shè)設(shè) nMMnMM定義定義(dngy)：用曲面法向量用曲面法向量(xingling)(xingling)的指向規(guī)定曲面的指向規(guī)定曲面的側(cè)，的側(cè)，規(guī)定了側(cè)的曲面規(guī)定了側(cè)的曲面(qmin)(qmin)稱為有向曲面稱為有向曲面(qmin)(qmin)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第4頁(yè)/共71頁(yè)第五頁(yè)，共71頁(yè)。曲面?zhèn)鹊木唧w規(guī)定曲面?zhèn)鹊木唧w規(guī)定(gudng)(gudng)如下：如下：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第5頁(yè)/共71頁(yè)第六頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè)

4、 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 正、負(fù)側(cè)分別記為正、負(fù)側(cè)分別記為 ， 。 第6頁(yè)/共71頁(yè)第七頁(yè)，共71頁(yè)。引例引例(yn l): (yn l): 流體流向曲面一側(cè)的流量流體流向曲面一側(cè)的流量. .Av0n A cosvA 流量流量機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 AvnvA 0第7頁(yè)/共71頁(yè)第八頁(yè)，共71頁(yè)。xyzo 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 解：解：利用微元法利用微元法分割、近似、求和分割、近似、求和(qi h)、

5、取極限取極限第8頁(yè)/共71頁(yè)第九頁(yè)，共71頁(yè)。xyzo iS ),(iii ivin則該點(diǎn)流速則該點(diǎn)流速(li s)為為iv單位單位(dnwi)(dnwi)法法向量為向量為 . .0in機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1.1.分割分割第9頁(yè)/共71頁(yè)第十頁(yè)，共71頁(yè)。)., 2 , 1(0niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 3.3.求和求和(qi h)(qi h) niiiiSnv10kjiniiii coscoscos0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu)

6、 結(jié)束結(jié)束 2.2.近似近似(jn s)(jn s)則該點(diǎn)流速為：則該點(diǎn)流速為：第10頁(yè)/共71頁(yè)第十一頁(yè)，共71頁(yè)。iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 3.3.取極限取極限(jxin)(jxin)0 .的精確值的精確值取極限得到流量取極限得到流量 )(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP niiiiSnv100lim 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第11頁(yè)/共71頁(yè)第

7、十二頁(yè)，共71頁(yè)。設(shè)設(shè) 為光滑的 為光滑的有有向曲面，取定一側(cè)，記這一側(cè)的向曲面，取定一側(cè)，記這一側(cè)的單位法向量為單位法向量為),(0zyxn。 又設(shè)向量函數(shù)。 又設(shè)向量函數(shù)),(zyxF在 上在 上有有定義定義。 把。 把 任意分成 任意分成 n塊小曲面塊小曲面iS ( (iS 同時(shí)又表示同時(shí)又表示第第i塊小曲面的面積塊小曲面的面積), ), ),(iii 是是iS 上任上任意意取定的一取定的一點(diǎn)，點(diǎn)，),(0iiin 表示該點(diǎn)處的單位法向量，表示該點(diǎn)處的單位法向量，作和式：作和式： niiiiiiiiSnF10),(),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè)

8、返回返回 結(jié)束結(jié)束 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值 0 時(shí)時(shí), , 上面和式上面和式有極限（極限值與區(qū)域的分法和點(diǎn)的取法無關(guān)）有極限（極限值與區(qū)域的分法和點(diǎn)的取法無關(guān)） ，則稱則稱此此 第12頁(yè)/共71頁(yè)第十三頁(yè)，共71頁(yè)。極限值為向量函數(shù)極限值為向量函數(shù) ),(zyxF 在有向曲面在有向曲面 上沿指定 上沿指定一側(cè)一側(cè) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 （或或第二類曲面積分第二類曲面積分， 或或向量場(chǎng)向量場(chǎng)上的面積分上的面積分） ，） ，記作記作： 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 001lim(,)(,)ni

9、iiiiiiiFnS dSzyxnzyxF),(),(0 SdzyxF),(（0dSn dS 稱為有向面積元素）稱為有向面積元素） 當(dāng)當(dāng) 是封閉曲面時(shí)， 是封閉曲面時(shí)，第二類曲面積分常記作第二類曲面積分常記作 SdzyxF),( dSnF0第13頁(yè)/共71頁(yè)第十四頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0coscoscosF n dSPQRdS ( , , )( , , ),( , , ),( , , )F x y zP x y z Q x y z R x y z 若若 0( , , )cos,cos,cosnx y z ，則則,cosdSd

10、ydz ,cosdSdzdx dSdxdy cos 則則第14頁(yè)/共71頁(yè)第十五頁(yè)，共71頁(yè)。 zyPdd xzQdd稱為稱為Q Q 在有向曲面在有向曲面(qmin)(qmin)上對(duì)上對(duì) z, x z, x 的的曲面曲面(qmin)(qmin)積分積分; ; yxRdd稱為稱為R R 在有向曲面在有向曲面(qmin)(qmin)上對(duì)上對(duì) x, y x, y 的的曲面曲面(qmin)(qmin)積分積分. .稱為稱為(chn wi)P (chn wi)P 在有向曲面在有向曲面上對(duì)上對(duì) y, y, z z 的曲面積分的曲面積分; ;機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0co

11、scoscosF n dSPQRdS PdydzQdzdxRdxdy 第二類曲面積分的坐標(biāo)表示第二類曲面積分的坐標(biāo)表示 其中：其中：第15頁(yè)/共71頁(yè)第十六頁(yè)，共71頁(yè)。第二類曲面第二類曲面(qmin)積分存在的必積分存在的必要條件要條件:機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 說明說明(shumng)：dSzyxnzyxv ),(),(0d dd dd dP yzQ zxR x y 第16頁(yè)/共71頁(yè)第十七頁(yè)，共71頁(yè)。基本基本(jbn)性性質(zhì)：質(zhì)： dSnFkdSnFkdSnFkFk02201102211)(（1 1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)(xng

12、zh)(xngzh)： 21000dSnFdSnFdSnF機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第17頁(yè)/共71頁(yè)第十八頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 解：解： , , Fx y z 設(shè)設(shè)， 則則0QF n dS 0/F n 因因?yàn)闉椋仪彝蛳颍?|F nF 所所以以a 0QF n dS adS adS a表表面面積積34 a 01 , , nx y za 事事實(shí)實(shí)上上，容容易易求求得得：第18頁(yè)/共71頁(yè)第十九頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)

13、上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：32 , 2 , 3 n532,52,530 n dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( dSzyxRQzyxP),(322),(3(51第19頁(yè)/共71頁(yè)第二十頁(yè)，共71頁(yè)。 ),(yxzz xyDxyzoxyS)( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 n第20頁(yè)/共71頁(yè)第二十一頁(yè)，共71頁(yè)。有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 ,1cos22yxxzzz dxdyzzdSyx221 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (f

14、nhu) 結(jié)束結(jié)束 ,1cos22yxyzzz .11cos22yxzz 第21頁(yè)/共71頁(yè)第二十二頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dSnF 0 RdxdyQdzdxPdydz dSRQP coscoscos xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(, dxdyyxzyxR1),(, 則則第22頁(yè)/共71頁(yè)第二十三頁(yè)，共71頁(yè)。其中：若其中：若 取上側(cè)，取正號(hào)，取上側(cè)，取正號(hào)， 取下側(cè)，取負(fù)號(hào)。取下側(cè)，取負(fù)號(hào)。 RdxdyQdzdxPdydz xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(,

15、dxdyyxzyxR1),(, 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 合一合一(h y)(h y)投投影法影法第23頁(yè)/共71頁(yè)第二十四頁(yè)，共71頁(yè)。其其中中：若若 取取前前側(cè)側(cè)，取取正正號(hào)號(hào)， 取取后后側(cè)側(cè)，取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)。 RdxdyQdzdxPdydz yzDyxzyzyxQzyzyxP)(,),(1,),( dydzxzyzyxRz)(,),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 合一合一(h y)(h y)投影法投影法第24頁(yè)/共71頁(yè)第二十五頁(yè)，共71頁(yè)。其其中中：若若 取取右右側(cè)側(cè)，取取正正號(hào)

16、號(hào)， 取取左左側(cè)側(cè)，取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)。 RdxdyQdzdxPdydz zxDxzxzyxQyzxzyxP1),(,)(),(, dzdxyzxzyxRz)(),(, 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 合一合一(h y)(h y)投影法投影法第25頁(yè)/共71頁(yè)第二十六頁(yè)，共71頁(yè)。 若若,),( , ),(:zyDzyzyxx 則有則有 zyzyxPdd),(), (zy,PzyD ),(zyxzydd 若若,),( , ),(:xzDxzxzyy 則有則有 xzzyxQdd),() z , ,( xzDxQ),(xzyxzdd( (前正后負(fù)前正后負(fù))

17、)( (右正左負(fù)右正左負(fù)) )說明說明(shu(shumng)mng): : yxzyxRdd),() ,( yxDyxR),(yxzyxdd機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 若若,),( , ),(:yxDyxyxzz 則有則有( (上正下負(fù)上正下負(fù)) )分面投影分面投影(tuyng)(tuyng)法法第26頁(yè)/共71頁(yè)第二十七頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解:,:1取上側(cè)取上側(cè)az ,:222取下側(cè)取下側(cè)yxz 1321zdxdyydzdxxdydzQdxdyaxyD 333

18、 a 222:ayxDxy 合一合一(h y)(h y)投影法投影法 xyDyxdxdyazyzx3)(2)(oxyza h第27頁(yè)/共71頁(yè)第二十八頁(yè)，共71頁(yè)。 xyDdxdyyxyx22222 dda 0222220sincos23a 21QQQ 333aa 32 a 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2322zdxdyydzdxxdydzQ xyDyxdxdyyxzyzx3)(2)(22,:222取下側(cè)取下側(cè)yxz 222:ayxDxy 合一合一(h y)(h y)投投影法影法第28頁(yè)/共71頁(yè)第二十九頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng

19、) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解1: 的的方方程程化化為為：21yx ，yzDzy ),( o311 yzDyzdydzxzxyzyIyzDzy )()()1(22dydzyyzyyzD 1)1(232關(guān)于關(guān)于(guny) y (guny) y 是是奇函數(shù)奇函數(shù)dyyzdz 10230)1(26 第29頁(yè)/共71頁(yè)第三十頁(yè)，共71頁(yè)。在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計(jì)算計(jì)算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例5 5：xyoz111 解解

20、1 1yxz 1:機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyDxzyxfI1),( xyDdxdy.21 )1(),(2 yzyxfdxdyyxzyxf1),( 合一合一(h y)(h y)投影法投影法第30頁(yè)/共71頁(yè)第三十一頁(yè)，共71頁(yè)。在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計(jì)算計(jì)算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfIxyoz111 解解2 2利用兩類曲面積分利用兩類曲面積分(jfn)之間的關(guān)之間的關(guān)系系,1 , 1, 1 n的法向量為的法向

21、量為.31cos,31cos,31cos 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ),(31xzyxfI dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 例例5 5：第31頁(yè)/共71頁(yè)第三十二頁(yè)，共71頁(yè)。例例 6 6：計(jì)算計(jì)算 xyzdxdy，其中，其中 是球面是球面 1222 zyx 外外側(cè)在側(cè)在 0, 0 yx 的部分的部分。 解解:兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)

22、束結(jié)束 根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性0dd yxxyz 思考思考: : 下述解法是否下述解法是否(sh fu)(sh fu)正確正確: :注意：第二類曲面注意：第二類曲面(qmin)積分沒有奇偶對(duì)稱積分沒有奇偶對(duì)稱性！性！第32頁(yè)/共71頁(yè)第三十三頁(yè)，共71頁(yè)。 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy221 xyDdxdyyxxy2212 1022401cossin2 dd機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyDdxdyyxxy)1(22xyz2 1 152 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 第33頁(yè)/共71

23、頁(yè)第三十四頁(yè)，共71頁(yè)。說明說明(shumn(shumng)g)： 類似地，若類似地，若 垂直于垂直于yoz平面時(shí)，平面時(shí)，0 Pdydz； 若若 垂直于垂直于zox平面時(shí)，平面時(shí)，0 Qdzdx。 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第34頁(yè)/共71頁(yè)第三十五頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第35頁(yè)/共71頁(yè)第三十六頁(yè)，共71頁(yè)。 uvDvuzyvuzvuyvuxP),(),(),(),(),( ),(),(),(),(),(vuxzvuzvuyvuxQ dudvvuyxvuzvuyvuxR

24、),(),(),(),(),( 第36頁(yè)/共71頁(yè)第三十七頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xzy上上1 下下1 左左2 右右2 前前3 后后3 解解: : yxxzdd)( 上上1dd)(yxxz yxDyxxadd)2( yxxz 下下1dd)( yxxayxD dd)2( yxDyxadd3a 同理：同理： dzdyyx )(dzdxzy )(3a 所以所以(suy)(suy)： 原式原式33a 分面投影分面投影(tuyng)法法第37頁(yè)/共71頁(yè)第三十八頁(yè)，共71頁(yè)。1:222222 czbyax取外側(cè)取外側(cè)(wi c)

25、 .(wi c) .解解1:1: zyxdddxdycyxDbyax,2222111dxdycyxDbyax,2222111222221dd1xyDxycxyab ,sin,cos byax ddddbayx d1d210220 abc21c cba 4 注意注意(zh (zh y)y)號(hào)號(hào)1:2222 byaxDxy其中其中(qzh(qzhng)ng)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,ddddddzyxyxzxzyI 分面投影法分面投影法第38頁(yè)/共71頁(yè)第三十九頁(yè)，共71頁(yè)。 zyxdd21c cba 4 類似類似(li s)的的 xzydd21a cba 4

26、yxzdd21b cba 4 222111cba cbaI 4 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 向向 yoz yoz 平面平面(pngmin)(pngmin)投影投影向向 zox 平面投影平面投影分面投影法分面投影法1:222222 czbyax第39頁(yè)/共71頁(yè)第四十頁(yè)，共71頁(yè)。1:222222 czbyax取外側(cè)取外側(cè)(wi c) .(wi c) .解解2:2:其中其中(qzh(qzhng)ng)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 ,ddddddzyxyxzxzyI 橢球面的參數(shù)方程橢

27、球面的參數(shù)方程sincossinsincosxaybzc 200 ijkxyzxyzcoscoscossinsinsinsinsincos0ijkabcab 22sincos ,sinsin ,sincos bcacab 第40頁(yè)/共71頁(yè)第四十一頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 ()sinDbcacabd dabc 2sincos(sincosDbca sincos)cosabd dc 2221114()abcabc d dd dddyzzxxyIxyz 2sinsinsinsinacb 200()sinbcacabddabc

28、 ( , )( , )( , ),( , )( , )( , )y zz xx y 即即22sincos ,sinsin ,sincos bcacab 第41頁(yè)/共71頁(yè)第四十二頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解2:cos ,sin ,0 zzzijkxyzxyzsincos0001ijk 第42頁(yè)/共71頁(yè)第四十三頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 cos ,sin ,0 22Ix zdydzy dzdxzdxdy ( , )( , )( , ),( , )( , )

29、( , )y zz xx yzzz即即33( cossin)zDzd dz 333202( cossin)dzdz 33202cosdzdz 奇函數(shù)奇函數(shù)32092cos2d 92223 6 第43頁(yè)/共71頁(yè)第四十四頁(yè)，共71頁(yè)。定義定義(dngy(dngy):): yxRxzQzyPdddddd zyiiiiniSP ),(lim10 yxiiiiSR ),( xziiiiSQ ),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 聯(lián)系聯(lián)系: : yxRxzQzyPdddddd SRQPdcoscoscos 第44頁(yè)/共71頁(yè)第四十五頁(yè)，共71頁(yè)。則

30、則其中：若其中：若 取上側(cè)，取正號(hào)，取上側(cè)，取正號(hào)， 取下側(cè)，取負(fù)號(hào)。取下側(cè)，取負(fù)號(hào)。 RdxdyQdzdxPdydz xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(, dxdyyxzyxR1),(, 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1.1.合一合一(h y)(h y)投影投影法法計(jì)算計(jì)算(j (j sun):sun):其它情況類似。其它情況類似。第45頁(yè)/共71頁(yè)第四十六頁(yè)，共71頁(yè)。yxDyxyxzz ),( , ),(:時(shí)，時(shí)，yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),( （上側(cè)?。ㄉ蟼?cè)取“+”, +”, 下側(cè)取下

31、側(cè)取“ ”) )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 當(dāng)當(dāng)2.2.分面投影分面投影(tuyng)(tuyng)法法其它情況其它情況(qngkung)類似。類似。注意：注意： 在第二類曲面積分中，由于積分與曲面的側(cè)有在第二類曲面積分中，由于積分與曲面的側(cè)有關(guān)，因此要慎用對(duì)稱性。一般的講，應(yīng)在曲面積關(guān)，因此要慎用對(duì)稱性。一般的講，應(yīng)在曲面積分化為二重積分后再考慮能否利用對(duì)稱性來化簡(jiǎn)分化為二重積分后再考慮能否利用對(duì)稱性來化簡(jiǎn)計(jì)算。計(jì)算。第46頁(yè)/共71頁(yè)第四十七頁(yè)，共71頁(yè)。習(xí)題習(xí)題(xt)9-5(P288) 2，5，6，7，9機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下

32、頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第47頁(yè)/共71頁(yè)第四十八頁(yè)，共71頁(yè)。1 1、計(jì)算計(jì)算 zdxdydydzxz )(2，其中，其中 是旋轉(zhuǎn)拋 是旋轉(zhuǎn)拋物面物面 )(2122yxz 介于平面介于平面 0 z及及 2 z 之之間的部分的下側(cè)間的部分的下側(cè). . 解：解： dydzxz)(2 zdxdy dxdyzzxzxyDx )(2機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 合一合一(h y)投影投影法法第48頁(yè)/共71頁(yè)第四十九頁(yè)，共71頁(yè)。 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222 xyDdxdyyxx)(21

33、222 2022220)21cos( dd.8 xyDdxdyyxxxyx)(21)(41222222機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 關(guān)于關(guān)于(guny) x (guny) x 是奇函數(shù)是奇函數(shù)dxdyzzxzxyDx )(2422 yxDxy：)(2122yxz 第49頁(yè)/共71頁(yè)第五十頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解1:，31,32,320 n)6222(3120 yxxxynFdSnF )(0dSyxxxy )6222(312dxdyyxxxyxyD )6222(

34、2dyyxxxydxx 30230)6222(33xyoxyD3 yx427 dxdydS3 第50頁(yè)/共71頁(yè)第五十一頁(yè)，共71頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解2:dSnF )(0dxdyzxdzdxxxydydz )(2dxdyyxxxyxyD )2622(2yxz226: dyyxxxydxx 30230)2622(427 33xyoxyD3 yxdxdyzxzxzxyxyDyx )()()(2第51頁(yè)/共71頁(yè)第五十二頁(yè)，共71頁(yè)。yxz111 ,1:22yxz 是其外法線是其外法線(f (f xin)xin)與與 z z

35、軸軸正向正向(zhn xin)(zhn xin)夾成夾成的銳角的銳角, , 計(jì)算計(jì)算.dcos2 SzI 解解1: 1: 1 ,yxzzn 1 ,1,12222yxyyxx n機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,1,220yxyxn 221cosyx 第52頁(yè)/共71頁(yè)第五十三頁(yè)，共71頁(yè)。yxz111 SzIdcos2 d)1(d21020 2 yxDyxyxdd)1(22n機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 222:ayxDxy ,122yxz ：221cosyx Syxd)1(322dxdyyx

36、dS2211 第53頁(yè)/共71頁(yè)第五十四頁(yè)，共71頁(yè)。yxz111 ,1:22yxz 是其外法線是其外法線(f xin)(f xin)與與 z z 軸軸正向正向(zhn xin)(zhn xin)夾成夾成的銳角的銳角, , 計(jì)算計(jì)算.dcos2 SzI 解解2: 2: SzIdcos2 yxzdd2 d)1(d21020 2 yxDyxyxdd)1(22n機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 222:ayxDxy 第54頁(yè)/共71頁(yè)第五十五頁(yè)，共71頁(yè)。莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型(dinxng)(dinxng)單側(cè)曲面單側(cè)曲面: :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目

37、錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第55頁(yè)/共71頁(yè)第五十六頁(yè)，共71頁(yè)。莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型(dinxng)(dinxng)單側(cè)曲面單側(cè)曲面: :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第56頁(yè)/共71頁(yè)第五十七頁(yè)，共71頁(yè)。莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型(dinxng)(dinxng)單側(cè)曲面單側(cè)曲面: :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第57頁(yè)/共71頁(yè)第五十八頁(yè)，共71頁(yè)。莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型(dinxng)(dinxng)單側(cè)曲面單側(cè)曲面: :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第58頁(yè)/共71頁(yè)第五十九頁(yè)，