優(yōu)化上機指導(dǎo)(Matlab優(yōu)化工具箱)

1、 優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計及有限元分析上機指導(dǎo)書v2012上機指導(dǎo)書適用專業(yè): 機械工程 課程代碼: 8201581 / 6015589 編寫單位: 機械工程與自動化學(xué)院 編 寫 人: 張曉洪 審 核 人: 審 批 人: 目 錄 實驗一 Matlab基礎(chǔ)訓(xùn)練與優(yōu)化編程 2實驗1.1 Matlab基本操作與運算實驗1.2 Matlab程序設(shè)計與函數(shù)實驗1.3 一維搜索方法編程實驗1.4 共軛梯度法和Powell法無約束優(yōu)化方法編程實驗1.5 復(fù)合形法約束優(yōu)化方法編程實驗二 Matlab優(yōu)化工具箱優(yōu)化實驗實驗2.1 單變量函數(shù)最小值問題（一維問題） 3實驗2.2 線性方程組的應(yīng)用 5實驗2.3 無約束規(guī)劃

2、的計算方法 7實驗2.4 約束非線性規(guī)劃計算方法 8實驗2.5 綜合實驗 齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計 10主要參考文獻 15實驗一 Matlab基礎(chǔ)訓(xùn)練與優(yōu)化編程參見實驗報告實驗2.1 單變量函數(shù)最小值問題（一維問題）一、上機目的：1、掌握一維搜索方法的基本概念、算法等知識點； 2、熟悉Matlab軟件環(huán)境及有關(guān)語句和函數(shù)的使用方法。二、原理和方法：函數(shù)fminbnd是用來尋找單變量函數(shù)在固定區(qū)間內(nèi)的最小值點及最小值。MATLAB各工具箱的每個函數(shù)，包括優(yōu)化工具箱函數(shù)，都有多種不同的調(diào)用格式。其調(diào)用格式可使用在線幫助系統(tǒng)查詢。函數(shù)fminbnd最常用的調(diào)用格式為：x, fval = fminbnd(

3、fun, x1, x2)%返回函數(shù)fun在區(qū)間x1<x<x2上的最小值點x和對應(yīng)的最小值fval，fun為目標(biāo)函數(shù)的文件名句柄或目標(biāo)函數(shù)的表達式字符串。三、上機內(nèi)容與步驟：1、熟悉MATLAB軟件環(huán)境，了解用戶界面、掌握幫助系統(tǒng)使用等（重點）。2、如求解函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間0, 2p內(nèi)的最小值及最小值點，使用如下命令即可：>> x, fval = fminbnd(sin, 0, 2*pi)%符號“”表明目標(biāo)函數(shù)為MATLAB自定義的正弦函數(shù)sin.m。x = 4.7124 %最小值點賦值給x。fval = -1.0000 %最小值賦值給fval。3、如果目標(biāo)

4、函數(shù)并不是MATLAB自定義的函數(shù)，需要首先定義一個函數(shù)M文件，以該文件的名稱來代替上述命令行中的“sin”部分。如希望求出在0，1內(nèi)的最小值及最小值點，首先編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件opt1.m，如下：function f = myfun(x)%編寫函數(shù)M文件時，上句代碼中的“myfun”并不一定與文件名相同。f = (x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x) 然后調(diào)用fminbnd函數(shù)，在命令窗口中輸入：>> x, fval=fminbnd(opt1, 0, 1) x = 0.5223fval = 0.3974%注意此處使用“opt1”而不是“myfun”。4、如果目標(biāo)函數(shù)

5、的表達式較為簡單，也可以使用表達式的字符串而不必編寫目標(biāo)函數(shù)。如上例也可以使用x, fval=fminbnd('(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x)',0,1)實現(xiàn)。5、目標(biāo)函數(shù)也可表示成內(nèi)聯(lián)函數(shù)，如： >>f = inline('sin(x)+3'); x = fminbnd(f,2,5);顯示結(jié)果：x = 4.7124注：在MATLAB軟件中，function為關(guān)鍵字，%為注釋符號，>>為命令窗口中的提示符。實驗2.2 線性方程組的應(yīng)用一、上機目的1、了解線性規(guī)劃問題及可行解、最優(yōu)解的概念 ； 2、掌握Matlab軟件

6、關(guān)于求解線性規(guī)劃的語句和方法。二、原理和方法在工程實踐中，很多重要的實際問題都是線性的（至少能夠用線性函數(shù)很好的近似表示），所以我們一般把這些問題化為線性的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進行分析，通常將目標(biāo)函數(shù)和約束都是線性表達式的規(guī)劃問題稱為線性規(guī)劃。其一般形式是： 矩陣形式表示為：線性規(guī)劃的可行解是滿足約束條件的解；線性規(guī)劃的最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)達到最優(yōu)的可行解。一般求解線性規(guī)劃的常用方法是單純形法和改進的單純形法，這類方法的基本思路是先求得一個可行解，檢驗是否為最優(yōu)解；若不是，可用迭代的方法找到另一個更優(yōu)的可行解，經(jīng)過有限次迭代后，可以找到可行解中的最優(yōu)解或者判定無最優(yōu)解。三、上機內(nèi)容與步驟在Matl

7、ab優(yōu)化工具箱中，linprog函數(shù)是使用單純形法求解下述線性規(guī)劃問題的函數(shù)。命令格式為：其中：A為不等式約束條件矩陣，c、b分別為目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量和不等式約束條件中最右邊的數(shù)值向量；也可設(shè)置解向量的上界vlb和下界vub，即解向量必須滿足vlb<=x<=vub；還可預(yù)先設(shè)置初始解向量x0。如沒有不等式約束，而只有等式約束條件時，A= ,b= ;aeq與beq分別為等式約束矩陣；輸出的結(jié)果：x表示最優(yōu)解向量；fval表示最優(yōu)值。某一線性規(guī)劃問題，如下： 考慮到linprog函數(shù)只解決形式如下的線性規(guī)劃。所以先要將線性規(guī)劃變換為如下形式：建立M文件如下（如以文件名optest保存）

8、：c = -3;1;1;A = 1 -2 1; 4 -1 -2;b = 11;-3;aeq = 2 0 -1;beq = -1;vlb = 0;0;0;x,fval = linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb) 則在命令窗口中輸入：optest，可得到計算結(jié)果：x1 = 4,x2 = 1,x3 = 9，fval = -2。實驗2.3 無約束規(guī)劃計算方法一、上機目的1、了解無約束規(guī)劃問題的求解原理與方法 ； 2、會用Matlab軟件求解無約束規(guī)劃問題。 二、原理和方法無約束規(guī)劃問題的解法一般按目標(biāo)函數(shù)的形式分為兩大類：一類是一元函數(shù)的一維搜索法，如黃金分割法、插值法等；另一

9、類是求解多元函數(shù)的下降迭代法。三、上機內(nèi)容與步驟在Matlab軟件中，求解無約束規(guī)劃的常用命令是： x=fminunc(fun, x0) 其中，fun函數(shù)應(yīng)預(yù)先定義到M文件中。 問題如下：初始點x0 = -2 4首先建立函數(shù)文件fun02.mfunction f = fun02(x)f = 3/2*x(1)2 + 1/2*x(2)2 - x(1)*x(2) - 2*x(1)在命令窗口輸入： x0=-2;4x=fminunc(fun02,x0)計算結(jié)果：極小值為-1，最優(yōu)點：x1=1,x2=1。實驗2.4 約束非線性規(guī)劃計算方法 一、上機目的1、了解約束非線性規(guī)劃問題的求解原理與方法； 2、會用

10、Matlab軟件求解約束非線性規(guī)劃問題。 二、原理和方法對于約束非線性規(guī)劃，隨著目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同，解法也不同，一般來說，有三類方法：（1）、將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的求解方法；（2）、用線性規(guī)劃來逼近非線性規(guī)劃；（3）、直接搜索的各種方法。三、上機內(nèi)容與步驟約束非線性規(guī)劃的一般形式為：其中，f(x)為多元實值函數(shù)；g(x)為向量函數(shù)，并且f(x)，g(x)中至少有一個函數(shù)是非線性函數(shù)的（否則成為線性規(guī)劃問題）。在Matlab優(yōu)化工具箱中，fmincon函數(shù)是用SQP算法來解決一般的約束非線性規(guī)劃的函數(shù)，其命令格式為：x = fmincon(fun, x0, A, b)x = fmin

11、con(fun, x0, A, b, Aeq, beq)x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub)x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb,ub, nonlcon)對于如下約束非線性規(guī)劃問題：建立一個M文件 fun05.m，代碼如下：function y=fun05(x)y=(x(1)-1)2+(x(2)-2)2+(x(3)-3)2+(x(4)-4)2;存儲為fun05.m文件.在命令窗口輸入：x0 = 1;1;1;1; A= 1 1 1 1;3 3 2 1;B = 5;10; Aeq = ; Beq = ;L

12、b = 0;0;0;0;x, g = fmincon(fun05,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb)計算結(jié)果為：X = 0.0000 0.6667 1.6665 2.6668g = 6.3333實驗2.5 齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計一、上機目的和任務(wù) 機械優(yōu)化設(shè)計是一門實踐性很強的課程，通過實際上機計算達到以下目的：1）加深對機械優(yōu)化設(shè)計方法的基本理論和算法的理解。 2）培養(yǎng)學(xué)生獨立編制計算機程序的能力。3）掌握常用優(yōu)化方法程序的使用方法。4）培養(yǎng)學(xué)生靈活運用優(yōu)化設(shè)計方法解決工程實際問題的能力。二、上機內(nèi)容某二級斜齒圓柱齒輪減速器（如圖1所示），高速級輸入功率 =6.2KW，轉(zhuǎn)速=1450r/mi

13、n;總傳動比i=31.5，齒輪寬度系數(shù)=0.4，齒輪材料和熱處理：大齒輪45號鋼正火187207HB，小齒輪45號鋼調(diào)質(zhì)228255HB，工作壽命10年以上。要求按照總中心距 最小來確定齒輪傳動方案。圖1 傳動系統(tǒng)簡圖三、上機步驟該優(yōu)化問題屬于約束非線性規(guī)劃問題，采用MATLAB優(yōu)化工具箱進行求解。求約束非線性規(guī)劃問題的MATLAB函數(shù)是fmincon，約束非線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型表示為： minf(X) s.t. AX b(線性不等式約束) AeqX = beq（線性等式約束）C（X）0（非線性不等式約束） Ceq（X）=0（非線性等式約束） Lb X Ub（邊界約束）函數(shù)fmincon的使

14、用格式為： x, fval, exitflag, output, hession =fmincon( fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, NIc, options，P1, P2, )其中，輸出參數(shù)有：x是返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；fval是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點的函數(shù)值；exitflag是返回算法的終止標(biāo)志；output是返回優(yōu)化算法信息的一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；grad是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點的梯度；hession是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點的hession矩陣值。輸入?yún)?shù)有： fun是調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名； x0是初始點； 線性不等式約束約束條件的系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量

15、b； 線性等式約束條件的系數(shù)矩陣Aeq和常數(shù)向量beq；設(shè)計變量X的下界向量Lb和上界向量Ub；NIc是定義非線性約束條件的函數(shù)名；options是設(shè)置優(yōu)化選項參數(shù)；P1,P2等是傳遞給fun的附加參數(shù)。參數(shù)A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, options如果沒有定義，可用空矩陣符號“ ”代替。(一) 建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型將涉及總中心距齒輪傳動方案的6個獨立參數(shù)作為設(shè)計變量 X = 式中，分別為高速級和低速級齒輪副的模數(shù)；分別為高速級和低速級小齒輪齒數(shù)；為高速級傳動比； 為齒輪副螺旋角。減速器總中心距最小的目標(biāo)函數(shù)為： 性能約束包括：齒輪接觸強度條件、齒根彎曲強度條件、高速級大齒

16、輪與低速軸不干涉條件等。根據(jù)齒輪材料與熱處理規(guī)范，得到齒面許用接觸應(yīng)力=518.75MPa，齒根許用彎曲應(yīng)力=153.5MPa和=141.6MPa.。根據(jù)傳遞功率和轉(zhuǎn)速，在齒輪強度計算條件中代入有關(guān)數(shù)據(jù)：高速軸轉(zhuǎn)矩 =41690Nmm，中間軸轉(zhuǎn)矩 =40440 Nmm，高速軸和低速軸載荷系數(shù) =1.225和 =1.204。邊界約束包括：根據(jù)傳遞功率和轉(zhuǎn)速估計高速級和低速級齒輪副模數(shù)的范圍；綜合考慮傳動平穩(wěn)、軸向力不能太大、軸齒輪的分度圓直徑不能太小與兩級傳動的大齒輪浸油深度大致相近等因素，估計兩級傳動大齒輪的齒數(shù)范圍、高速級傳動比范圍和齒輪副螺旋角范圍等。因此，建立如下17個不等式約束條件：

17、（高速級齒輪接觸強度條件） （低速級齒輪接觸強度條件） （高速級大齒輪彎曲強度條件）（低速級大齒輪彎曲強度條件） （大齒輪與軸不干涉條件） （高速級齒輪副模數(shù)的下限） （高速級齒輪副模數(shù)的上限） （低速級齒輪副模數(shù)的下限） （低速級齒輪副模數(shù)的上限） （高速級小齒輪齒數(shù)的下限） （高速級小齒輪齒數(shù)的上限） (低速級齒輪數(shù)的下限) （低速級齒輪齒數(shù)的上限) (高速級傳動比的下限) (高速級傳動比的上限) (齒輪副螺旋角的下限) （齒輪副螺旋角的上限)（二）編制優(yōu)化設(shè)計的M文件（主程序設(shè)計、目標(biāo)函數(shù)子程序設(shè)計、非線性約束子程序設(shè)計）% 兩級斜齒輪傳動中心距優(yōu)化設(shè)計% 1-減速器中心距優(yōu)化設(shè)計主程序

18、% 設(shè)計變量的初始值x0=2；4；18；20；6.4；10；% 設(shè)計變量的下界與上界lb=2；3.5；14；16；5.8；8；ub=5；6；22；22；7；15；% 使用多維約束優(yōu)化命令fmincon（調(diào)用目標(biāo)函數(shù)jsqyh_f和非線性約束函數(shù)jsqyh_g）% 無線性不等式約束，設(shè)計變量的系數(shù)矩陣a=和常數(shù)項向量b=不需定義% 沒有等式約束，則參數(shù)：系數(shù)矩陣Aeq=和常數(shù)項向量beq=不需定義x，fn= fmincon（jsqyh_f,x0, , , , ,lb,ub,jsqyh_g）;disp * 兩級斜齒輪傳動中心距優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)解 *fprintf(1， 高速級齒輪副模數(shù) Mn1 = %

19、3.4f mmn,x(1) fprintf(1， 低速級齒輪副模數(shù) Mn2 = %3.4f mmn,x(2)fprintf(1， 高速級小齒輪齒數(shù) z1 = %3.4f n,x(3) fprintf(1， 低速級小齒輪齒數(shù) z3 = %3.4f n, x(4)fprintf(1， 高速級齒輪副傳動比 i1 = %3.4f n,x(5)fprintf(1， 齒輪副螺旋角 beta = %3.4f 度n,x(6)fprintf(1， 減速器總中心距 a12 = %3.4f mmn,fn)% 調(diào)用多維約束化非線性約束函數(shù)（jsqyh_g）計算最優(yōu)點x*的性能約束函數(shù)值g=jsqyh_g(x);dis

20、p - 最優(yōu)點的性能約束函數(shù)值 -fprintf(1， 高速級齒輪副接觸疲勞強度約束函數(shù)值 g1= %3.4fn,g(1)fprintf(1， 低速級齒輪副接觸疲勞強度約束函數(shù)值 g2= %3.4fn,g(2)fprintf(1， 高速級大齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 g3= %3.4fn,g(3)fprintf(1， 低速級大齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 g4= %3.4fn,g(4)fprintf(1， 大齒輪齒頂與軸不干涉幾何約束函數(shù)值 g5= %3.4fn,g(5)% 2-兩級斜齒輪減速器總中心距的目標(biāo)函數(shù)（jsqyh_f）function f=jsqyh_f(x);hd=pi/180;a

21、1=x(1)*x(3)*(1+x(5);a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5);cb=2*cos(x(6)*hd);f=(a1+a2)/cb;% 3-兩級斜齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計的非線性不等式的約束函數(shù)（jsqyh_g）function g,ceq=jsqyh_g(x);hd=pi/180;g(1)=cos(x(6)*hd)3-3.079e-6*x(1)3*x(3)3*x(5);g(2)=x(5)2*cos(x(6)*hd)3-1.701e-4*x(2)3*x(4)3;g(3)=cos(x(6)*hd)2-9.939e-5*(1+x(5)*x(1)3*x(3)2;g(4)=x(5)2.*cos(x(6)*hd)2-1.076e-4*(31.5+x(5)*x(2)3*x(4)2;g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(2)*x(3)-x(2)*x(4)*(31.5+x(5)ceq=;M文件的運行結(jié)果為： * 兩級斜齒輪傳動中心距優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)解 * 高速級齒輪副模數(shù) Mn1 = 2.0471 mm 低速級齒輪副模數(shù) Mn2 = 3.6059