07_插值與數(shù)據(jù)擬合

1、第七講第七講插值與數(shù)據(jù)擬合插值與數(shù)據(jù)擬合7.1 引言引言 在工程和科學(xué)實驗中，常常需要從一組實驗觀測數(shù)據(jù) (xi, yi)(i = 1, 2, , n)揭示自變量 x 與因變量 y 之間的關(guān)系，一般可以用一個近似的函數(shù)關(guān)系式 y = f (x) 來表示。函數(shù) f(x) 的產(chǎn)生辦法因觀測數(shù)據(jù)與要求的不同而異，通常可采用兩種方法：插值與數(shù)據(jù)擬合。 7.1.1 插值插值 引例引例 7.1.1 凸輪是一個具有曲線輪廓或凹槽的構(gòu)件，其工作廓線是滾子中心的包絡(luò)線。現(xiàn)有一凸輪其工作廓線分 A、B、C 三段，在實際使用中發(fā)現(xiàn)，A 段和 C 段的行程符合設(shè)計要求，而 B 段的行程必須進(jìn)行修正設(shè)計。 已知凸輪 A

2、 段曲線數(shù)據(jù)如表 7.1.1(1) 所示，凸輪 C 段曲線數(shù)據(jù)如表 7.1.2(2) 所示。 請根據(jù) A 段和 C 段曲線的數(shù)據(jù)，求出 B 段上 xi = 244, 245, 246, 247, 248 的數(shù)據(jù)。 表 7.1.1(1) A 段曲線數(shù)據(jù) 表 7.1.2(2) C 段曲線數(shù)據(jù) 解決這個問題，可以通過構(gòu)造一個與給定數(shù)據(jù)相適應(yīng)的函數(shù)來解決，這是一個被稱為插值的問題。 滾子中心239240241242243f (xi) 14.227 14.03 13.854 13.681 13.526 xi249250251252253f (xi) 13.098 13.095 13.085 13.067

3、 13.039 插值問題的基本提法插值問題的基本提法：對于給定的函數(shù)表其中 f (x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，x0, , xn 為 a, b 上 n 1 個互不相同的點，要求在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的函數(shù)類 P(x) 中，選出一個使P(xi) = yi，i = 0, 1, , n (7.1.1)成立的函數(shù) P(x) 作為 f (x) 的近似，這就是最基本的插值問題(見圖 7.1.1)。xx0 x1xny = f(x)y0y1yn 為便于敘述，通常稱區(qū)間 a, b 為插值區(qū)間，稱點 x0, x1, , xn 為插值節(jié)點，稱函數(shù)類 P(x) 為插值函數(shù)類，稱式(7.1.1)為插值條件，稱函數(shù)

4、P(x) 為插值函數(shù)，稱 f(x) 為被插函數(shù)。求插值函數(shù) P(x) 的方法稱為插值法。 圖 7.1.1 插值問題示意圖 23524024525025512.51313.51414.51515.516 7.1.2 數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合 引例引例 7.1.2 在某化學(xué)反應(yīng)中，已知生成物的濃度與時間有關(guān)。今測得一組數(shù)據(jù)如下： 表7.1.2根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們希望尋找一個 y = f (t) 的近似表達(dá)式(如建立濃度 y 與時間 t 之間的經(jīng)驗公式等)。時間 t(分)12345678濃度 y1034.006.408.008.809.229.509.709.86時間 t(分)910111213141516濃

5、度 y10310.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.60 從幾何上看，就是希望根據(jù)給定的一組點(1, 4.00)，, (16, 10.60)，求函數(shù) y = f(t) 的圖象的一條擬合曲線。 024681012141634567891011 數(shù)據(jù)擬合問題的基本提法數(shù)據(jù)擬合問題的基本提法：對于給定的函數(shù)表 其中 f (x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，x0, , xn 為 a, b 上 n 1 個互不相同的點，要求找一個簡單合理的函數(shù)近似表達(dá)式 (x)，使 (x) 與 f (x) 在某種準(zhǔn)則下最為接近，這就是最基本的數(shù)據(jù)擬合問題(見圖 7.1.2)。xx0 x1

6、xny = f(x)y0y1yn024681012141634567891011圖 7.1.2 數(shù)據(jù)擬合問題示意圖 通常，我們稱 (x) 為給定數(shù)據(jù)點的擬合函數(shù)。 7.1.3 插值與數(shù)據(jù)擬合的基本理論依據(jù)插值與數(shù)據(jù)擬合的基本理論依據(jù) 插值方法與數(shù)據(jù)擬合的基本理論依據(jù)，就是數(shù)學(xué)分析中的 Weierstrass 定理：設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則對 0，存在多項式P(x)，使得即：有界區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)被多項式一致逼近。)()(max,xPxfbax 7.1.4 實際應(yīng)用中兩種方法的選擇實際應(yīng)用中兩種方法的選擇 在實際應(yīng)用中，究竟選擇哪種方法比較恰當(dāng)？總的原則是根據(jù)實際問題的特點

7、來決定采用哪一種方法。具體說來，可從以下兩方面來考慮： 1如果給定的數(shù)據(jù)是少量的且被認(rèn)為是嚴(yán)格精確的，那么宜選擇插值方法。采用插值方法可以保證插值函數(shù)與被插函數(shù)在插值節(jié)點處完全相等。 2如果給定的數(shù)據(jù)是大量的測試或統(tǒng)計的結(jié)果，并不是必須嚴(yán)格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜選用數(shù)據(jù)擬合的方法。這是因為：一方面測試或統(tǒng)計數(shù)據(jù)本身往往帶有測量誤差，如果要求所得的函數(shù)與所給數(shù)據(jù)完全吻合，就會使所求函數(shù)保留著原有的測量誤差；另一方面，測試或統(tǒng)計數(shù)據(jù)通常很多，如果采用插值方法，不僅計算麻煩，而且逼近效果往往較差。7.2 一維數(shù)據(jù)的基本插值方法簡介一維數(shù)據(jù)的基本插值方法簡介 插值函數(shù)類的取法很多，可以

8、是代數(shù)多項式，也可以是三角多項式或有理函數(shù)；可以是 a, b 上任意光滑函數(shù)，也可以是分段光滑函數(shù)。在此介紹最基本、最常用的兩種插值方法：分段多項式插值與三次樣條插值。 7.2.1 一維數(shù)據(jù)的分段多項式插值一維數(shù)據(jù)的分段多項式插值 對于給定的一維數(shù)據(jù)分段多項式插值就是求一個分段(共 n 段)多項式 P(x)，使其滿足 P(xi) = yi(i = 0, 1, , n)或更高的要求。 一般地，分段多項式插值中的多項式都是低次多項式(不超過三次)。xx0 x1xny = f(x)y0y1yn 1分段線性插值分段線性插值 分段線性插值函數(shù) P1(x) 是一個分段一次多項式(分段線性函數(shù))。在幾何上就

9、是用折線代替曲線，如圖 7.2.1，故分段線性插值亦稱為折線插值。其插值公式為 其中 xxi, xi +1。) 1 . 2 . 7( )(11111iiiiiiiiyxxxxyxxxxxP圖 7.2.1 分段線性插值示意圖 引例 7.1.1 的線性插值示意圖2352402452502551313.51414.5 2分段二次插值分段二次插值 分段二次插值函數(shù) P2(x) 是一個分段二次多項式。在幾何上就是分段拋物線代替曲線 y = f(x)，故分段二次插值又稱為分段拋物插值。其插值公式其中 xxi -1, xi +1。111111111111112)()()()()()()(iiiiiiiiii

10、iiiiiiiiiiiyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP)2 . 2 . 7( 1111 iikkikjijjkjyxxxx 3三次三次 Hermite 插值插值 三次 Hermite 插值問題的基本提法一：已知一維數(shù)據(jù)求一個三次多項式 P3(x)，使之滿足P3(xi) = yi，P3(xi) = mi，i = 0, 1 (7.2.3)xx0 x1y = f (x)y0y1y = f (x)m0m1 下面的 (7.2.5)、(7.2.6) 兩式構(gòu)成了三次 Hermite 插值基本提法一的插值公式：P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (

11、7.2.5) )6 . 2 . 7( )()()()(21)(21)(2010112101002010101121010100 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 三次 Hermite 插值問題的基本提法二：已知一維數(shù)據(jù)求一個三次多項式 P3(x)，使之滿足P3(xi) = yi，i = 0, 1, 2，P3(x1) = mi (7.2.3)xx0 x1x2y = f (x)y0y1y2y = f (x)m1 下面的 (7.2.9)、(7.2.10) 兩式構(gòu)成了三次Hermite 插值基本提法二的插值公式：P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0

12、1(x)m1 (7.2.9) )10. 2 . 7( )()()()()()()(11)(1)()()()()()()()()(21012101212022103210112120 1201202102210 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 7.2.2 一維數(shù)據(jù)的三次樣條插值一維數(shù)據(jù)的三次樣條插值 上述介紹的分段多項式插值，其優(yōu)點為計算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證，且易于在計算機上實現(xiàn)。 但它也明顯存在著缺陷。它只能保證在每個小區(qū)間段 xi, xi+1 內(nèi)光滑，在各小區(qū)間連接點 xi 處連續(xù)，卻不能保證整條曲線的光滑、光順性，難以滿足某

13、些工程的要求。對于象高速飛機的機翼形線，船體放樣等型值線往往要求有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 而由上世紀(jì) 60 年代開始，首先起源與航空、造船業(yè)等工程設(shè)計的實際需要而發(fā)展起來的樣條插值，既保留了分段多項式插值的各種優(yōu)點，又提高了插值函數(shù)的光滑度。 在此，僅介紹應(yīng)用最廣且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值方法。 1三次樣條插值問題的基本提法三次樣條插值問題的基本提法 對于給定的一維數(shù)據(jù)求一個三次多項式 S(x) 滿足條件 (1) S(xi) = yi，i = 0, 1, , n； (2) S(x) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，特別在節(jié)點 xi 上應(yīng)滿足連續(xù)性要求，即對 i = 0, 1, , n 有xx0

14、 x1xny = f (x)y0y1yn)0( )0( )0( )0( )0()0(iiiiiixSxSxSxSxSxS 2三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù) 給定區(qū)間 a, b 的一個劃分：a = x0 x1 0, b 0)。baxxx)(xbaex )( (2) 擬合運算 首先，分別用二、三、六次多項式擬合，計算得輸出參數(shù)分別為 p1 = 0.0445，1.0711，4.3252 p2 = 0.0060，0.1963，2.1346，2.5952 p3 = 0.0000，0.0004，0.0103，0.1449， 1.1395，4.9604，0.0498擬合函數(shù)分別為 (1)(x) = 0.0

15、445 1.0711x 4.3252x2 (2)(x) = 0.0060 0.1963x 2.1346x2 2.5952x3 (3)(x) = 0.0004x 0.0103x2 0.1449x3 1.1395x4 4.9304x5 0.0498x6； 其次，再用有理分式擬合，計算得輸出參數(shù)分別為p = 0.0841，0.1392擬合函數(shù)為 baxxx)(1392. 00841. 0)(xxx 最后，用指數(shù)函數(shù)擬合，計算得輸出參數(shù)分別為p = 11.3578，1.0873擬合函數(shù)為 三種方式五個種函數(shù)的擬合曲線見圖 7.4.2 7.4.4。 xbaex )(xex0873. 13578.11)(

16、圖 7.4.2 多項式函數(shù)擬合曲線圖 圖7.4.3 有理分式函數(shù)擬合曲線圖 圖7.4.4 指數(shù)函數(shù)擬合曲線圖 (3) 誤差分析 和給定的 16 組數(shù)據(jù)比較，三種方式五個函數(shù)擬合的誤差見下表，其中：偏差平方和以及平均偏差平方和為：niiiniiyx1212)(niiiniiyxnn1212)(11表7.4.1 五個函數(shù)擬合的誤差表偏差平方和平均偏差平方和最大偏差二次多項式擬合4.44160.27761.3518三次多項式擬合1.22920.07680.6067六次多項式擬合0.11690.00730.2684有理分式擬合0.57320.03580.4772指數(shù)函數(shù)擬合0.17770.01110.

17、2544 從上表中求得的誤差情況來看，好似六次多項式函數(shù)擬合的最好，指數(shù)函數(shù)擬合次之，然后分別是有理分式函數(shù)擬合、三次多項式函數(shù)擬合和二次多項式函數(shù)擬合。 但是，就這個實際問題的本質(zhì)來說，化學(xué)反應(yīng)中生成物的濃度到一定時間后應(yīng)基本穩(wěn)定，即當(dāng) x 時， f (x) 常數(shù)。 而我們有 但是三個多項式函數(shù)擬合曲線的趨勢則不趨于常數(shù)(見圖 7.4.5)：8906.111392. 00841. 0limttt3578.113578.11lim0873. 1tte 圖 7.4.5 0510152025-30-20-100102030三 條 擬 合 曲 線 的 趨 勢 圖實 線 ： 二 次 多 項 式 擬 合

18、 曲 線 虛 線 ： 三 次 多 項 式 擬 合 曲 線 -虛 點 線 ： 六 次 多 項 式 擬 合 曲 線 - - (4) 結(jié)論 通過以上的計算和分析，我們得出如下結(jié)論：本問題可用指數(shù)函數(shù)或有理分式函數(shù)來擬合，其擬合函數(shù)分別為xex0873. 13578.11)(1392. 00841. 0)(xxx擬合誤差為 表7.4.2 (5) Matlab 程序 略。偏差平方和平均偏差平方和最大偏差指數(shù)函數(shù)擬合0.17770.01110.4772有理分式擬合0.57320.03580.25447.5 范例范例 水道測量數(shù)據(jù)水道測量數(shù)據(jù)(AMCM 86A 題) 本問題由加州海軍研究生院數(shù)學(xué)系的Rich

19、ard Franke 提供，問題如下： 在某海域測得一些點 (x, y) 處的水深 z(單位為英尺)由表 7.5.1 給出，水深數(shù)據(jù)是在低潮時測得的。船的吃水深度為 5 英尺，問在矩形區(qū)域 (75, 200)(50, 150) 里，哪些地方船要避免進(jìn)入。表7.5.1 水道水深測量數(shù)據(jù)(單位：英尺)x129.0140.0108.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y6.581.03.056.566.584.038.5z9988949 解解：(1)

20、假設(shè) 由題目給出的信息是很少的，除了 14 個位置的水深之外一無所知。顯然，題目要求我們找出水深不到 5 英尺的區(qū)域。為了討論方便，下面三個假設(shè)是合理的： 所給數(shù)據(jù)是精確的； (因而應(yīng)該進(jìn)行數(shù)據(jù)插值方法) 討論區(qū)域的海底曲面是光滑的，更確切地說，可以認(rèn)為曲面的一階、二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。因為我們可以認(rèn)為討論區(qū)域為淺水海域，由于長期的海水水流作用，形成的是以礫石或沙為主要組成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峽谷、山脊等不可意料的突變地形。 水深是一個按區(qū)域來劃分的變量，在某個位置的水深與其周圍區(qū)域的水深是相互依賴的，但這種依賴作用隨距離的增大而減小。就我們討論的問題來說，每一個給定數(shù)據(jù)點影響周圍的每一個未知點，一個給定數(shù)據(jù)點離未知點越近，作用就越大。 (2) 問題分析 根據(jù)假設(shè)，海底