00--第一章-復(fù)數(shù)與復(fù)平面解析

1、 Department of MathematicsJinan Univ. 2012暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系 高凌云二0一二年二月至二0一二年七月復(fù)變函數(shù)起源簡(jiǎn)介n數(shù)學(xué)從產(chǎn)生、有發(fā)展到現(xiàn)在, 已成為分支眾多的學(xué)科了, 復(fù)變函數(shù)是其中一個(gè)非常重要的分支。以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù), 而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù), 復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù), 因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論, 簡(jiǎn)稱函數(shù)論。n我們知道, 在解實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)時(shí),如果判別式b2- 4ac0)M0)的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合 z| |z|M

2、且滿足且滿足zM 包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)3、復(fù)球面與無(wú)窮大: 在點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y,u)的三維空間中，把 xOy面看作是 z 平面。考慮球面S： 取定球面上一點(diǎn)N(0,0,1)稱為球極。 我們可以建立一個(gè)復(fù)平面C到S-N之間的一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)（球極射影）：iyxzuyx , 12221uiyxiyxz球極射影: 我們稱上面的映射為球極射影：1|2zzzx1|2zzzy1|1|22zzuuxy) 1 , 0 , 0(N) 1, 0 , 0(SO)0 ,(yxA) , , ( uyxA 1、(x,y,0), (x,y,u), (0,0,1)三點(diǎn)共線 2、x:y:-1=x:y:u-1;

3、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn): 對(duì)應(yīng)于球極射影為N，我們引入一個(gè)新的非正常復(fù)數(shù) 稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 稱 為擴(kuò)充復(fù)平面，記為 。CCuxy) 1 , 0 , 0(N) 1, 0 , 0(SO)0 ,(yxA) , , ( uyxA 關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，我們規(guī)定其實(shí)部、虛部、輻角無(wú)意義，模等于：它和有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為：|aa )0( aaa)(0 );0(0aaaa這些運(yùn)算無(wú)意義：. 0/0 ,/,0 , Department of Mathematics1 1 初步概念初步概念2 2 區(qū)域與約當(dāng)曲線區(qū)域與約當(dāng)曲線第二節(jié)第二節(jié) 復(fù)平面上的拓?fù)鋸?fù)平面上的拓?fù)? 基本概念: a的r鄰域定義: 以a為圓心,r為半徑的圓盤U(a,r

4、)定義為：，設(shè)), 0(,rCa,| |Czrazz以a為圓心， r為半徑的閉圓盤定義為：,| |Czrazz).,(raU記為：ar極限點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn):中有無(wú)窮個(gè)點(diǎn)，則稱a為E的極限點(diǎn)；若設(shè),CaCE,則稱a為E的內(nèi)點(diǎn)；EraUr),(, 0EraUr),(0，若對(duì)存在中既有屬于E的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱a為的E邊界點(diǎn)；集E的全部邊界點(diǎn)所組成的集合稱為E的邊界，記為EraUr),(,0.E閉包、孤立點(diǎn)、開(kāi)集、閉集:稱為D 的閉包，記為若對(duì)存在一個(gè)r0，使得EE.E則稱a為的E孤立點(diǎn)（是邊界點(diǎn)但不是聚點(diǎn)）；開(kāi)集：所有點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的集合；閉集：或者沒(méi)有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于它； 1、任何集合

5、的閉包一定是閉集；2、如果存在r0 ，使得，),(aEraU則稱E是有界集，否則稱E是無(wú)界集；3、復(fù)平面上的有界閉集稱為緊集。), 0(rUE 例1、圓盤U(a,r)是有界開(kāi)集；閉圓盤是有界閉集；例2、集合z|z-a|=r是以為a心，r為半徑的圓周，它是圓盤U(a,r)和閉圓盤的邊界。例3、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸是無(wú)界集，復(fù)平面是無(wú)界開(kāi)集。例4、集合E=z|0|z-a|r是去掉圓心的圓盤。圓心a邊界點(diǎn)，它是E邊界的孤立點(diǎn)，是集合E的聚點(diǎn)。2 區(qū)域、曲線: 復(fù)平面C上的集合D，如果滿足： （1）D是開(kāi)集； （2）D中任意兩點(diǎn)可以用有限條相銜接的線 段所構(gòu)成的折線連起來(lái)，而使這條折 線上的所有點(diǎn)完全屬

6、于D。 則稱D是一個(gè)區(qū)域。 結(jié)合前面的定義，可以定義有有界區(qū)域、無(wú)界 區(qū)域。連通性:性質(zhì)（2）我們稱為連通性，即區(qū)域是連通的 開(kāi)集。區(qū)域D內(nèi)及其邊界上全部點(diǎn)所組成的集稱為閉區(qū)域。 曲線:設(shè)已給如果Rez(t)和Imz(t)都是閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)，則稱這些點(diǎn)組成集合為一條連續(xù)曲線。如果對(duì)上任意不同兩點(diǎn)t及s，但不同時(shí)是端點(diǎn)，我們有:)(),(btatzz即是一條除端點(diǎn)外不自交的連續(xù)曲線，那么上述集合稱為一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線，或若爾當(dāng)曲線。若還有z(a)=z(b)，則稱為一條簡(jiǎn)單連續(xù)閉曲線，或若爾當(dāng)閉曲線。)()(sztz約當(dāng)（Jordan）定理:約當(dāng)定理：任意一條約當(dāng)閉曲線把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)沒(méi)

7、有公共點(diǎn)的區(qū)域：一個(gè)有界的稱為內(nèi)區(qū)域，一個(gè)無(wú)界的稱為外區(qū)域。內(nèi)區(qū)域光滑曲線:光滑曲線：如果Rez(t)和Imz(t)都在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在a,b上，其導(dǎo)函數(shù)恒不為零，則稱此曲線為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。區(qū)域的連通性: 設(shè)D是一個(gè)區(qū)域，在復(fù)平面C上，如果D內(nèi) 任何簡(jiǎn)單閉曲線所圍成的內(nèi)區(qū)域中每一點(diǎn) 都屬于D，則稱D是單連通區(qū)域; 否則稱D是多連通區(qū)域。例1:集合為半平面，它是一個(gè)單連通無(wú)界區(qū)域，其邊界為直線：0)1 ()1 ( |ziziz0)1 ()1 (zizi0 yx例2、集合 為一個(gè)垂直帶形，它是一個(gè)單連通無(wú)界區(qū)域，其邊界為兩條直線：3Re2|zz

8、2Rez3Rez例3、集合 為一角形，它是一個(gè)單連通無(wú)界區(qū)域，其邊界為半射線：3)arg(2|izz2)arg(iz3)arg(iz例4、集合: 為一個(gè)圓環(huán)，它是一個(gè)多連通有界區(qū)域其邊界為圓：3|2|izz2|iz3|iz例例5 5求下列方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡為為距離距離表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn)方程方程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓方程圓方程22)2( ziz

9、.22距離相等的點(diǎn)的軌跡距離相等的點(diǎn)的軌跡和和表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn) i. 22段的垂直平分線段的垂直平分線的線的線和和連接點(diǎn)連接點(diǎn)故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲線方程為所求曲線方程為例例2 2解解 滿足下列條件的點(diǎn)集是什么滿足下列條件的點(diǎn)集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?, 3Im)1( z是一條平行于實(shí)軸的直線是一條平行于實(shí)軸的直線, -3-2-1123

10、x123456y不是區(qū)域不是區(qū)域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直線不包括直線為左界的半平面為左界的半平面以以單連通域單連通域., 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圓盤的去心圓盤為半徑為半徑為圓心為圓心以以i 是多連通域是多連通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端點(diǎn)不包括端點(diǎn)的半射線的半射線斜率為斜率為為端點(diǎn)為端點(diǎn)以以不是區(qū)域不是區(qū)域.,4arg0)5( iziz , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx, 0)1( 22 yx因?yàn)橐驗(yàn)?, 12, 01, 02 2222yxxyx