有趣的數(shù)學游戲--三階幻方

1、三三 階階 幻幻 方方風子編輯12021/8/6第一課 基礎部分22021/8/6幻方起源：幻方起源：大約兩千多年前西漢時代，流傳夏禹治水時，黃河中躍出一匹神馬，馬背上馱著一幅圖，人稱河圖；又洛水河中浮出一只神龜，龜背上有一張象征吉祥的圖案稱為洛書.他們發(fā)現(xiàn)，這個圖案每一列，每一行及對角線，加起來的數(shù)字和都是一樣的。 中國不僅擁有幻方的發(fā)明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。公元13世紀的數(shù)學家楊輝已經(jīng)編制出310階幻方?；梅降陌l(fā)展：幻方的發(fā)展：經(jīng)過國內外幻方數(shù)學家和愛好者的研究，幻方得到了快速的發(fā)展。從最初的三階幻方發(fā)展到現(xiàn)在的高階幻方，由和幻方發(fā)展到乘幻方。對平面幻方的構造，分為三種情況：

2、N為奇數(shù)、N為4的倍數(shù)、N為其它偶數(shù)(4n+2的形式）。清末民初數(shù)學家壽孝天32021/8/6三階幻方：三階幻方：就是將9個自然數(shù)填在33（三行三列）的正方形內，使每一行、每一列以及每一條對角線上的三個數(shù)的和都相等。例1：（p.45例1）將1-9這9個數(shù)填入上圖，使它成為一個三階幻方。動動手：p.45隨堂142021/8/6幻和與中央數(shù)：幻和與中央數(shù)：一個幻方的幻和=3中央數(shù)=總和3例1：（p.46例3）動動手：p.46隨堂352021/8/6已知三個數(shù)填寫幻方已知三個數(shù)填寫幻方例1：（p.47例4）動動手：p.47隨堂462021/8/6ABCDEFGHI對九宮格每個格子進行編號為A-I，設

3、S=A+B+C+D+E+F+G+H+I，即九個數(shù)的和。定義：幻和=A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G，即每條橫、豎、斜線上的三個數(shù)的和相等，為幻和。3幻和=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）=S，即幻和是總和的1/3。D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G，即4幻和=A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=3幻和+3E所以，3E=幻和，即E是幻和的1/3，是總和的1/9S=（A+B+C）+（A+E+I）+（A+D+G）=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）所以，2A=F+H同理可得：2G=B+F，2I=

4、B+D，2C=D+H72021/8/6ABCDEF8GH例：在下圖空格上填上互不相等,且不大于15的自然數(shù)，使每行、每例、對角線上的和為30。71112151058913為方便表述，對每個空格編號為A-H。1、根據(jù)中心數(shù)是幻和的1/3，可得到E=102、根據(jù)幻和為30，可知C=30-10-8=123、根據(jù)A+H=B+G=D+F=20,且每個數(shù)不大于15，則最小為5。符合條件的數(shù)對還有四對：5,15、6,14、7,13、9,11，只有一堆為偶數(shù)。4、選6、14放入任何格對中，因為偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，但剩下的數(shù)都是奇數(shù)，所以不符合。5、選擇包含最大數(shù)的一對5，15，如果15與12在同一行或列，

5、則這行或列的另一個數(shù)為3，小于5。所以，15不能與12在同一行或列，因此放在D格。對應的F格則為5。6、剩下的空格就很容易了。6121210481482021/8/6?19132倍角格=不相鄰的兩個邊格之和？=（13+19）2=16三條直線上的數(shù)字的和=幻方所有數(shù)字之和+2個？-（19+13）幻和=一條直線上的三個數(shù)字之和所有數(shù)字之和=3幻和所以：三條直線上的數(shù)字的和=幻方所有數(shù)字之和則：？=（13+19）292021/8/61030103030103010305305530530原先每條邊的和為：30+10+10=50新的填法每條邊的和為：50+15=65總和減少，每邊和增加，則應該把大數(shù)移

6、到公共角的位置則有：30+10+30=7070-65=5所以，四個10各減5，合計正好減了20.102021/8/6223026223026223026223026302622262230三組22，26，30，為等差數(shù)列，所以先把中間數(shù)放中間；以中間格為中心，畫四條直線；在一條對角線上放與中間格相同的數(shù)，另一條對角線上放兩個不同的數(shù)；剩下四個位置只要保證同一行或列上沒有重復的數(shù)字。112021/8/63105864729利用角格是不相鄰的兩個邊數(shù)和的一半，可以得到右下角方格的數(shù)字；其次利用紅線和相等關系，知道下中間的數(shù)為2；利用藍線和相等，得到中右格數(shù)為4。利用幻和=3中間數(shù)3幻和=所有數(shù)，可

7、知中間那個數(shù)為6。這樣其他幾個利用幻和可以得到了。122021/8/6101589111314712本題與上體方法一樣，自己嘗試下132021/8/6501204102551002先在兩條藍線上確定左下角的數(shù)：1102=5，在兩條線段上的公共格不用考慮；再找有兩個確定數(shù)的線段，通過未知角畫出另外的線段，如圖紅線，則可知左中格為：2105=4，右上格為：2101=20。利用一條對角線上的三個數(shù)的積51020=1000，可以得到其它幾個數(shù)。142021/8/62025608064016040320101280三個數(shù)相乘的幻方的屬性：1、等差數(shù)列或者三組等差數(shù)列：找一個包含10的等差數(shù)列（如圖）或者

8、：1、2、4、5、10、20、25、50、1002、角格的平方=不相鄰的邊格之積210052510420150152021/8/61294375376189按三條紅線排列三組等差或等比數(shù)列，再按紅數(shù)字位置調整968357241942753861上下對調上下對調左右對調左右對調162021/8/6第二課 拓展部分172021/8/6平面幻方的構造一平面幻方的構造一奇幻方奇幻方：N為奇數(shù)時將1放在第一行中間一列；從2開始直到nn止各數(shù)依次按下列規(guī)則存放：按45方向行走，如向右上每一個數(shù)存放的行比前一個數(shù)的行數(shù)減1，列數(shù)加1如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數(shù)同

9、樣加1;如果按上面規(guī)則確定的位置上已有數(shù)，或上一個數(shù)是第1行第n列時，則把下一個數(shù)放在上一個數(shù)的下面。雙偶幻方：雙偶幻方：N為4的倍數(shù)。采用對稱元素交換法。1)把數(shù)1到nn按從上至下，從左到右順序填入矩陣2)將方陣的所有44子方陣中的兩對角線上位置的數(shù)關于方陣中心作對稱交換，即a(i,j）與a(n+1-i,n+1-j）交換，所有其它位置上的數(shù)不變。（或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可）*以上方法只適合于n=4時*182021/8/6平面幻方的構造二平面幻方的構造二單偶幻方：單偶幻方：N為4m+2的偶數(shù)1）把大方陣分解為4個奇數(shù)(2m+1階）子方陣。按上述奇數(shù)階幻方給分解的4個子方陣對應賦值

10、。由小到大依次為上左子陣（i），下右子（i+v），上右子陣（i+2v)，下左子陣（i+3v），即4個子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4四個子矩陣由小到大排列方式為2）此時各列和與幻和相同，對角線、上三行與下三行之和不符合幻和要求。因此，只需在同列間交換數(shù)字。上述交換使行列及對角線上元素之和相等。29420272275325232161824192629363111181334323016141233283515101729312027227323252321613524192629 3641118133453016141233 288151017192021/8/6MerziracMer

11、zirac法生成奇階幻方：法生成奇階幻方：在第一行居中的方格內放1，依次向右上方填入2、3、4，如果右上方已有數(shù)字，則向下移一格繼續(xù)填寫。loubereloubere法生成奇階幻方：法生成奇階幻方：在居中的方格向上一格內放1，依次向右上方填入2、3、4，如果右上方已有數(shù)字，則向上移二格繼續(xù)填寫。1724181523571416461320221012192131118252923619215101811422175132194122581611247203202021/8/63.橫補角，橫補角，以中間行為基準，將突出的數(shù)字補回本行所缺的方格內，4，5補到1的前，10補到6前，16補到20后，21，22補到25后。從而重新得到一個n*n方格。錯位補角錯位補角1.對于所有的奇階幻方，1-n*n從小到大填入n*n的方格中。以n=5時，1-25為例。2.橫錯位，橫錯位，將方格橫向錯位，每行錯位數(shù)為n-行數(shù)，即第一行橫向移動n-1位，第二行橫向移動n-2位.直到形成一個左低右高的樓梯。212021/8/6小結：錯位補角可以先橫后豎，也可以先豎后橫。樓梯可以左低右高，也可以左高右低。只要保證橫豎做出的樓梯方向相同，就能