線性代數(shù)二次型講義

1、2021/8/61通識(shí)教育平臺(tái)數(shù)學(xué)課程系列教材通識(shí)教育平臺(tái)數(shù)學(xué)課程系列教材2021/8/622021/8/631 1了解二次型及其矩陣表示。了解二次型及其矩陣表示。2 2會(huì)用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。知道化會(huì)用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。知道化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法。二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法。3 3知道慣性定律、二次型的秩、二次型的正定知道慣性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判別法。性及其判別法。本章學(xué)習(xí)要求：本章學(xué)習(xí)要求：對(duì)于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級(jí)來(lái)表述；對(duì)于方法，運(yùn)算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會(huì)”）

2、三級(jí)來(lái)表述。2021/8/64 二次型就是二次多項(xiàng)式二次型就是二次多項(xiàng)式. 在解析幾何中討論的有心二在解析幾何中討論的有心二次曲線次曲線, 當(dāng)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)當(dāng)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí), 其一般方程是其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是方程的左端就是x,y的一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式的一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式. 為了便于為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì), 通過(guò)基變換通過(guò)基變換(坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換), 把把方程方程(1)化為不含化為不含x,y混合項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)方程混合項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)方程 ax2+cy2=f (2)在二次曲面的研究中也有類(lèi)似的問(wèn)題在二次曲面的研究中也有

3、類(lèi)似的問(wèn)題.2021/8/65考察：方程考察：方程172137210721322yxyx表示表示 x y 平面上一條怎樣的曲線？圖形如何？平面上一條怎樣的曲線？圖形如何？將將 x y 坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/4，即令，即令,2222,2222vuyvux則得此曲線在新的則得此曲線在新的 u v 坐標(biāo)系下的方程坐標(biāo)系下的方程. 19422vu2021/8/66上述問(wèn)題從幾何上看，就是通過(guò)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，消去式子上述問(wèn)題從幾何上看，就是通過(guò)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，消去式子中的交叉項(xiàng)，使之成為標(biāo)準(zhǔn)方程中的交叉項(xiàng)，使之成為標(biāo)準(zhǔn)方程.而其中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)所表示的線性變換是正交變換而其中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)所表示的線性變

4、換是正交變換. .綜上所述，從代數(shù)學(xué)的角度看，上述過(guò)程是通過(guò)正交變綜上所述，從代數(shù)學(xué)的角度看，上述過(guò)程是通過(guò)正交變換將一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式化為只含有平方項(xiàng)的二次多項(xiàng)換將一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式化為只含有平方項(xiàng)的二次多項(xiàng)式式.二次型就是二次齊次多項(xiàng)式二次型就是二次齊次多項(xiàng)式.2021/8/67定義定義第七章 二次型與二次曲面二次齊次多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz稱(chēng)為稱(chēng)為 其中其中aij 為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù). 取取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,從而從

5、而, , 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,2a23yz = a23yz + a32zy .f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z)+ z (a31x + a32y + a33z)2021/8/68第七章 二次型與二次曲面zayaxazayaxazayaxazyx333231232221131211),(zyxaaaaaaaaa

6、zyx ),(333231232221131211= XT AX .稱(chēng)稱(chēng) A 為二次型為二次型 f 的矩陣，它是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣的矩陣，它是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣.三元實(shí)二三元實(shí)二 次型次型 f三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)AX2021/8/69例 2第七章 二次型與二次曲面例 1. .26252 222fAxzyzxyzyxf并并用用矩矩陣陣形形式式表表示示的的矩矩陣陣寫(xiě)寫(xiě)出出A. 531321111 ),(zyxzyxf125113311上一頁(yè)2021/8/610例 2第七章 二次型與二次曲面上一頁(yè).42222yzxzxyyxzyxzyxf22122101211 ),(例 2若二次型若

7、二次型 f 的矩陣為的矩陣為22122101211A試寫(xiě)出試寫(xiě)出 f .2021/8/611例 2第七章 二次型與二次曲面練習(xí). .3243 222fAyzxyzyxf并并用用矩矩陣陣形形式式表表示示的的矩矩陣陣寫(xiě)寫(xiě)出出A.42302331011),(zyxzyxf一頁(yè)2021/8/612例 2第七章 二次型與二次曲面上一頁(yè).22232222xzxyzyxzyxzyxf302021211 ),(練習(xí)若二次型若二次型 f 的矩陣為的矩陣為302021211A試寫(xiě)出試寫(xiě)出 f .2021/8/613定義定義1 1第七章 二次型與二次曲面稱(chēng)稱(chēng) n 元實(shí)二次齊次式元實(shí)二次齊次

8、式nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxa為為 記記 aij = aji, 則則ninjjiijnxxaxxxf1121),()(1,njijiijxxa或或記記 X = ( x1, x2, , xn)T, A =( aij )n n , 則則f ( x1, x2, , xn) = X TAX ,其中其中 A 稱(chēng)為二次型的矩陣，稱(chēng)為二次型的矩陣，2021/8/614第七章 二次型與二次曲面 由于由于aij = aji , 所以所以 A T= A , A中中 aii 是是 xi2 的系數(shù)的系數(shù), aij 是交叉項(xiàng)是交叉項(xiàng) xixj

9、系數(shù)的一半系數(shù)的一半.注注: :n 元實(shí)二次型元實(shí)二次型 fn 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)定義定義2 2稱(chēng)只含平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)只含平方項(xiàng)的二次型 為為niiixf12n 元標(biāo)準(zhǔn)二次型元標(biāo)準(zhǔn)二次型 fn 階對(duì)角階對(duì)角 矩矩 陣陣一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)2021/8/615第七章 二次型與二次曲面二次型二次型 f = X TAX 經(jīng)過(guò)滿秩線性變換經(jīng)過(guò)滿秩線性變換 X = CY 后后還是二次型嗎還是二次型嗎?對(duì)于二次型對(duì)于二次型 f = X TAX ，作滿秩變換，作滿秩變換 X = CY ,則則 f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .而而 (C

10、TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,所以所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是關(guān)于新變量仍是關(guān)于新變量 Y 的二次型的二次型, 且二次型的矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣且二次型的矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣 B=C TAC .滿秩變換滿秩變換 X = CYf = X TAXF = Y TBY B = C TAC2021/8/616定義定義3 3第七章 二次型與二次曲面對(duì)于對(duì)于 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 和和 B ，若存在可逆矩，若存在可逆矩陣陣 P 使使P TAP = B則則，記作記作 A B因此，二次型經(jīng)滿秩線性變換后所得的新二次型，因此，二次型經(jīng)滿秩線性變換后所得的新二次型，其

11、矩陣與原二次型的矩陣是合同的其矩陣與原二次型的矩陣是合同的.上一頁(yè)合同矩陣的性質(zhì)：合同矩陣的性質(zhì)：.,)3(;)2(;) 1 (CACBBAABBAAAXTAXYTBY經(jīng)滿秩的線性變換經(jīng)滿秩的線性變換 X=PYAB左乘以左乘以PT且右乘以且右乘以P2021/8/617定義定義如果滿秩變換如果滿秩變換 X = CY 將二次型將二次型 f = X TAX 化成了標(biāo)準(zhǔn)二次型化成了標(biāo)準(zhǔn)二次型, niiiy12niiiy12 則則稱(chēng)稱(chēng) 的一個(gè)的一個(gè)為為 f = X TAX上一頁(yè)這樣的矩陣這樣的矩陣 C 是否存在？是否存在？定理定理1 1對(duì)任意的實(shí)二次型對(duì)任意的實(shí)二次型 f =XTAX, 一定存在滿秩一定

12、存在滿秩線性變換線性變換 X=CY, 使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.推論推論 1 1任意給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣任意給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A, 一定存在可逆矩陣一定存在可逆矩陣 C, 使得使得 CTAC 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.2021/8/618定義定義設(shè)設(shè) 是是 n 維歐氏空間維歐氏空間 Rn 上的線性變換，若對(duì)上的線性變換，若對(duì)任意的任意的 X, Y Rn, 有有| (X) (Y ) | = | X Y | , 則稱(chēng)則稱(chēng) 為為 Rn 上的上的第七章 二次型與二次曲面定理定理設(shè)設(shè) 是歐氏空間是歐氏空間 Rn 上的線性變換，則下列四上的線性變換，則下列四個(gè)條件等價(jià)個(gè)條件等價(jià)(互為充分必要條件互為

13、充分必要條件) .(1) 為正交變換為正交變換 .(2) 把把 Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基 .(3) | ( )| = | |, Rn ( 保持向量長(zhǎng)度不變保持向量長(zhǎng)度不變 ) .(4) ( (X ), (Y ) = ( X, Y ) ( 保內(nèi)積不變保內(nèi)積不變 ) .2021/8/619定義定義正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下所對(duì)應(yīng)的矩陣正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下所對(duì)應(yīng)的矩陣稱(chēng)為稱(chēng)為第七章 二次型與二次曲面定理定理 A 是正交矩陣是正交矩陣 ATA=E ( 或或AAT = E ) .正交矩陣有如下性質(zhì)：正交矩陣有如下性質(zhì)：定理定理 定理定理 設(shè)設(shè) A 是正交矩陣是正交矩陣 ，

14、則，則(1) | A | = 1 .(2) A 1 =AT .設(shè)設(shè) A 是正交矩陣是正交矩陣 A 的列的列(行行)向量組向量組為相互正交的單位向量組為相互正交的單位向量組.2021/8/620定理定理 1 1實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣的特征值都是實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣的特征值都是實(shí)數(shù) . .證證設(shè)設(shè) 是實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣 A 的特征值，的特征值，X 是對(duì)應(yīng)的特征是對(duì)應(yīng)的特征向量，即向量，即. 0,XXAX 邊邊同同時(shí)時(shí)取取共共軛軛，則則得得到到的的向向量量，將將方方程程兩兩數(shù)數(shù)后后的的所所有有分分量量換換成成共共軛軛復(fù)復(fù)表表示示將將向向量量用用XX. 0,XXXA 將上式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)置，由將上式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)置，由 A

15、 的對(duì)稱(chēng)性，得的對(duì)稱(chēng)性，得.TTXAX 而而,)(XXXXAXXTTT 因此，因此，., 0)(為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)即即 XXT2021/8/621定理定理 2 2實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣的不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣的不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交必正交. .證證 設(shè)設(shè) 1,2 是實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，的兩個(gè)不同的特征值，X1, X2 是對(duì)應(yīng)的特征向量，即是對(duì)應(yīng)的特征向量，即.,222111XAXXAX 因?yàn)橐驗(yàn)?A 的對(duì)稱(chēng)性，得的對(duì)稱(chēng)性，得21212AXXXXTT 21)(XAXT211)(XXT ,211XXT 從而，從而，, 0)(2121XXT 因此，因此，., 021

16、21正交正交即即XXXXT2021/8/622定理定理 3 3 若若 是是 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣 A 的的 k 重特征值，則重特征值，則 A 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 的線性無(wú)關(guān)特征向量的最大個(gè)數(shù)均為的線性無(wú)關(guān)特征向量的最大個(gè)數(shù)均為 k .實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣相似于一實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣相似于一 個(gè)對(duì)角陣嗎？個(gè)對(duì)角陣嗎？回答是肯定的！回答是肯定的！單擊單擊 此處此處 可查閱進(jìn)一步內(nèi)容可查閱進(jìn)一步內(nèi)容定理定理 4 4對(duì)于任一個(gè)對(duì)于任一個(gè)n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣 A, 必存在一個(gè)正必存在一個(gè)正交方陣交方陣 P 使使 PTAP 為對(duì)角形，且為對(duì)角形，且 PTAP 的對(duì)角線的對(duì)角線上的元素均為上的元素均為 A 的的 n

17、個(gè)特征值個(gè)特征值( 重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi)重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi)), P 的列向量為相應(yīng)于的列向量為相應(yīng)于 n 個(gè)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征個(gè)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量向量.2021/8/623證證設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣 A 的特征值為的特征值為n 21（重根計(jì)算在內(nèi)），則由定理（重根計(jì)算在內(nèi)），則由定理3 知，知，.21的的特特征征向向量量個(gè)個(gè)正正交交向向量量仍仍是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于所所得得的的量量，將將它它們們正正交交化化，個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的實(shí)實(shí)特特征征向向恰恰有有，重重特特征征值值的的某某個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)于于 kkkAkiii且且化化特特征征向向量量個(gè)個(gè)兩兩兩兩正正交交的的單單位位將將其其單單位位化化得得到到的的特特征

18、征向向量量個(gè)個(gè)兩兩兩兩正正交交的的個(gè)個(gè)特特征征值值，可可得得到到因因此此，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于,.21nnnA )., 2 , 1(niAiii 為為正正交交矩矩陣陣，即即則則令令QQn),(21 .1 QQT2021/8/624記記n 21),(21nAAAAQ ),(2211nn nn 2121),(.QA從而，從而，.個(gè)個(gè)特特征征值值的的為為為為對(duì)對(duì)角角陣陣，且且對(duì)對(duì)角角元元恰恰nAAQQT2021/8/625定理定理 5 5任意一個(gè)任意一個(gè) n 元實(shí)二次型元實(shí)二次型AXXxxxfTn),(21,11ninjjiijxxa都存在正交變換都存在正交變換 X = QY 使得使得其中其中 1, 2,

19、, n 就是就是 A 的全部特征值的全部特征值, Q 的的 n 個(gè)列向量是個(gè)列向量是 A 的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值 1 , 2, , n 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.,2222211nnTyyyAXXf 2021/8/626第七章 二次型與二次曲面例 1求正交矩陣求正交矩陣 Q 使使 QTAQ 成對(duì)角形矩陣，并求此成對(duì)角形矩陣，并求此對(duì)角形矩陣對(duì)角形矩陣.320230002A其中其中 320230002|AE= ( 2)( 2 6 + 5 ) = 0 ,A 的特征值為的特征值為 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5. 1 = 1 時(shí)時(shí), 由由 (E A)X = 0, 即即, 0

20、220220001321xxx上一頁(yè)2021/8/627第七章 二次型與二次曲面解得對(duì)應(yīng)的特征向量為解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 1 = (0, 1, 1)T; 2 = 2 時(shí)時(shí), 由由 (2E A)X = 0, 解得對(duì)應(yīng)的特征向量為解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 2 = (1, 0, 0)T ; 3 = 5 時(shí)時(shí), 由由 (5E A)X = 0, 解得對(duì)應(yīng)的特征向量為解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 3 = (0, 1, 1)T.上一頁(yè)將將 1, 2, 3 單位化，得單位化，得,)21,21, 0(01T ,)0, 0, 1 (02T .)21,21, 0(03T 故所求的正交變換矩陣為故所求的正交變換矩陣為2021/8

21、/6282121Q =021211000對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值1 1對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值2 2對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值5 5且且.500020001Q TAQ =第七章 二次型與二次曲面上一頁(yè)2021/8/629第七章 二次型與二次曲面1. 寫(xiě)出二次型寫(xiě)出二次型 f 的矩陣的矩陣 A, 并求并求 A 的全部特征值的全部特征值 1, 2, , n ( 重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi)重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi) ) . 2. 求出各特征值的特征向量；若求出各特征值的特征向量；若 i 是是 k 重根時(shí)，重根時(shí)，找出找出 i 的的 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并用施特正個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并用施特正交化方法將它們正交化交化方法將

22、它們正交化.步驟：步驟：3. 將所得的將所得的 n 個(gè)正交向量再單位化，得個(gè)正交向量再單位化，得 n 個(gè)兩兩正交個(gè)兩兩正交的單位向量的單位向量 P1, P2, , Pn , 記記 P = P1, P2, , Pn .則則 X = PY 為所求正交變換，為所求正交變換，f 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為.2222211nnyyyf 2021/8/630例 1求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換 X=QY 化二次型化二次型434232413121222222xxxxxxxxxxxxf成標(biāo)準(zhǔn)形成標(biāo)準(zhǔn)形.二次型的矩陣二次型的矩陣,0111101111011110A 111111111111|EA).3() 1(3 A

23、的特征值是的特征值是 1 = 2 = 3 = 1, 4 = - -3.上一頁(yè)2021/8/631對(duì)于對(duì)于 4= -3,1111111111111111EA 從而可取特征向量從而可取特征向量 1= ( 1, 1, 0, 0)T , 2= ( 0, 0, 1, 1)T 和和 3 = ( 1, -1, 1, -1)T.上一頁(yè)對(duì)于對(duì)于 1 = 2 = 3 = 1, 0000000000001111通過(guò)求齊次線性方程組通過(guò)求齊次線性方程組 (A - -E)X=0, 得到其基礎(chǔ)解系得到其基礎(chǔ)解系并正交化并正交化: 3111131111311113EA 00001100101010012021/8/632從

24、而可取特征向量從而可取特征向量4 = ( 1, -1, -1, 1)T.將上述相互正交的特征向量單位化，得將上述相互正交的特征向量單位化，得,)0 , 0 ,21,21(1T ,)21,21, 0 , 0(2T ,)21,21,21,21(3T .)21,21,21,21(4T 則在正交變換則在正交變換432143212121210212121021210212121021yyyyxxxx下，二次標(biāo)準(zhǔn)形為下，二次標(biāo)準(zhǔn)形為.324232221yyyyf2021/8/633第七章 二次型與二次曲面例 2求一個(gè)正交變換化二次型求一個(gè)正交變換化二次型32312123222184444xxxxxxxxx

25、f成標(biāo)準(zhǔn)形成標(biāo)準(zhǔn)形. .二次型的矩陣二次型的矩陣,442442221AA 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為442442221|EA).9(2A 的特征值是的特征值是 1 = 2 = 0, 3 = 9.上一頁(yè)2021/8/634第七章 二次型與二次曲面對(duì)于對(duì)于 1= 2 = 0,442442221EA000000221從而可取特征向量從而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T及與及與 p1 正交的另一特征向量正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.上一頁(yè)對(duì)于對(duì)于 3 = 9,542452228EA,000990542取特征向量取特征向量 p3 = (1, 2, 2)T.2021/8

26、/635第七章 二次型與二次曲面將上述相互正交的特征向量單位化，得將上述相互正交的特征向量單位化，得,)21,21, 0(1T ,)231,231,234(2T ,)32,32,31(3T 屬于特征屬于特征值值0屬于特征屬于特征值值9則存在正交變換則存在正交變換321321 32231213223121312340yyyxxx使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.923yf 上一頁(yè)2021/8/636練習(xí)第七章 二次型與二次曲面 已知二次型已知二次型)0(2332),(32232221321axaxxxxxxxf通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形23222152yyyf求參數(shù)求參數(shù)

27、a 及有所用的正交變換矩陣及有所用的正交變換矩陣.二次型二次型 f 的矩陣的矩陣特征方程為特征方程為= ( 2)( 2 6 + 9 a2) = 0 ,A 的特征值為的特征值為 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5 . 3030002 | aaAE,3030002aaA2021/8/637第七章 二次型與二次曲面將將 = 1 ( 或或 = 5 ) 代入特征方程，得代入特征方程，得a2 4 = 0, a = 2.因因 a 0, 故取故取 a = 2 .這時(shí)，這時(shí)，.320230002A 1 = 1 時(shí)時(shí), 由由 (E A)X = 0, 即即, 0220220001321xxx解得對(duì)應(yīng)的特征向量為

28、解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 1 = (0, 1, 1)T, 2 = 2 時(shí)時(shí), 由由 (2E A)X = 0 ,解得對(duì)應(yīng)的特征向量為解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 2 = (1, 0, 0)T,2021/8/638第七章 二次型與二次曲面 3 = 5時(shí)時(shí), 由由 (5E A)X = 0 ,解得對(duì)應(yīng)的特征向量為解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 3 = (0, 1, 1)T.將將 1, 2, 3 單位化，得單位化，得,)21,21, 0(01T,)0, 0, 1 (02T .)21,21, 0(03T故所求的正交變換矩陣為故所求的正交變換矩陣為2121T =021211000上一頁(yè)2021/8/639第七章 二次型與二次曲面

29、練習(xí)已知二次型已知二次型32312123222132166255),(xxxxxxcxxxxxxf的秩為的秩為 2, (1) 求參數(shù)求參數(shù) c 及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值.(2) 指出方程指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何種二次曲面表示何種二次曲面.(1)此二次型對(duì)應(yīng)矩陣為此二次型對(duì)應(yīng)矩陣為.33351315cA,30012035133351315ccA因因 r(A) = 2, 解得解得 c = 3.2021/8/640第七章 二次型與二次曲面這時(shí)，這時(shí)， 333351315| AE= ( 4)( 9),故所求特征值為故所求特征值為 = 0, =

30、4, = 9.(2) 由上述特征值可知二次型由上述特征值可知二次型 f 通過(guò)變換，可化通過(guò)變換，可化為標(biāo)準(zhǔn)形為為標(biāo)準(zhǔn)形為,942322yyf那么那么 f (x1, x2, x3) = 1 表示橢圓柱面表示橢圓柱面.2021/8/641設(shè)設(shè) X = (x, y, z ) T ，則三元二次型，則三元二次型 XTAX 可以看作空間向量可以看作空間向量的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中在標(biāo)準(zhǔn)基在標(biāo)準(zhǔn)基1，2，3下的坐標(biāo)就是下的坐標(biāo)就是 X .作滿秩線性變換作滿秩線性變換 X = CY ，所得新的二次型，所得新的二次型 YTCTACY 就是就是關(guān)于空間向量關(guān)于空間向量在另一組基在另一組基1，2，3下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)

31、 的的二二次次齊齊次次式式，且且TzyxY),(.),(),(321321C 1AXXT1YYT同一空間曲面在不同空間直角坐標(biāo)系中的方程同一空間曲面在不同空間直角坐標(biāo)系中的方程2021/8/642第七章 二次型與二次曲面當(dāng)當(dāng) n = 1 時(shí)，二次型時(shí)，二次型已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形. .21111)(xaxf)., 2 , 1,;(),(1121njiaaxxaxxxfjiijninjjiijn定理定理1 1對(duì)任意的實(shí)二次型對(duì)任意的實(shí)二次型 f =XTAX, 一定存在滿秩一定存在滿秩線性變換線性變換 X=CY, 使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì)n -1-1元的二次型，結(jié)論成立

32、元的二次型，結(jié)論成立. .考慮考慮n元二次型元二次型當(dāng)上面的二次型的矩陣當(dāng)上面的二次型的矩陣 A 為零矩陣時(shí)，結(jié)論成立為零矩陣時(shí)，結(jié)論成立. .下面假定下面假定 A 不為零矩陣不為零矩陣. .分兩種情形討論：分兩種情形討論：A 的主對(duì)角元中至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)的主對(duì)角元中至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)a1111不為零不為零. . 這時(shí)這時(shí)2021/8/643ninjjiijniiinjjjnxxaxxaxxaxaxxxf22211211211121),(ninjjiijnjjjnjjjxxaxaaxaaxa22221111221111111)()(,)(22221111111ninjjiijnj

33、jjxxbxaaxa其中，其中，ninjjiijnjjjninjjiijxxaxaaxxb2222111122)(令令 , ,222111111nnnjjjxyxyxaaxy或或 , ,222111111nnnjjjyxyxyaayx2021/8/644顯然上述變換為一個(gè)滿秩的線性變換，將原二次型化為顯然上述變換為一個(gè)滿秩的線性變換，將原二次型化為.),(22211121ninjjiijnyybyaxxxf由歸納假定，對(duì)于由歸納假定，對(duì)于n-1-1二次型二次型ninjjiijyyb22存在滿秩線性變換存在滿秩線性變換, ,33223333232323232222nnnnnnnnnnycycyc

34、zycycyczycycycz使之成為標(biāo)準(zhǔn)形，即使之成為標(biāo)準(zhǔn)形，即.223322222nnninjjiijzdzdzdyyb2021/8/645于是滿秩的線性變換于是滿秩的線性變換, , ,33222323222211nnnnnnnnycycyczycycyczyz將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，即將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，即.),(2222211121nnnzdzdzaxxxfA 的主對(duì)角元全為零的主對(duì)角元全為零. . 此時(shí)此時(shí) A 中至少有一個(gè)中至少有一個(gè)元素元素 aijij （i j）不為零，不妨設(shè)）不為零，不妨設(shè) a1212 0. 0.令令2021/8/646 , ,33212211nnyxyxyy

35、xyyx則它是一個(gè)滿秩線性變換，且使得原二次型化為則它是一個(gè)滿秩線性變換，且使得原二次型化為nnnnnnnxxaxxaxxaxxxf1, 111211221222),(nnnnnnyyayyyayyyya1, 12112121122)(2)(2nnnnyyayaya1, 122122112222這時(shí)，上式右端關(guān)于變量這時(shí)，上式右端關(guān)于變量nyyy,21的二次型中的二次型中21y的系數(shù)不為零，故可視為情形的系數(shù)不為零，故可視為情形 I I 處理處理. . 定理得證定理得證. .2021/8/647第七章 二次型與二次曲面例 1化二次型化二次型因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)形中只含有平方項(xiàng)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)形中只含有平方項(xiàng). 因

36、此逐個(gè)將變量配成因此逐個(gè)將變量配成一個(gè)完全平方的形式一個(gè)完全平方的形式. 令令, ,22333223211xyxxyxxxy.72232221yyyf32312123222112446xxxxxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所作的滿秩線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所作的滿秩線性變換.)(432121xxxxf232232)(4)(4xxxx322322126xxxx2321)22(xxx322322452xxxx2323233222232152)2(2)22(xxxxxxxxx2323223217)(2)22(xxxxxx則則2021/8/648所作的滿秩線性變換為所作的滿秩線性變換為., ,23332

37、2211yxyyxyyx練習(xí)用配方法化二次型用配方法化二次型.62262222為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形yzxzxyzyxf2021/8/649第七章 二次型與二次曲面因因 f 中含有中含有 x 的平方項(xiàng)的平方項(xiàng). 可將含可將含 x 的項(xiàng)歸到一起的項(xiàng)歸到一起, 配配成一個(gè)完全平方的形式成一個(gè)完全平方的形式. f = (x2 + 2xy + 2xz) + 2y2 + 6z2 + 6yz= ( x2 + 2xy + 2xz + 2yz +y2 + z2 ) + ( 2y2 y2) + (6z2 z2) + (6yz 2yz) = ( x + y + z)2 + y2 + 5z2 + 4yz = ( x +

38、y + z)2 + ( y2 + 4yz) + 5z2= ( x + y + z)2 + ( y + 2z )2 + z2 ,令令, 2 zzzyyzyxx.222zyxf則則2021/8/650第七章 二次型與二次曲面例 2用配方法化用配方法化 f = 2xy + 2xz 6yz 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形.令令zzyxyyxxzyzxyxf8422 22代代入入得得2222282)242(zzyyzzxx22226)44(2)(2zzzyyzx,6)2(2)(222zzyzx再令再令 zzzyyzxx 2 .622 222zyxf 從而從而上一頁(yè)2021/8/651練習(xí)用配方法化二次型用配方法化二次

39、型.2323121為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形xxxxxxf令令33212211yxyyxyyx 代代入入配配方方得得32223121yyyyy3yf 322223231yyyy49y23y )(23232231y2y21yy23y )()(2323232231y49y41y21yy23y )()(2021/8/652 33322311yzy21yzy23yz令令 33322311zyz21zyz23zy即即.232221z2zzf 就有就有所用變換矩陣為所用變換矩陣為 10011121110021102301100011011C2021/8/653第七章 二次型與二次曲面.21sPPPC設(shè)設(shè) A 為為

40、n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，由第一節(jié)定理階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，由第一節(jié)定理 1 知，存在可知，存在可逆矩陣逆矩陣 C, 使得使得 CTAC 為對(duì)角陣，即為對(duì)角陣，即而可逆矩陣可以表示成一系列初等矩陣的乘積，即而可逆矩陣可以表示成一系列初等矩陣的乘積，即因此，因此，).,(21nTddddiagDACC定理定理 1 1對(duì)任意實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)任意實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A, 存在一系列初等矩陣存在一系列初等矩陣 P1，P2, , Ps , 使使).,(212112nSTTTsddddiagDPPAPPPP2021/8/654由于由于,1221TTTTssCEPPPCPPEP或或,DACCT說(shuō)明，若矩陣說(shuō)明，若矩陣 A 經(jīng)過(guò)一系列合

41、同變換經(jīng)過(guò)一系列合同變換 ( 進(jìn)行初等列變換進(jìn)行初等列變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換 ) 化為對(duì)角矩陣化為對(duì)角矩陣 D, 則單位矩則單位矩陣陣 E 經(jīng)過(guò)相同的一系列列變換化為矩陣經(jīng)過(guò)相同的一系列列變換化為矩陣 C.這樣，我們就得到利用矩陣初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)這樣，我們就得到利用矩陣初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，即形的方法，即.或者，若矩陣或者，若矩陣 A 經(jīng)過(guò)一系列合同變換經(jīng)過(guò)一系列合同變換 ( 進(jìn)行初等列變換進(jìn)行初等列變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換后再進(jìn)行同樣的初等行變換 ) 化為對(duì)角矩陣化為對(duì)角矩陣 D, 則單位則單位矩陣矩陣 E 經(jīng)過(guò)相同的一系列行變換化為矩陣經(jīng)過(guò)

42、相同的一系列行變換化為矩陣 CT.CDEA)(TCDEA2021/8/655例 3.121221110,AACCCT為為對(duì)對(duì)角角陣陣，其其中中使使求求滿滿秩秩矩矩陣陣100010001121221110EA12101000110022313123231cccc12101000110002303123231rrrr111010031100073001312cc111010031100070001312rr2021/8/656故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，可使時(shí)，可使 111010031C.100070001ACCT2021/8/657例 4化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使二二次次型型求求滿滿秩秩線線性性變變換換3231

43、21232221822 ,xxxxxxxxxfCYX100141010411001111EA1010300113000011111312rrrr1010300113000010011312cccc10103011233000100132rr10103011236000100132cc2021/8/6582121023001123600010012123rr2121023001120600010012123cc所以，所以，,21210112001TC將將二二次次型型化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形且且滿滿秩秩線線性性變變換換CYX .236232221yyyf2021/8/659第七章 二次型與二次曲面但是

44、通過(guò)配方法將二次型但是通過(guò)配方法將二次型 f 化成標(biāo)準(zhǔn)形后化成標(biāo)準(zhǔn)形后, 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)矩陣的秩不變矩陣的秩不變, 即二次型即二次型 f 的秩就等于它的標(biāo)準(zhǔn)形的的秩就等于它的標(biāo)準(zhǔn)形的秩秩, 也就等于標(biāo)準(zhǔn)形中的項(xiàng)數(shù)也就等于標(biāo)準(zhǔn)形中的項(xiàng)數(shù).配方法不能保持配方法不能保持 R3 中向量的長(zhǎng)度中向量的長(zhǎng)度, 從而不能保持從而不能保持幾何圖形不變幾何圖形不變 .,2122yx也就是變成了也就是變成了xy平面上一個(gè)半徑為平面上一個(gè)半徑為.22的的圓圓比如比如, xy 面上圓周面上圓周 x2 + y2 =1, 在變換在變換 x = x + y , y = x y 下下, 變成變成 (x +y )2 + (x y )

45、2 =1. 即即上一頁(yè)2021/8/660比如比如, 第二節(jié)例題第二節(jié)例題2中所給的二次型中所給的二次型32312123222184444xxxxxxxxxf在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 而用配方法得到而用配方法得到.921yf ,)22(2321xxxf故經(jīng)過(guò)滿秩線性變換故經(jīng)過(guò)滿秩線性變換,2233223211xyxyxxxy可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.21yf 注：注：同一個(gè)二次型有不同形式的標(biāo)準(zhǔn)形，但標(biāo)準(zhǔn)形的秩同一個(gè)二次型有不同形式的標(biāo)準(zhǔn)形，但標(biāo)準(zhǔn)形的秩相同，即平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同，并且正系數(shù)的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)也相同，即平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同，并且正系數(shù)的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)也相同！

46、相同！這就是所謂的慣性定理這就是所謂的慣性定理.2021/8/661定義定義1 1第七章 二次型與二次曲面定理定理1 1一個(gè)一個(gè) n 元二次型元二次型 f = XTAX 經(jīng)過(guò)不同的滿秩線性經(jīng)過(guò)不同的滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) p 和和負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) q 都是由原二次型唯一確定的，且都是由原二次型唯一確定的，且),(Arqp其中其中 r ( A ) 為矩陣為矩陣 A 的秩的秩.稱(chēng)二次型稱(chēng)二次型 f 的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) p 為為二次型二次型 f 的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的正慣性指數(shù)，負(fù)平方

47、項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) q 為負(fù)為負(fù)慣性指數(shù)慣性指數(shù). 若二次型若二次型 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形為如下形式22122221rppzzzzzf則稱(chēng)為則稱(chēng)為，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng). 其中其中 r 為二次為二次型的秩型的秩.（規(guī)范形是唯一的規(guī)范形是唯一的）2021/8/662定義定義2 2第七章 二次型與二次曲面對(duì)于兩個(gè)對(duì)于兩個(gè) n 元二次型元二次型若它們的秩若它們的秩 r 相同，且正慣性指數(shù)相同，且正慣性指數(shù) p 相同（從而負(fù)相同（從而負(fù)慣性指數(shù)也相同），則這兩個(gè)二次型可以通過(guò)滿秩慣性指數(shù)也相同），則這兩個(gè)二次型可以通過(guò)滿秩線性變換相互轉(zhuǎn)化線性變換相互轉(zhuǎn)化. 也就可以歸為一類(lèi)也就可以歸為一類(lèi). 參數(shù)參數(shù) r 和和

48、 p 提供的分類(lèi)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)提供的分類(lèi)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).設(shè)秩為設(shè)秩為 r 的的 n 元二次型元二次型 f = X TAX 經(jīng)滿秩線經(jīng)滿秩線性變換化為規(guī)范形性變換化為規(guī)范形22122221rppzzzzzf則則(2) 若若 p = r 0 ;因因 A 是正定陣是正定陣, 存在可逆陣存在可逆陣 P , 使使PTAP = E X Rn , X 0, 而而 P 可逆，可逆，即即 A = (PT) 1P 1 , 故故 X TAX = X T ( P T ) - -1 P 1 X = X T ( P 1)T P 1 X= ( P 1 X )T ( P 1 X ) 0 .故故 PX 0, 同理同理 P 1X 0,

49、(1) A 是正定矩陣是正定矩陣 ;(2) 對(duì)任意的非零向量對(duì)任意的非零向量 X , 有有 X TAX 0 .(3) A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.正定二次型的規(guī)范形的矩陣顯然是個(gè)單位矩陣正定二次型的規(guī)范形的矩陣顯然是個(gè)單位矩陣. 即單即單位矩陣是正定矩陣位矩陣是正定矩陣. 那么，那么，2021/8/664第七章 二次型與二次曲面 若若A有一個(gè)非正的特征值，不妨設(shè)有一個(gè)非正的特征值，不妨設(shè) i 0, 存在正交陣存在正交陣P, 使得使得.21nTAPP (2) 對(duì)任意的非零向量對(duì)任意的非零向量 X , 有有 X TAX 0 ;(3) A 的所有特征值都大于零的所有特征值都大于零.

50、令令 X = P 1 , 其中其中 = ( 0, 0, , 0, 1, 0 , , 0 ), X TAX = ( P 1 ) T A P 1 則則 的第的第 i 個(gè)分量是個(gè)分量是 1，其余分量全為，其余分量全為 0. = i 0.= T (P 1) T AP 1 = T 矛盾矛盾!= T P AP T 上一頁(yè)2021/8/665第七章 二次型與二次曲面因?yàn)橐驗(yàn)?A 的全部特征值都大于的全部特征值都大于 0 ， 則則 A 所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的二次型的規(guī)范形的正慣性指數(shù)就是二次型的規(guī)范形的正慣性指數(shù)就是 n , 故故 A 是是正定矩陣正定矩陣.(1) A 是正定矩陣是正定矩陣(3) A 的所有特征值都

51、大于零的所有特征值都大于零.上一頁(yè)例 1.48455323121232221的的正正定定性性判判斷斷二二次次型型xxxxxxxxxff 的矩陣為的矩陣為524212425A,625,625, 1321 可可算算出出其其特特征征值值為為所以所以 f 是正定二次型是正定二次型.2021/8/666第七章 二次型與二次曲面(1) 設(shè)設(shè)定理定理 3 3 若二次型若二次型 XTAX 正定，則正定，則);, 2 , 1(0) 1 (niaAii的的主主對(duì)對(duì)角角元元. 0|)2(AA的的行行列列式式上一頁(yè).1,njijiijTxxaAXX由由二二次次型型的的正正定定性性有有的的向向量量，即即，其其余余分分量

52、量全全為為個(gè)個(gè)分分量量為為取取第第 . 0)0 , 0 , 1 , 0 , 0(01ii )., 2 , 1( 0niaAiiiTi (2) 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳正定，故存在可逆矩陣正定，故存在可逆矩陣C, 使使 CTAC=E, 即即.)()(1111CCCCATT. 0| |)( | 2111CCCAT從而，從而，2021/8/667第七章 二次型與二次曲面例 2.判判斷斷下下列列矩矩陣陣的的正正定定性性,03| ,01| ,0|DBA故故 A, B, C, D 不是不是 正定矩陣正定矩陣.上一頁(yè).100012021,113142321,1221,8442DCBA另外，另外，C 的對(duì)角元的對(duì)角元,

53、 0422a2021/8/668第七章 二次型與二次曲面定理定理 4 4 n 元二次型元二次型 f = XTAX 正定的充要條件是正定的充要條件是 A 的的各階順序主子式各階順序主子式 |A k | 0, k =1, 2, , n .其中其中kkkkkkkaaaaaaaaaA212222111211)det(,|11111aaA,|222112112aaaaA .|AAn ,上一頁(yè)2021/8/669例 2.445433221232221是是否否正正定定判判斷斷二二次次型型xxxxxxxf520242023Af 的矩陣為的矩陣為因?yàn)橐驗(yàn)?A 的順序主子式為的順序主子式為, 03|1A, 084223|2A, 028|A所以，二次型所以，二次型 f 是正定的是正定的.2021/8/670第七章 二次型與二次曲面練習(xí)f 的矩陣的矩陣. .232 222的的正正定定性性判判斷斷設(shè)設(shè)fxyzyxf,300021011A由于由于 A1 = 1 0, ,0112 2111 2A|A3 | = | A | = 3A2 = 3 0.故故 f 正定正定.上一頁(yè)2021/8/671定