復(fù)化梯形求積公式

1、第二章1.1 復(fù)合梯形求積公式復(fù)合梯形求積公式是復(fù)合求積法的一種，在本章中，將從其原理、概念等方 面對它做一個詳細(xì)介紹。在本章的最后，會對復(fù)合梯形求積法進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，使得可以從不同的方面對這種方法有更深的理解。1.1.1 復(fù)合梯形求積公式的理論當(dāng)積分區(qū)間a, b的長度較大，而節(jié)點(diǎn)個數(shù)n+1固定時，直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會較大。但是如果增加節(jié)點(diǎn)個數(shù)，即n+1增加時，公式的舍入誤差又很難得到控制。為了提高公式的精度，又使算法簡單易行，往往 使用復(fù)化方法。即將積分區(qū)間a，b1分成若干子區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上使用低階 Newton-Cotes公，最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值

2、相加，這就叫做復(fù)合求 積法。而復(fù)合梯形求積公式就是復(fù)合求積法的一種。1.1.2 復(fù)合求積公式的原理將區(qū)間b,b】劃分為n等分，分點(diǎn)xk =a + kh,h = bza-,k = 0,1；-1 ,n, n在每個子區(qū)間 k儀小米=0,1二川-1,)上采用梯形公式，則得n 1n 4bXk 1h1=f (x)dx 二 I f (x)dxf (Xk) f (Xk 1)1 Rn( f)ak=s 詼2kzen 1n(1.1 )稱為復(fù)合梯形公式，其余項(xiàng)可由Rf -得 f'(),(a,b).n4h3由于 f (x) WC2 Lb ,且1n7 ,min f k - - ' f k - max,0%

3、/n04Mn7k o所以M/a,b涯n 1" I "f 一. f k n k衛(wèi)于是復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為Rn f =-bah2f"12可以看出誤差是h2階，且由b aRn f卜712式立即得到，當(dāng)f（x）. c2a,bi時，則blimTn = a f XdX， n .即復(fù)合梯形公式是收斂的.事實(shí)上只要設(shè)f（X）WChb，則可得收斂性，只要把八改寫成為1 b -anJ b -a n Tn 、 f Xk -'、 f Xk 12 _ n «n k當(dāng)nT8時，上式右端括號內(nèi)的兩個和式均收斂到積分fbf（XdX ,所以復(fù)合梯形a公式（1.1）收斂.此外，Tn

4、的求積系數(shù)為正，由定理可知復(fù)合梯形公式是穩(wěn)定的。1.2復(fù)合梯形求積公式的實(shí)例如果在區(qū)間（a, b）上直接應(yīng)用梯形公式則可得（1=b-a）：T1 =- f af b 1 =-a f af b 1 22若在區(qū)間（a, b）中，增加一個結(jié)點(diǎn)c=（a + b）2,則把區(qū)間（a,b ）分成兩個 小區(qū)間（a,c當(dāng)（c,b ）,在兩個小區(qū)間上分別應(yīng)用梯形公式，然后相加就會得出新 的求積公式丁2：（其中h2=:2=（b-a?；）.2. 2丁2 = - fa f c 1一 -f c - f b 122b faa b*f（a） 2 f （一）f（b）二222繼續(xù)增加結(jié)點(diǎn)，把區(qū)間（a,b汾成4等分，x1）（x1,x

5、2 Mx2,x3Mx3,b）在每個小區(qū)間上分別應(yīng)用梯形公式后再相加，就會得出新的求積公式：T4 =h f af x1 I - h4 f x1f x2 I h4 f x2f x3 I - h4 f x3f b 1= Sf (a )+2%+ f''W+ ；L f (b 戶2M4 '八 4 J 1 2 J I 4 力 '尸其中 xk = a kh4, k =0,1，,4同理，把區(qū)間（a, b）分成8等分時，可得求積公式T8："a 2 f6a +2b + f/5a + 3b + f(4a+4b8 8 J I 8 J < 8 JJ3a25UfEdl +&l

6、t; 8 J 8 8 J 8 8 )上面我們將區(qū)間（a,b加成2k等分，是為了在計(jì)算后面的數(shù)值時，充分利用到前面的數(shù)據(jù)。在一般情況下，若把區(qū)間（a,b）（分成n等分，記結(jié)點(diǎn)為 x,k=a+kh,(仁0，1,2,n)h=(ba'n在每一個小區(qū)間xk, x”上應(yīng)用梯形公式，則有：bn 4 xk 1f x dx = " f x dxak £ xkn 4 hf xk , f xk 1 1k = 2二h 2 f a 2" f xk . f % 12kd就可導(dǎo)出復(fù)合梯形公式b _nTn =二 f a 2- f xkf xb 12n _kd利用梯形公式的余項(xiàng)公式(5.2

7、.3),可得復(fù)合梯形公式的截?cái)嗾`差為：R(Tn )=b-a%h2f')=-("" f''(MWa,b)1212n3例1利用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分:1 4dx01 x2該積分的精確值是n =3.141592654。止匕時a =0,b =1,下面分別用、T2、丁4、T8進(jìn)行計(jì)算。函數(shù)f(x) =4/(1 +x2)在各結(jié)點(diǎn)上的值可列表如下:xk01/82/83/84/8f(xk )4.000003.938463.764703.506853.20000xk5/86/87/81f(Xk )2.876402.560002.265492.00000T =0.51f

8、0 f 1 1 = 3T2 = / If 02 f y=5, y' x2 .11 x2 f 1 .1-3.1000T4 = 18 f 0 2If 1/4 f 2/4 f 3/4 1 f 1 )=3.13117工二 管 0 2f 18 f28 f 38 f 4858 f 68 f 78 f 1 )； = 3.13198T8與準(zhǔn)確值之間的誤差為：T -T8定0.26M102 <0.5父103,即T8只有三位有效數(shù)字。如果要求誤差不超過10; 就必須對函數(shù)f(x) =4/(1 +x2)的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)1上的最大值作出估計(jì)。因?yàn)?'-32x 2 -x22 401 x可見y在區(qū)間0

9、,1上是單調(diào)增函數(shù)，y" (0)=8, y" (1) =0,因止匕，Mk maxy=8,則Tn的截?cái)嗾`差為:-MR(Tn)= 12n=(1£ 8=212n2 3n2若要求3n2 010上，即n2AS,則n27。由這個例題可以看出,梯形公式的精確度比較低，收斂也比較慢，因此，梯形公式并不直接用來計(jì)算積分，而是為其它的積分法(如龍貝格積分法)提供初始 數(shù)據(jù)，在那里，由梯形公式得出的這些不夠準(zhǔn)確的近似值， 將被一些簡單的運(yùn)算 加工后變得非常準(zhǔn)確。1.3復(fù)合梯形求積公式算法的程序設(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用復(fù)合梯形公式計(jì)算函數(shù)f (x) = X2 x x3在區(qū)間0,0.6上的弧長s.

10、二算法原理對于積分bI = f xdxa數(shù)值方法的基本思想是用被積函數(shù) f(X )在某些節(jié)點(diǎn)Xk處所對應(yīng)的函數(shù)值做線性 組合nIn ='、Akf Xkk =0來做近似。我們可以從不同角度來構(gòu)造就求積公式，常用的方法是利用插值多項(xiàng)式Ln ： f X來獲得求積公式(稱之為差值型求積)。Newton-Cotes公式是在等距節(jié)點(diǎn)下的特殊插值型求積公式，但做實(shí)際計(jì)算時,往往出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，精度難以保證，所以采用復(fù)合求積法。低級復(fù)合求積法是 把積分區(qū)間a,bi分成若干小區(qū)問，分別在每一個小區(qū)間上用基本公式(如低階 的N-C公式：,$形，Simpson, cotes公式等)做近似，然后求和，從而導(dǎo)出

11、求 定積分的數(shù)值公式。一般在a,b上n等分，取步長h=匕，節(jié)點(diǎn)4=a+kh,每個小區(qū)問 nXi,為十上用梯形公式x 1hf f (x)dx =二f (x) + f (為書), xi2根據(jù)積分區(qū)間的可加性的復(fù)合梯形求積公式為n 1nh yhTnf(Xi) f(x)f(a) 2% f(Xk) f(b),2k 斗2kd然后計(jì)算可得答案三變量說明a：存放區(qū)間下限b:存放區(qū)間上限fx:存放被積分函數(shù)f X = X2 X3h：存放節(jié)點(diǎn)步長n：存放復(fù)合梯形公式的節(jié)點(diǎn)等分次數(shù) s:存放弧長四源程序代碼#include"stdio.h" #include"math.h"main ()int n=8,k;double a=0,b=0.6; double x,s;double h=(