優(yōu)化上機(jī)指導(dǎo)(Matlab優(yōu)化工具箱)

1、 優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)及有限元分析上機(jī)指導(dǎo)書(shū)v2012上機(jī)指導(dǎo)書(shū)適用專業(yè): 機(jī)械工程 課程代碼: 8201581 / 6015589 編寫單位: 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 編 寫 人: 張曉洪 審 核 人: 審 批 人: 目 錄 實(shí)驗(yàn)一 Matlab基礎(chǔ)訓(xùn)練與優(yōu)化編程 2實(shí)驗(yàn)1.1 Matlab基本操作與運(yùn)算實(shí)驗(yàn)1.2 Matlab程序設(shè)計(jì)與函數(shù)實(shí)驗(yàn)1.3 一維搜索方法編程實(shí)驗(yàn)1.4 共軛梯度法和Powell法無(wú)約束優(yōu)化方法編程實(shí)驗(yàn)1.5 復(fù)合形法約束優(yōu)化方法編程實(shí)驗(yàn)二 Matlab優(yōu)化工具箱優(yōu)化實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2.1 單變量函數(shù)最小值問(wèn)題（一維問(wèn)題） 3實(shí)驗(yàn)2.2 線性方程組的應(yīng)用 5實(shí)驗(yàn)2.3 無(wú)約束規(guī)劃

2、的計(jì)算方法 7實(shí)驗(yàn)2.4 約束非線性規(guī)劃計(jì)算方法 8實(shí)驗(yàn)2.5 綜合實(shí)驗(yàn) 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì) 10主要參考文獻(xiàn) 15實(shí)驗(yàn)一 Matlab基礎(chǔ)訓(xùn)練與優(yōu)化編程參見(jiàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)2.1 單變量函數(shù)最小值問(wèn)題（一維問(wèn)題）一、上機(jī)目的：1、掌握一維搜索方法的基本概念、算法等知識(shí)點(diǎn)； 2、熟悉Matlab軟件環(huán)境及有關(guān)語(yǔ)句和函數(shù)的使用方法。二、原理和方法：函數(shù)fminbnd是用來(lái)尋找單變量函數(shù)在固定區(qū)間內(nèi)的最小值點(diǎn)及最小值。MATLAB各工具箱的每個(gè)函數(shù)，包括優(yōu)化工具箱函數(shù)，都有多種不同的調(diào)用格式。其調(diào)用格式可使用在線幫助系統(tǒng)查詢。函數(shù)fminbnd最常用的調(diào)用格式為：x, fval = fminbnd(

3、fun, x1, x2)%返回函數(shù)fun在區(qū)間x1<x<x2上的最小值點(diǎn)x和對(duì)應(yīng)的最小值fval，fun為目標(biāo)函數(shù)的文件名句柄或目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式字符串。三、上機(jī)內(nèi)容與步驟：1、熟悉MATLAB軟件環(huán)境，了解用戶界面、掌握幫助系統(tǒng)使用等（重點(diǎn)）。2、如求解函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間0, 2p內(nèi)的最小值及最小值點(diǎn)，使用如下命令即可：>> x, fval = fminbnd(sin, 0, 2*pi)%符號(hào)“”表明目標(biāo)函數(shù)為MATLAB自定義的正弦函數(shù)sin.m。x = 4.7124 %最小值點(diǎn)賦值給x。fval = -1.0000 %最小值賦值給fval。3、如果目標(biāo)

4、函數(shù)并不是MATLAB自定義的函數(shù)，需要首先定義一個(gè)函數(shù)M文件，以該文件的名稱來(lái)代替上述命令行中的“sin”部分。如希望求出在0，1內(nèi)的最小值及最小值點(diǎn)，首先編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件opt1.m，如下：function f = myfun(x)%編寫函數(shù)M文件時(shí)，上句代碼中的“myfun”并不一定與文件名相同。f = (x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x) 然后調(diào)用fminbnd函數(shù)，在命令窗口中輸入：>> x, fval=fminbnd(opt1, 0, 1) x = 0.5223fval = 0.3974%注意此處使用“opt1”而不是“myfun”。4、如果目標(biāo)函數(shù)

5、的表達(dá)式較為簡(jiǎn)單，也可以使用表達(dá)式的字符串而不必編寫目標(biāo)函數(shù)。如上例也可以使用x, fval=fminbnd('(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x)',0,1)實(shí)現(xiàn)。5、目標(biāo)函數(shù)也可表示成內(nèi)聯(lián)函數(shù)，如： >>f = inline('sin(x)+3'); x = fminbnd(f,2,5);顯示結(jié)果：x = 4.7124注：在MATLAB軟件中，function為關(guān)鍵字，%為注釋符號(hào)，>>為命令窗口中的提示符。實(shí)驗(yàn)2.2 線性方程組的應(yīng)用一、上機(jī)目的1、了解線性規(guī)劃問(wèn)題及可行解、最優(yōu)解的概念 ； 2、掌握Matlab軟件

6、關(guān)于求解線性規(guī)劃的語(yǔ)句和方法。二、原理和方法在工程實(shí)踐中，很多重要的實(shí)際問(wèn)題都是線性的（至少能夠用線性函數(shù)很好的近似表示），所以我們一般把這些問(wèn)題化為線性的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行分析，通常將目標(biāo)函數(shù)和約束都是線性表達(dá)式的規(guī)劃問(wèn)題稱為線性規(guī)劃。其一般形式是： 矩陣形式表示為：線性規(guī)劃的可行解是滿足約束條件的解；線性規(guī)劃的最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的可行解。一般求解線性規(guī)劃的常用方法是單純形法和改進(jìn)的單純形法，這類方法的基本思路是先求得一個(gè)可行解，檢驗(yàn)是否為最優(yōu)解；若不是，可用迭代的方法找到另一個(gè)更優(yōu)的可行解，經(jīng)過(guò)有限次迭代后，可以找到可行解中的最優(yōu)解或者判定無(wú)最優(yōu)解。三、上機(jī)內(nèi)容與步驟在Matl

7、ab優(yōu)化工具箱中，linprog函數(shù)是使用單純形法求解下述線性規(guī)劃問(wèn)題的函數(shù)。命令格式為：其中：A為不等式約束條件矩陣，c、b分別為目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量和不等式約束條件中最右邊的數(shù)值向量；也可設(shè)置解向量的上界vlb和下界vub，即解向量必須滿足vlb<=x<=vub；還可預(yù)先設(shè)置初始解向量x0。如沒(méi)有不等式約束，而只有等式約束條件時(shí)，A= ,b= ;aeq與beq分別為等式約束矩陣；輸出的結(jié)果：x表示最優(yōu)解向量；fval表示最優(yōu)值。某一線性規(guī)劃問(wèn)題，如下： 考慮到linprog函數(shù)只解決形式如下的線性規(guī)劃。所以先要將線性規(guī)劃變換為如下形式：建立M文件如下（如以文件名optest保存）

8、：c = -3;1;1;A = 1 -2 1; 4 -1 -2;b = 11;-3;aeq = 2 0 -1;beq = -1;vlb = 0;0;0;x,fval = linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb) 則在命令窗口中輸入：optest，可得到計(jì)算結(jié)果：x1 = 4,x2 = 1,x3 = 9，fval = -2。實(shí)驗(yàn)2.3 無(wú)約束規(guī)劃計(jì)算方法一、上機(jī)目的1、了解無(wú)約束規(guī)劃問(wèn)題的求解原理與方法 ； 2、會(huì)用Matlab軟件求解無(wú)約束規(guī)劃問(wèn)題。 二、原理和方法無(wú)約束規(guī)劃問(wèn)題的解法一般按目標(biāo)函數(shù)的形式分為兩大類：一類是一元函數(shù)的一維搜索法，如黃金分割法、插值法等；另一

9、類是求解多元函數(shù)的下降迭代法。三、上機(jī)內(nèi)容與步驟在Matlab軟件中，求解無(wú)約束規(guī)劃的常用命令是： x=fminunc(fun, x0) 其中，fun函數(shù)應(yīng)預(yù)先定義到M文件中。 問(wèn)題如下：初始點(diǎn)x0 = -2 4首先建立函數(shù)文件fun02.mfunction f = fun02(x)f = 3/2*x(1)2 + 1/2*x(2)2 - x(1)*x(2) - 2*x(1)在命令窗口輸入： x0=-2;4x=fminunc(fun02,x0)計(jì)算結(jié)果：極小值為-1，最優(yōu)點(diǎn)：x1=1,x2=1。實(shí)驗(yàn)2.4 約束非線性規(guī)劃計(jì)算方法 一、上機(jī)目的1、了解約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的求解原理與方法； 2、會(huì)用

10、Matlab軟件求解約束非線性規(guī)劃問(wèn)題。 二、原理和方法對(duì)于約束非線性規(guī)劃，隨著目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同，解法也不同，一般來(lái)說(shuō)，有三類方法：（1）、將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題的求解方法；（2）、用線性規(guī)劃來(lái)逼近非線性規(guī)劃；（3）、直接搜索的各種方法。三、上機(jī)內(nèi)容與步驟約束非線性規(guī)劃的一般形式為：其中，f(x)為多元實(shí)值函數(shù)；g(x)為向量函數(shù)，并且f(x)，g(x)中至少有一個(gè)函數(shù)是非線性函數(shù)的（否則成為線性規(guī)劃問(wèn)題）。在Matlab優(yōu)化工具箱中，fmincon函數(shù)是用SQP算法來(lái)解決一般的約束非線性規(guī)劃的函數(shù)，其命令格式為：x = fmincon(fun, x0, A, b)x = fmin

11、con(fun, x0, A, b, Aeq, beq)x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub)x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb,ub, nonlcon)對(duì)于如下約束非線性規(guī)劃問(wèn)題：建立一個(gè)M文件 fun05.m，代碼如下：function y=fun05(x)y=(x(1)-1)2+(x(2)-2)2+(x(3)-3)2+(x(4)-4)2;存儲(chǔ)為fun05.m文件.在命令窗口輸入：x0 = 1;1;1;1; A= 1 1 1 1;3 3 2 1;B = 5;10; Aeq = ; Beq = ;L

12、b = 0;0;0;0;x, g = fmincon(fun05,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb)計(jì)算結(jié)果為：X = 0.0000 0.6667 1.6665 2.6668g = 6.3333實(shí)驗(yàn)2.5 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)一、上機(jī)目的和任務(wù) 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是一門實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，通過(guò)實(shí)際上機(jī)計(jì)算達(dá)到以下目的：1）加深對(duì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的基本理論和算法的理解。 2）培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立編制計(jì)算機(jī)程序的能力。3）掌握常用優(yōu)化方法程序的使用方法。4）培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法解決工程實(shí)際問(wèn)題的能力。二、上機(jī)內(nèi)容某二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器（如圖1所示），高速級(jí)輸入功率 =6.2KW，轉(zhuǎn)速=1450r/mi

13、n;總傳動(dòng)比i=31.5，齒輪寬度系數(shù)=0.4，齒輪材料和熱處理：大齒輪45號(hào)鋼正火187207HB，小齒輪45號(hào)鋼調(diào)質(zhì)228255HB，工作壽命10年以上。要求按照總中心距 最小來(lái)確定齒輪傳動(dòng)方案。圖1 傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖三、上機(jī)步驟該優(yōu)化問(wèn)題屬于約束非線性規(guī)劃問(wèn)題，采用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行求解。求約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的MATLAB函數(shù)是fmincon，約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型表示為： minf(X) s.t. AX b(線性不等式約束) AeqX = beq（線性等式約束）C（X）0（非線性不等式約束） Ceq（X）=0（非線性等式約束） Lb X Ub（邊界約束）函數(shù)fmincon的使

14、用格式為： x, fval, exitflag, output, hession =fmincon( fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, NIc, options，P1, P2, )其中，輸出參數(shù)有：x是返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；fval是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值；exitflag是返回算法的終止標(biāo)志；output是返回優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；grad是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的梯度；hession是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的hession矩陣值。輸入?yún)?shù)有： fun是調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名； x0是初始點(diǎn)； 線性不等式約束約束條件的系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量

15、b； 線性等式約束條件的系數(shù)矩陣Aeq和常數(shù)向量beq；設(shè)計(jì)變量X的下界向量Lb和上界向量Ub；NIc是定義非線性約束條件的函數(shù)名；options是設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)；P1,P2等是傳遞給fun的附加參數(shù)。參數(shù)A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, options如果沒(méi)有定義，可用空矩陣符號(hào)“ ”代替。(一) 建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型將涉及總中心距齒輪傳動(dòng)方案的6個(gè)獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量 X = 式中，分別為高速級(jí)和低速級(jí)齒輪副的模數(shù)；分別為高速級(jí)和低速級(jí)小齒輪齒數(shù)；為高速級(jí)傳動(dòng)比； 為齒輪副螺旋角。減速器總中心距最小的目標(biāo)函數(shù)為： 性能約束包括：齒輪接觸強(qiáng)度條件、齒根彎曲強(qiáng)度條件、高速級(jí)大齒

16、輪與低速軸不干涉條件等。根據(jù)齒輪材料與熱處理規(guī)范，得到齒面許用接觸應(yīng)力=518.75MPa，齒根許用彎曲應(yīng)力=153.5MPa和=141.6MPa.。根據(jù)傳遞功率和轉(zhuǎn)速，在齒輪強(qiáng)度計(jì)算條件中代入有關(guān)數(shù)據(jù)：高速軸轉(zhuǎn)矩 =41690Nmm，中間軸轉(zhuǎn)矩 =40440 Nmm，高速軸和低速軸載荷系數(shù) =1.225和 =1.204。邊界約束包括：根據(jù)傳遞功率和轉(zhuǎn)速估計(jì)高速級(jí)和低速級(jí)齒輪副模數(shù)的范圍；綜合考慮傳動(dòng)平穩(wěn)、軸向力不能太大、軸齒輪的分度圓直徑不能太小與兩級(jí)傳動(dòng)的大齒輪浸油深度大致相近等因素，估計(jì)兩級(jí)傳動(dòng)大齒輪的齒數(shù)范圍、高速級(jí)傳動(dòng)比范圍和齒輪副螺旋角范圍等。因此，建立如下17個(gè)不等式約束條件：

17、（高速級(jí)齒輪接觸強(qiáng)度條件） （低速級(jí)齒輪接觸強(qiáng)度條件） （高速級(jí)大齒輪彎曲強(qiáng)度條件）（低速級(jí)大齒輪彎曲強(qiáng)度條件） （大齒輪與軸不干涉條件） （高速級(jí)齒輪副模數(shù)的下限） （高速級(jí)齒輪副模數(shù)的上限） （低速級(jí)齒輪副模數(shù)的下限） （低速級(jí)齒輪副模數(shù)的上限） （高速級(jí)小齒輪齒數(shù)的下限） （高速級(jí)小齒輪齒數(shù)的上限） (低速級(jí)齒輪數(shù)的下限) （低速級(jí)齒輪齒數(shù)的上限) (高速級(jí)傳動(dòng)比的下限) (高速級(jí)傳動(dòng)比的上限) (齒輪副螺旋角的下限) （齒輪副螺旋角的上限)（二）編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件（主程序設(shè)計(jì)、目標(biāo)函數(shù)子程序設(shè)計(jì)、非線性約束子程序設(shè)計(jì)）% 兩級(jí)斜齒輪傳動(dòng)中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)% 1-減速器中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)主程序

18、% 設(shè)計(jì)變量的初始值x0=2；4；18；20；6.4；10；% 設(shè)計(jì)變量的下界與上界lb=2；3.5；14；16；5.8；8；ub=5；6；22；22；7；15；% 使用多維約束優(yōu)化命令fmincon（調(diào)用目標(biāo)函數(shù)jsqyh_f和非線性約束函數(shù)jsqyh_g）% 無(wú)線性不等式約束，設(shè)計(jì)變量的系數(shù)矩陣a=和常數(shù)項(xiàng)向量b=不需定義% 沒(méi)有等式約束，則參數(shù)：系數(shù)矩陣Aeq=和常數(shù)項(xiàng)向量beq=不需定義x，fn= fmincon（jsqyh_f,x0, , , , ,lb,ub,jsqyh_g）;disp * 兩級(jí)斜齒輪傳動(dòng)中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解 *fprintf(1， 高速級(jí)齒輪副模數(shù) Mn1 = %

19、3.4f mmn,x(1) fprintf(1， 低速級(jí)齒輪副模數(shù) Mn2 = %3.4f mmn,x(2)fprintf(1， 高速級(jí)小齒輪齒數(shù) z1 = %3.4f n,x(3) fprintf(1， 低速級(jí)小齒輪齒數(shù) z3 = %3.4f n, x(4)fprintf(1， 高速級(jí)齒輪副傳動(dòng)比 i1 = %3.4f n,x(5)fprintf(1， 齒輪副螺旋角 beta = %3.4f 度n,x(6)fprintf(1， 減速器總中心距 a12 = %3.4f mmn,fn)% 調(diào)用多維約束化非線性約束函數(shù)（jsqyh_g）計(jì)算最優(yōu)點(diǎn)x*的性能約束函數(shù)值g=jsqyh_g(x);dis

20、p - 最優(yōu)點(diǎn)的性能約束函數(shù)值 -fprintf(1， 高速級(jí)齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值 g1= %3.4fn,g(1)fprintf(1， 低速級(jí)齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值 g2= %3.4fn,g(2)fprintf(1， 高速級(jí)大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值 g3= %3.4fn,g(3)fprintf(1， 低速級(jí)大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值 g4= %3.4fn,g(4)fprintf(1， 大齒輪齒頂與軸不干涉幾何約束函數(shù)值 g5= %3.4fn,g(5)% 2-兩級(jí)斜齒輪減速器總中心距的目標(biāo)函數(shù)（jsqyh_f）function f=jsqyh_f(x);hd=pi/180;a

21、1=x(1)*x(3)*(1+x(5);a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5);cb=2*cos(x(6)*hd);f=(a1+a2)/cb;% 3-兩級(jí)斜齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的非線性不等式的約束函數(shù)（jsqyh_g）function g,ceq=jsqyh_g(x);hd=pi/180;g(1)=cos(x(6)*hd)3-3.079e-6*x(1)3*x(3)3*x(5);g(2)=x(5)2*cos(x(6)*hd)3-1.701e-4*x(2)3*x(4)3;g(3)=cos(x(6)*hd)2-9.939e-5*(1+x(5)*x(1)3*x(3)2;g(4)=x(5)2.*cos(x(6)*hd)2-1.076e-4*(31.5+x(5)*x(2)3*x(4)2;g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(2)*x(3)-x(2)*x(4)*(31.5+x(5)ceq=;M文件的運(yùn)行結(jié)果為： * 兩級(jí)斜齒輪傳動(dòng)中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解 * 高速級(jí)齒輪副模數(shù) Mn1 = 2.0471 mm 低速級(jí)齒輪副模數(shù) Mn2 = 3.6059