人口模型預(yù)測(cè)——數(shù)學(xué)建模作業(yè)

1、上傳是為了分析數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，請(qǐng)粘貼復(fù)制的時(shí)候也多思考哈。為了更多的學(xué)子們。2014年數(shù)學(xué)建模論文第二套 題 目：人口增長(zhǎng)模型的確定專業(yè)、姓名： 土木135 提交日期： 2015/7/2晚上 題目：人口增長(zhǎng)模型的確定摘 要對(duì)美國(guó)人口數(shù)據(jù)的變化進(jìn)行擬合，并進(jìn)行未來(lái)人口預(yù)測(cè)，在第一個(gè)模型中，考慮到人口連續(xù)變化的規(guī)律，用微分方程的方法解出其數(shù)量隨時(shí)間變化的方程，用matlab里的cftool工具箱求出參數(shù)，即人口凈增長(zhǎng)率r=0.02222,對(duì)該模型與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，并計(jì)算了從1980年后每隔10年的人口數(shù)據(jù)，與實(shí)際對(duì)比，有很大出入。因此又改進(jìn)出更為符合實(shí)際的阻滯增長(zhǎng)模型，應(yīng)用微分方程里的分離變量法和積

2、分法解出其數(shù)量隨時(shí)間變化的方程，求出參數(shù)人口增長(zhǎng)率r=0.02858和人口所能容納最大值=258.9,與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比，擬合得很好，并預(yù)測(cè)出1980年后每隔10年的人口數(shù)據(jù)，與實(shí)際對(duì)比，比較符合。為了便于比較兩個(gè)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)的描述情況作對(duì)比，又做出了兩個(gè)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比圖，以及兩個(gè)模型的誤差圖。關(guān)鍵詞：人口預(yù)測(cè) 微分方程 馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型 阻滯增長(zhǎng)模型一、問(wèn)題重述 1790-1980年間美國(guó)每隔10年的人口記錄如下表所示。表1 人口記錄表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(´106)3.95.37.29.612.917.1

3、23.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(´106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5試用以上數(shù)據(jù)建立馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型，并對(duì)接下來(lái)的每隔十年預(yù)測(cè)五次人口數(shù)量，并查閱實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)分析。如果數(shù)據(jù)不相符，再對(duì)以上模型進(jìn)行改進(jìn)，尋找更為合適的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。二、問(wèn)題分析由于題目已經(jīng)說(shuō)明首先用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型來(lái)刻劃，列出人口增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)方程并求解，并進(jìn)行未來(lái)50年內(nèi)人口數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，但發(fā)現(xiàn)與實(shí)際數(shù)據(jù)有較大出入。考慮到實(shí)際的人口增

4、長(zhǎng)率是受實(shí)際情況制約的，因此，使人口增長(zhǎng)率為一變化的線性遞減函數(shù)，列出人口增長(zhǎng)微分方程，求出其方程解，并預(yù)測(cè)未來(lái)五十年內(nèi)人口實(shí)際數(shù)據(jù)。三、問(wèn)題假設(shè)1.假設(shè)所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠;2.各個(gè)年齡段的性別比例大致保持不變;3.人口變化不受外界大的因素的影響；4.馬爾薩斯人口模型（1）單位時(shí)間的人口增長(zhǎng)率r為常數(shù)；（2）將視為t的連續(xù)可微函數(shù)。5.改進(jìn)后的模型（阻滯增長(zhǎng)模型）(1)人口凈增長(zhǎng)率r為變化量。四、變量說(shuō)明 t時(shí)刻的人口數(shù)量 初始時(shí)刻的人口數(shù)量r 人口凈增長(zhǎng)率 環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量，即五、模型建立1馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型t=1790時(shí)的人口數(shù)為,在t到t+t這一時(shí)間間隔內(nèi)，人口的增長(zhǎng)為由于則

5、得到可建立含初始條件的微分方程=, =3.9（省略106）其解為2阻滯增長(zhǎng)模型假設(shè)人口增長(zhǎng)生長(zhǎng)率為人口的線性遞減函數(shù)，即。假設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能承受的最大人口容量為，顯然，當(dāng)時(shí)，。所以。因此有。于是建立下列微分方程， 。把上式化為。分離常數(shù)并積分得到：。六、模型求解1.馬爾薩斯模型求解參數(shù)估計(jì):r可以用實(shí)際數(shù)據(jù)的線性最小二乘法求解，對(duì)于，直接求解是比較麻煩的，因此在兩邊取對(duì)數(shù)，即，記，=a。則原方程化為(x) = 3.9*exp(r*(t-1790)。利用17901900年的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合， 得到r=0.02142.所以也能求出方程程序見(jiàn)附錄1。但本題還可以應(yīng)用matlab里的cftool工

6、具箱求參數(shù)，在命令行中輸入得到更精確的解：General model: f(x) = 3.9*exp(r*(t-1790)Coefficients (with 95% confidence bounds): r=0.02222(0.02163,0.02281) 得到如圖所示結(jié)果，其中藍(lán)線表示馬爾薩斯人口模型預(yù)測(cè)人口數(shù)據(jù)，正方形黑點(diǎn)表示實(shí)際人口數(shù)據(jù)。 圖1.馬爾薩斯人口模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)則每隔10年預(yù)測(cè)人口為:, ,，然而查閱相關(guān)年份美國(guó)實(shí)際人口數(shù)據(jù)，1990年為248.7百萬(wàn)，2000年為281.4百萬(wàn)，2010年為307.0百萬(wàn)。對(duì)于2020年和2030年實(shí)際還沒(méi)有統(tǒng)計(jì)，因?yàn)闆](méi)有發(fā)生，但通過(guò)

7、前三個(gè)數(shù)據(jù)就可以看出馬爾薩斯模型預(yù)測(cè)人口與實(shí)際有很大出入，所以必須對(duì)該模型做出改進(jìn)，得到更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)模型。2.阻滯增長(zhǎng)模型求解通過(guò)對(duì)求導(dǎo)得拐點(diǎn)在時(shí)，人口增長(zhǎng)速度最大。在問(wèn)題分析已經(jīng)得到該模型的表達(dá)式，運(yùn)用matlab里的cftool工具箱擬合求出參數(shù): General model: f(x) = a*3.9/(3.9+(a-3.9)*exp(-r*(t-1790)Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 285.9 (257.4, 314.4) r = 0.02858 (0.02763, 0.02953)因此。并得到如下圖，藍(lán)線表示組織增

8、長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，黑點(diǎn)表示實(shí)際人口數(shù)據(jù)。 圖2.組織增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際人口數(shù)據(jù)根據(jù)該方程預(yù)測(cè)得到230.92，242.51，252.02，259.67，265.71.其中1990，2000,2010年這三年的預(yù)測(cè)人口數(shù)斗魚(yú)實(shí)際人口數(shù)據(jù)很接近。但還是有一定的誤差，模型也存在一定的改進(jìn)程度才能更符合實(shí)際情況。但從圖形看，與實(shí)際擬合的很好。3.為了便于比較兩種模型與實(shí)際數(shù)據(jù)的直觀對(duì)比，編出程序附錄2把他們放在一個(gè)坐標(biāo)系里。 圖3.兩個(gè)模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)的對(duì)比圖形雖然直觀，但不具體，因此應(yīng)算出兩種模型與實(shí)際的誤差值比較，程序見(jiàn)附錄3.得到下圖。 圖4.馬爾薩斯模型與阻滯增長(zhǎng)模型誤差的比較從圖中可以看

9、出阻滯增長(zhǎng)模型的誤差更小。七、結(jié)果分析1.馬爾薩斯模型結(jié)果分析則每隔10年預(yù)測(cè)人口為:, ,，然而查閱相關(guān)年份美國(guó)實(shí)際人口數(shù)據(jù)，1990年為248.7百萬(wàn)，2000年為281.4百萬(wàn)，2010年為307.0百萬(wàn)。對(duì)于2020年和2030年實(shí)際還沒(méi)有統(tǒng)計(jì)，因?yàn)闆](méi)有發(fā)生，但通過(guò)前三個(gè)數(shù)據(jù)就可以看出馬爾薩斯模型預(yù)測(cè)人口與實(shí)際有很大出入，所以必須對(duì)該模型做出改進(jìn)，得到更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)模型。2.阻滯增長(zhǎng)模型結(jié)果分析根據(jù)該方程預(yù)測(cè)得到230.92，242.51，252.02，259.67，265.71.其中1990年實(shí)際人口為248.7百萬(wàn)，2000年為281.4百萬(wàn)，2010年為307.0百萬(wàn)，這三年的

10、預(yù)測(cè)人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)據(jù)很接近。但還是有一定的誤差，模型也存在一定的改進(jìn)程度才能更符合實(shí)際情況。但從圖形看，與實(shí)際擬合的比較好。八，模型的評(píng)價(jià)與推廣Malthus數(shù)學(xué)模型在短期內(nèi)具有較好的準(zhǔn)確度，簡(jiǎn)易易行，但是不能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)處人口長(zhǎng)期的發(fā)展趨勢(shì)，不具有預(yù)測(cè)人口長(zhǎng)期增長(zhǎng)數(shù)量的能力。為此，結(jié)合資料，考慮到一些實(shí)際因素，建立了能很好滴預(yù)測(cè)人口數(shù)量增長(zhǎng)的logstic模型。在人口增長(zhǎng)的整個(gè)過(guò)程中l(wèi)ogistic模型預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)與題中所給數(shù)據(jù)能很好地在誤差范圍內(nèi)，幾乎一致。但由于也存在誤差，因此也可以通過(guò)相關(guān)多項(xiàng)式擬合出其方程，也是可以的，比如二次多項(xiàng)式，但次數(shù)不一定越高越好，應(yīng)使模型所預(yù)的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)

11、更接近，才是比較好的模型。logistic模型在人口預(yù)測(cè)中，在醫(yī)療衛(wèi)生中可以預(yù)測(cè)尋找某一疾病的危險(xiǎn)因素（以及疾病的發(fā)展趨勢(shì)），預(yù)測(cè)自然界中種群數(shù)量的增長(zhǎng)等都發(fā)揮著巨大的作用。九、參考文獻(xiàn)1王玉英 王建國(guó)史加榮 魯萍. 數(shù)學(xué)建模及其軟件實(shí)現(xiàn) 北京：清華大學(xué)出版社,2015.2趙鳳群 戴芳 王小俠 肖艷婷 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ) 西安理工大學(xué)理學(xué)院2013十、附錄程序1 馬爾薩斯模型的線性解法t0=1790:10:1980;X0=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3

12、 204.0 226.5;plot(t,x,'o');n=1;a=polyfit(t0,x0,n);y=log(x);p=poly2sym(a)程序2 人口數(shù)量實(shí)際值與兩種模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖clear;t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;nx1=3.9*exp(0.02222.*(t-1790); nx2=285.9./（1+72.31*exp(-0.02858.*(t-1790);plot(t,x,'r',t,nx1,'b',t,nx2,'g'); legend('實(shí)際值','馬爾薩斯模型','¸阻滯增長(zhǎng)模型')程序3 兩種模型誤差散點(diǎn)圖clear;t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.