數(shù)值計(jì)算上機(jī)實(shí)習(xí)題目matlab編程

1、非線性方程求根、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋敬螌?shí)驗(yàn)通過上機(jī)實(shí)習(xí)，了解迭代法求解非線性方程數(shù)值解的過程和步0、實(shí)驗(yàn)要求1、用迭代法求方程3x2-ex=0的根。要求：確定迭代函數(shù) %x),使得x=9(x),并求一根。提示：構(gòu)造迭代函 數(shù)中= ln(3x2)。2、對上面的方程用牛頓迭代計(jì)算。3、用割線法求方程 f(x) =x33x1 = 0在x0=2附近的根。誤差限為10”，取x0 = 2, x1 =1.9。、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、(1)首先編寫迭代函數(shù)，記為iterate.mfunction y=iterate(x)x1=g(x); % x為初始值。n=1;while(abs(x1-x)>=1.0e-6)&(n

2、<=1000) %迭代終止的原則。x=x1;x1=g(x);n=n+1;endx1%近似根n%迭代步數(shù)(2)后編制函數(shù)文件邛(x),記為g.mfunction y=g(x)y=log(3*x.A2);(3)設(shè)初始值為0、3、-3、1000,觀察初始值對求解的影響。將結(jié) 果記錄在文檔中。>>iterate(0)>>iterate(3) 等等2、(1)首先編制牛頓迭代函數(shù)如下，記為newton.mfunction y=newton(x0)x1=x0-fc(x0)/df(x0); %牛頓迭代格式n=1;while(abs(x1-x0)>=1.0e-6)&(

3、n<=1000000) %迭代終止的原則。x0=x1;x1=xO-fc(x0)/df(x0);n=n+1;endx1%近似根n%迭代步數(shù)(2)對題目中的方程編制函數(shù)文件，記為 fc.mfunction y=fc(x)y=3*x.A2-exp(x)編制函數(shù)的導(dǎo)數(shù)文件，記為df.mfunction y=df(x)y=6*x-exp(x)(3)在MATLABr令窗計(jì)算，當(dāng)設(shè)初始值為0時(shí)，newton(0);給定不同的初始 值，觀察用牛頓法求解時(shí)所需要的迭代步數(shù)，并與上面第一題的迭代步數(shù)比 較。將得到的結(jié)果記錄下來。3、參考上面兩題的程序，編寫割線法的MATLAB?序，并求解問題的近似根。四、課

4、外練習(xí)1.迭代函數(shù)對收斂性的影響實(shí)驗(yàn)題目3用迭代法求方程f(x) = 2x -x-1=0的根。方案1化方程為等價(jià)方程x=fx2口=<p(x)取初值x0 =0 ,迭代10次。方案2化f(x)二°為等價(jià)方程x = 2x3 -1 = (x)取初值x0 =0,迭代10次，觀察其計(jì)算值，并加以分析2 .初值的選取對迭代法的影響實(shí)驗(yàn)題目用牛頓法求方程x3x1=0在x= 1.5附近的根。方案1使用牛頓法并取入 =1.5,由Xk 1,= Xkf(Xk)f (Xk)Xk 1 - xkxk - xk -3x2-1迭代10次。方案2取x0=0,使用同樣的公式xk - Xk -Xk 1 = Xk 一

5、-22迭代10次，觀察比較并分析原因。3 .收斂性與收斂速度的比較實(shí)驗(yàn)題目3求方程f(x)=x -s1nxi2x+1的全部實(shí)根，8=10方案1.用牛頓法求解；方案2.用簡單迭代法； 取相同迭代法初值，比較各方法的收斂速度。線性方程組的數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)?zāi)康模壕毩?xí)引入迭代和矩陣的形式來解決方程組問題。鞏固方程與矩陣相互關(guān)系的概念。實(shí)驗(yàn)要求:學(xué)會用矩陣的形式來解決方程組問題在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)。分析雅可比迭代與其它迭代的異同。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：題目： 用雅可比迭代求方程組：AX=B已知：A、 B 如下：A =B =- 4-10-1000- 14-10-1050-1400-10- 1004-1060-10-14

6、-1200-10-146原理： 先找出下三角陣-L ，再找出上對角陣-U ，還有主對角陣D 。迭代公式x=inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*B設(shè)計(jì)思想：利用迭代即可在循環(huán)中實(shí)現(xiàn)的原則來完成此方程組的求解，所用的迭代公式為：x=inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*B實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)?zāi)康模杭訌?qiáng)編程能力和編程技巧，練習(xí)從數(shù)值分析的角度看問題。同時(shí)用 Matlab 編寫代碼。如果編程有困難，就利用已經(jīng)給出的命令來求解。實(shí)驗(yàn)要求: 用選主元素法和高斯消去法兩種方法解方程組。熟悉直接求解的方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：題目： 用選主元素法和高斯消去法求解下列方程組：2-1006-1-3-201-13-200

7、00-351原理： (1)高斯消去法：相對于約當(dāng)消去法而言，總的來說就是將增廣矩陣化為下三角陣。(2) 選主元素法:相對于高斯消去法的唯一不同是每次將對角線元素化為1 前，要先按當(dāng)前要排列元素所在列大小進(jìn)行排列。設(shè)計(jì)思想：(1)高斯消去法：首先讓每一行的元素除以該行的主對角線元素。然后利用此行使位于下一行主對角線以前的元素變?yōu)?，依次類推。(2)選主元素法：在高斯消去法的基礎(chǔ)上，每次進(jìn)行化上三角陣之前，重新排列各方程的位置。三、課外練習(xí)題1、用雅可比迭代、高斯-塞德爾迭代求方程組：A*X= BA=5 2 1 ;-1 4 2 ;2 -3 10，B=-12 ;20 ;3給定初始值X=0 ;0 ;0

8、并給出滿足一定精度時(shí)迭代終止的步數(shù)。2、設(shè)A=1 2 3;2 3 4;3 4 7， b=6 9 14，用直接法求解方程組的解。3、熟悉矩陣范數(shù)的求法，生成n 階的 Hilbert 矩陣，并計(jì)算其條件數(shù)，了解病態(tài)矩陣。附：求解線性方程組的相關(guān)資料一、直接法矩陣除法關(guān)于線性方程組的直接求解，如高斯消去法、選主元消去法、追趕法等，只需要矩陣左除、右除即可。求 Ax=b, 一般x=Ab。 另外，有關(guān)直接解法及處理大型矩陣的運(yùn)算和編程需要，還需要了解幾種矩陣分解。(1) LU 分解lu(A)(2) Cholesky 分解 chol(A)(3) 奇異值分解svd(A)(4) QR 分解(5) 有時(shí)需要用到

9、系數(shù)矩陣的對角部分等等，有上三角變換：由triu 實(shí)現(xiàn)下三角變換：由tril 實(shí)現(xiàn)由diag實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)題：取函數(shù) f(x)=51 x2x -5,5對角變換:、迭代解法的幾種形式1、Jacobi迭代2、G-S迭代3、SOR迭代宙值法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋敬螌?shí)驗(yàn)通過上機(jī)實(shí)習(xí)，了解函數(shù)逼近的拉格朗日插值、分段插值、三次 樣條插值、最小二乘算法等。分析并比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)，深刻理解這些算法。 二、實(shí)驗(yàn)要求1、已知 f(x n)=yn ,n = 0,1,2,N;求通過這 N + 1 個節(jié)點(diǎn) (xn, yn) | n=0,1,2,N 的插值函數(shù)Pn (x)。設(shè)計(jì)出具體的程序，使用拉格朗 日插值算法繪制出相應(yīng)的插值曲線

10、。對于給出的實(shí)例，理解 Lagrange 插值的龍格現(xiàn)象。并熟悉分段線性插值算法。2、使用Matlab已有的函數(shù)，掌握分段線性插值、樣條插值、最小二乘擬 合等。、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、Lagrange插值多項(xiàng)式目的：學(xué)會Lagrange插值算法，并應(yīng)用算法于實(shí)際問題；觀察Lagrange 插值的龍格現(xiàn)象。它在區(qū)間上的各階導(dǎo)數(shù)存在，但在此區(qū)間上取n個節(jié)點(diǎn)所構(gòu)造的 Lagrange插值多項(xiàng)式在全區(qū)間內(nèi)并非都收斂，而且分散的很厲害.要求：取n=10，用Lagrange插值法進(jìn)行插值計(jì)算.在同一圖形窗口中比 較原函數(shù)和插值函數(shù).應(yīng)該可以看到，插值曲線已經(jīng)嚴(yán)重偏離了原曲線。2、為了解決上面這個問題，引入分段線性插

11、值。用interp1函數(shù)來計(jì)算上例 的函數(shù)插值。interp1函數(shù)具體用法可以參考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與軟件或Matlab幫助文件3、熟悉樣條插值。實(shí)驗(yàn)題：給定如下數(shù)據(jù)，試求滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù):x=28.7,28,29,30, 對應(yīng)的函數(shù)值為4.1,4.3,4.1,3.0在圖形窗口中給出擬合圖形。4、曲線擬合最小二乘法擬合在 Matlab 中實(shí)現(xiàn)最小二乘法擬合可以利用polyfit 函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。實(shí)驗(yàn)題：設(shè)y=span1,x,x 2, 用最小二乘法擬合如下數(shù)據(jù)：x=0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0;y=1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60

12、;并給出擬合圖形。四、課外練習(xí)題給定數(shù)據(jù)x=1:6; y=16 18 21 17 15 12; 將 Lagrange 插值、樣條插值、線性插值曲線在一個圖形窗口中用不同的顏色顯示出來。數(shù)值積分、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1)學(xué)會復(fù)化梯形、復(fù)化Simpson、復(fù)化Cotes求積公式的編程與使 用。(2) 了解高精度求積公式的方法，如 Gauss求積公式。(3)學(xué)會運(yùn)用Matlab提供的積分函數(shù)求給定區(qū)間上的積分。二、實(shí)驗(yàn)要求(1)按照題目要求完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。(2) 寫出相應(yīng)的Matlab程序。(3)給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，與精確積分值相比較。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、用復(fù)化梯形公式、復(fù)化 Simpson公式計(jì)算下列積分，并與精確值比

13、較，探 討兩種積分公式的精度。1(1)rdx,將區(qū)間8等分。0 4 x(2) ( Txdx ,將區(qū)間4等分。(3) (6。4-sin2 xdx ,將區(qū)間 6 等分2、用復(fù)合梯形公式、復(fù)合拋物線公式、龍貝格公式求定積分31(1)ln 2 = -2dx2 x -1；_22 x(2)e = xe dx .17；二一 10要求絕對誤差為2,將計(jì)算結(jié)果與精確解做比較，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。3、了解高精度求積公式的方法，如 Gauss求積公式，試按照教材內(nèi)容求出近 似積分值。附：數(shù)值積分的相關(guān)資料一、關(guān)于數(shù)值積分，Matlab有以下函數(shù)：trapz梯形求積法quadSimpson 積法quadlLobat

14、to 求積法dblquad二重積分triplequad三重積分本節(jié)課主要介紹前兩種函數(shù)的用法，另外的函數(shù)同學(xué)們有興趣，可以查看幫助 文件了解其用法。(1) trapz函數(shù)梯形求積法1 dx例1:試取9個節(jié)點(diǎn)分別用復(fù)化梯形公式計(jì)算.01 x解：輸入 x=0:1/8:1;y=1./(1+xA2);I=trapz(x,y)得到 1=0.7847quad函數(shù)quad ()函數(shù)采用自適應(yīng)步長的 Simpson求積法，其應(yīng)用格式為：I=quad(fun,a,b,tol)其中fun是被積函數(shù)，有兩種形式，第一種用inline()命令定義函數(shù)，第二種 是寫出外部函數(shù)fun.m； a, b是區(qū)間兩端點(diǎn)；tol是

15、積分的精度要求，缺省值為 10-6例2：用quad函數(shù)求例1中的積分值，精度要求為10-6解：輸入 fun=inline( 1./(1+x.A2)') ; I=quad(fun,0,1)得到 1=0.7854或者編寫外部函數(shù)fun.mfunction y=fun(x)y=1./(1+x.A2);再使用quad ()函數(shù)求積分，有I=quad(fun,0,1)二、編寫復(fù)化求積公式的程序來求近似積分值。1、復(fù)化梯形法將區(qū)間a,bN等分，子區(qū)間的長為h = b a,復(fù)化梯形求積公式為：Nbha f (x)dx :-f(a) f(b) 2% f(xjkW按照上式編寫復(fù)化梯形求積函數(shù)。(函數(shù)名：

16、T_quad.m)function I=T_quad(x,y)n=length(x);m=length(y); if n=merror('The engths of X and Y must be equal'); return;endh=(x(n)-x(1)/(n-1);a=1 2*ones(1,n-2) 1;I=h/2*sum(a.*y);例：用復(fù)化梯形公式求積分 fe2dx,在積分區(qū)間中點(diǎn)與點(diǎn)的間隔取為 0.1。- 1解：輸入 x=-1:0.1:1;y=exp(-x.A2);I=T_quad(x,y)得到 1=1.49242、復(fù)化Simpson法將區(qū)間a,bN等分，子區(qū)間的長為h=,在每個子區(qū)間上使用Simpson Nba f (x)dx :公式，還需要將每個子區(qū)間二等分，因此有 2N+1個分點(diǎn)。復(fù)化Simpson 求積公式為：h f(a) f (b) 2 f (x2k) 4V f (x2kj) 6k 1k 4按照上式編寫復(fù)化梯形求積函數(shù)。(函數(shù)名:S_quad.m)function I=S_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);if n=merror('The engths of X and Y must be equal');return;endif rem(n-1,2)=0