2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料---立體幾何(教師)

1、.2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料-立體幾何【考綱解讀】1、平面的概念及平面的表示法，理解三個(gè)公理及三個(gè)推論的內(nèi)容及作用，初步掌握性質(zhì)與推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用。2、空間兩條直線的三種位置關(guān)系，并會(huì)判定。3、平行公理、等角定理及其推論，了解它們的作用，會(huì)用它們來(lái)證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，掌握證明空間兩直線平行及角相等的方法。4、異面直線所成角的定義，異面直線垂直的概念，會(huì)用圖形來(lái)表示兩條異面直線，掌握異面直線所成角的范圍，會(huì)求異面直線的所成角。5.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘;了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算;掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用

2、直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積公式.6.了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、球的概念.掌握棱柱,棱錐的性質(zhì),并會(huì)靈活應(yīng)用,掌握球的表面積、體積公式;能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖.7.空間平行與垂直關(guān)系的論證. 8. 掌握直線與平面所成角、二面角的計(jì)算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關(guān)問(wèn)題,進(jìn)一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關(guān)問(wèn)題.9.理解點(diǎn)到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念會(huì)用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法）.對(duì)異面直線的距離只要求學(xué)生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況

3、）和距離公式計(jì)算距離.【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】在2012年高考中立體幾何命題有如下特點(diǎn)：1.線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系2.多面體中線面關(guān)系論證，空間“角”與“距離”的計(jì)算常在解答題中綜合出現(xiàn)3.多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念、性質(zhì)、三視圖多在選擇題，填空題出現(xiàn)4.有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問(wèn)題，特別是與球有關(guān)的問(wèn)題將是高考命題的熱點(diǎn)此類(lèi)題目分值一般在17-22分之間，題型一般為1個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題. 【要點(diǎn)梳理】1.三視圖：正俯視圖長(zhǎng)對(duì)正、正側(cè)視圖高平齊、俯側(cè)視圖寬相等.2.直觀圖:已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段平行性不變,但在直觀圖

4、中其長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.3.體積與表面積公式:(1)柱體的體積公式:;錐體的體積公式: ;臺(tái)體的體積公式: ;球的體積公式: .(2)球的表面積公式: .4.有關(guān)球與正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)合體問(wèn)題，要抓住球的直徑與這些幾何體的有關(guān)元素的關(guān)系.5.平行與垂直關(guān)系的證明,熟練判定與性質(zhì)定理.6利用空間向量解決空間角與空間距離?！究键c(diǎn)在線】考點(diǎn)一：三視圖例1.（2011年高考海南卷文科第8題）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（ ）【答案】D【解析】由主視圖和府視圖可知，原幾何體是由后面是半個(gè)圓錐，前面是三棱錐的組合體，所以，左視圖是D.【名師點(diǎn)睛】本

5、題考查三視圖的基礎(chǔ)知識(shí).【備考提示】三視圖是高考的熱點(diǎn)之一,年年必考,所以必須熟練立體幾何中的有關(guān)定理是解答好本題的關(guān)鍵.練習(xí)1:（2011年高考江西卷文科9)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為（ ）【解析】左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點(diǎn)，連起來(lái)就可以得到答案.考點(diǎn)二：表面積與體積例2.(2011年高考安徽卷文科8)一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為（A）48 （B） （C）（D）80【答案】C【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為，四個(gè)側(cè)面的面積為，所以幾何體的

6、表面積為.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖的識(shí)別以及空間多面體表面積的求法.332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1【備考提示】：表面積與體積的求解也是高考的熱點(diǎn)之一，年年必考，大多以三視圖為載體，在選擇與填空題中考查，難度不大，也可能在解答題的一個(gè)問(wèn)號(hào)上.練習(xí)2：（2011年高考湖南卷文科4)設(shè)圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( )A【答案】D【解析】有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和球構(gòu)成的組合體，其體積.考點(diǎn)三：空間中平行與垂直關(guān)系的證明ABCD例3. （2011年高考山東卷文科19)如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面是平行四邊形，60°. （）證明：；（）證明：.【解析】（）證明：因

7、為，所以設(shè)AD=a,則AB=2a,又因?yàn)?0°,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BDAD,又因?yàn)槠矫?，所以BD,又因?yàn)? 所以平面,故.(2)連結(jié)AC,設(shè)ACBD=0, 連結(jié),由底面是平行四邊形得:O是AC的中點(diǎn),由四棱臺(tái)知:平面ABCD平面,因?yàn)檫@兩個(gè)平面同時(shí)都和平面相交,交線分別為AC、，故，又因?yàn)锳B=2a, BC=a, ，所以可由余弦定理計(jì)算得AC=，又因?yàn)锳1B1=2a, B1C1=, ，所以可由余弦定理計(jì)算得A1C1=，所以A1C1OC且A1C1=OC，故四邊形OCC1A1是平行四邊形，所以CC1A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以.【名師

8、點(diǎn)睛】本題以四棱臺(tái)為載體,考查空間中平行與垂直關(guān)系的論證,考查空間想象能力、邏輯思維能力,分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.【備考提示】：熟練課本中有關(guān)平行與垂直的定理是解答好本類(lèi)題的關(guān)鍵.練習(xí)3.(2011年高考江蘇卷16)如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn).求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.【解析】證明:（1）因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn),所以EFPD,又因?yàn)镋F平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF平面PCD；（2）設(shè)AB=AD=,則AF=,又因?yàn)锽AD=60°，所以在中,由余弦定

9、理得：BF=，所以，所以BFAF，因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，交線為AD，平面ABCD，所以BF平面PAD，因?yàn)槠矫鍮EF，所以平面BEF平面PAD.考點(diǎn)四：空間角與距離的求解例4.(2011年高考浙江卷理科20).如圖，在三棱錐中，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥糠ㄒ唬海ǎ┳C明：如圖，以為原點(diǎn)，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由此可得，所以 ，即（）解：設(shè) ，則，設(shè)平面的法向量，平面的

10、法向量由 得即，可取 由即得可取，由得解得 ，故 綜上所述，存在點(diǎn)M 符合題意，法二（）證明：又因?yàn)樗云矫婀剩ǎ┤鐖D，在平面內(nèi)作由（）知得平面，又平面所以平面平面在中，得在中，在中，所以得，在中，得又從而，所以綜上所述，存在點(diǎn)M 符合題意，.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.【備考提示】：空間角與距離是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，年年必考，熟練三種角及距離的求法，是解答本類(lèi)題目的關(guān)鍵.練習(xí)4. (2011年高考全國(guó)卷理科16)己知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, C

11、F=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于 .【答案】【解析】延長(zhǎng)CB、FE交于M，連結(jié)AM，過(guò)B作BNAM于N，連結(jié)EN，則ENB為平面AEF與平面ABC所成的二面角，AM=AB，.【易錯(cuò)專(zhuān)區(qū)】問(wèn)題：三視圖與表面積、體積例.（2011年高考陜西卷文科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由三視圖可知該幾何體為立方體與圓錐，立方體棱長(zhǎng)為2，圓錐底面半徑為1、高為2，所以體積為故選A.【名師點(diǎn)睛】：本小題以三視圖為載體考查空間幾何體的體積的求解【備考提示】：由三視圖準(zhǔn)確判斷幾何體的形狀以及找出幾何體各個(gè)邊長(zhǎng)是解答此類(lèi)問(wèn)題的

12、關(guān)鍵所在.【考題回放】1.(2011年高考浙江卷理科4)下列命題中錯(cuò)誤的是( )（A）如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面（C）如果平面，平面，那么（D）如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面【答案】 D正(主)視圖俯視圖【解析】?jī)蓚€(gè)平面垂直，兩個(gè)平面上的所有直線都不是垂直了，比如平面垂直平面，垂線為AB，直線CD屬于，與AB交與E點(diǎn)，角度為60°，不垂直平面，故選D.2. (2011年高考山東卷理科11)下圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題：存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正(主

13、)視圖、俯視圖如右圖；存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖其中真命題的個(gè)數(shù)是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】對(duì)于,可以是放倒的三棱柱；容易判斷可以.3.(2011年高考浙江卷理科3)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( )【答案】D【解析】：A，B與正視圖不符，C與俯視圖不符，故選D .4.(2011年高考遼寧卷理科8)如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 (D)AB與SC所成的角等于DC與S

14、A所成的角【答案】D【解析】對(duì)于A:因?yàn)镾D平面ABCD，所以DSAC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以ACBD，故AC平面ABD,因?yàn)镾B平面ABD,所以ACSB，正確.對(duì)于B：因?yàn)锳B/CD,所以AB/平面SCD.對(duì)于C:設(shè).因?yàn)锳C平面ABD，所以SA和SC在平面SBD內(nèi)的射影為SO，則ASO和CSO就是SA與平面SBD所成的角和SC與平面SBD所成的角，二者相等，正確.故選D.5(2011年高考江西卷理科8)已知，是三個(gè)相互平行的平面平面，之間的距離為，平面，之間的距離為直線與，分別相交于，那么“=”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必

15、要條件【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作平面的垂線g,交平面，分別于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知,所以,故選C.6(2011年高考四川卷理科3)，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是( )(A)， （B），(C) ，共面 （D），共點(diǎn)，共面【答案】B【解析】若則有三種位置關(guān)系，可能平行、相交或異面，故A不對(duì).雖然，或共點(diǎn)，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正確.7.(2011年高考全國(guó)卷理科6)已知直二面角，點(diǎn)為垂足，為垂足，若則到平面的距離等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】如圖，作于，由為直二面角，得平面，進(jìn)而,又,于是平面。故為到平面的距離。在中，利用等面

16、積法得8.(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科15)已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 。【答案】【解析】如圖，連接矩形對(duì)角線的交點(diǎn)和球心,則，,四棱錐的高為,所以，體積為9.(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科18)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。【解析】(1)證明：在三角形ABD中，因?yàn)樵撊切螢橹苯侨切?，所?（2）建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是則，設(shè)平面PAB的法向量為，所以， 取得，同理設(shè)平面PBC的法向量為， 取得，

17、于是，因此二面角的余弦值是.10(2011年高考湖南卷理科19)如圖，在圓錐中，已知=，O的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.【解法一】連結(jié)OC，因?yàn)橛值酌鍻，AC底面O，所以，因?yàn)镺D，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，過(guò)O作于H，由（I）知，平面，在平面PAO中，過(guò)O作于G，連接HG，則有平面OGH，從而，故為二面角BPAC的平面角。在在在在所以故二面角BPAC的余弦值為【解法二】（I）如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

18、則，設(shè)是平面POD的一個(gè)法向量，則由，得所以設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由，得所以得。因?yàn)樗詮亩矫嫫矫鍼AC。（II）因?yàn)閥軸平面PAB，所以平面PAB的一個(gè)法向量為由（I）知，平面PAC的一個(gè)法向量為,設(shè)向量的夾角為，則由圖可知，二面角BPAC的平面角與相等，所以二面角BPAC的余弦值為【高考沖策演練】一、選擇題：1（2009年高考廣東卷A文科第6題）給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平

19、面也不垂直.其中，為真命題的是 （ ）A和 B和 C和 D和 【答案】D【解析】錯(cuò), 正確, 錯(cuò), 正確.故選D2（2009年高考湖南卷文科第6題）平面六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為（ ）A3 B4 C5 D6 【答案】C【解析】如圖，用列舉法知合要求的棱為：、，故選C.3.已知直線 、，平面、，且，則是的( ).充要條件 .充分不必要條件 .必要不充分條件 .既不充分也不必要條件【答案】B4已知a、b為直線，、為平面在下列四個(gè)命題中：若a，b，則ab ；若 a，b ，則ab；若a，a，則；若b，b ，則正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A 1 B 3 C 2 D 0【答案】C【解析】由“垂直于同

20、一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知真；易知假，選C5.設(shè)l、m、n為不同的直線，為不同的平面，有如下四個(gè)命題：( )若若若若A.0B.1C.2D.3【答案】B6.已知正三棱錐的主視圖、俯視圖如下圖所示，其中VA=4，AC=,則該三棱錐的左視圖的面積 ( )A9 B6 C D【答案】B7已知空間兩條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是( )A若 B若C若 D若【答案】D8(2010年高考全國(guó)2卷理數(shù)9）已知正四棱錐中，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為( )（A）1 （B） （C）2 （D）39.(2010年

21、全國(guó)高考寧夏卷10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】如圖，P為三棱柱底面中心，O為球心，易知，所以球的半徑滿足：，故10（2010年高考廣東卷理科6）如圖1，ABC為三角形，/, 平面ABC且3= =AB,則多面體ABC -的正視圖（也稱主視圖）是（ ）【答案】D二填空題：11(2011年高考上海卷理科7)若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為 ?！敬鸢浮浚?2（2009年高考江蘇卷第12題）設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；

22、（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號(hào) （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）.【答案】(1)(2)13.（2011年高考全國(guó)卷文科15)已知正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為 .【答案】【解析】取的中點(diǎn)，為所求角，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，三解答題：14(2011年高考山東卷理科19)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是線段的中點(diǎn)，求證：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)連結(jié)AF,因?yàn)镋F，E

23、F=F,所以平面EFG平面ABCD,又易證,所以,即,即,又M為AD的中點(diǎn),所以,又因?yàn)镈，所以M,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故GMFA,又因?yàn)槠矫?FA平面,所以平面.（）取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)CO,因?yàn)?所以COAB,又因?yàn)槠矫?，CO平面,所以CO,又AB=A,所以CO平面,在平面ABEF內(nèi),過(guò)點(diǎn)O作OHBF于H,連結(jié)CH,由三垂線定理知:CHBF,所以為二面角-的平面角.設(shè)=,因?yàn)?#160;ACB=，=,CO=,連結(jié)FO,容易證得FOEA且,所以,所以O(shè)H=,所以在中,tan CHO=,故 CHO=,所以二面角-的大小為.15.(2011年高考遼寧卷理科18)如

24、圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD.（I）證明：平面PQC平面DCQ;（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.【解析】（I）方法一：由條件知，PDAQ是直角梯形，因?yàn)锳Q平面ABCD,所以平面PDAQ平面ABCD,交線是AD.又四邊形ABCD是正方形，DCAD,所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQQD.所以PQ平面DCQ.因?yàn)镻Q平面PQC,所以平面PQC平面DCQ.方法二：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間之間坐標(biāo)系D-xyz.依題意由Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0).則(1,1,0)，(0,0,1)， (1,-1,0).所以，即，.故平面DCQ，又平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.（II）依題意得B(1,0,1)，,設(shè)n=(x,y,z)是平面PBC的法向量，則即因此，取n=(0,-1,-2).設(shè)m是平面PBQ