模型構(gòu)建專題：解直角三角形應用中的雙直角三角形模型

1、模型構(gòu)建專題：解直角三角形應用中的“雙直角三角形”模型形成思維模式，快準解題類型一疊合式1.如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角/ ABD為60°,為了改善樓梯的安全性能，準備重 新建造樓梯，使其傾斜角/ ACD為45。，則調(diào)整后的樓梯 AC的長為（）A. 23m B. 276mC. （25一2）m D. （276-2）m2 . （2017邵陽中考）如圖，運載火箭從地面 位于地面R處的雷達測得 AR的距離是40km,第2題圖L處垂直向上發(fā)射，當火箭到達 A點時，從 仰角是30°.n秒后火箭到達 B點，此時仰角是45。，則火箭在這n秒中上升的高度是 3 .蕪湖長江大橋是中國跨度最大

2、的公路和鐵路兩用橋梁，大橋采用低塔斜拉橋橋型（如圖甲），圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30。，拉索CD與水平橋面的夾角是 60。，兩拉索頂端的距離 BC為2米，兩拉索底端距離 AD 為20米，請求出立柱 BH的長（結(jié)果精確到0.1米，3= 1.732）.圖甲CH 圖乙一類型二背靠式4 .某滑雪場舉辦冰雪嘉年華活動，采用直升機航拍技術(shù)拍攝活動盛況.如圖，通過直 升機的鏡頭C觀測到水平雪道一端 A處的俯角為30。，另一端B處的俯角為45°.若直升機鏡 頭C處的高度CD為300米，點A, D, B在同一直線上，則雪道 AB的長度為（）A. 300

3、米 B. 150*米C. 900 米 D. （30073+ 300）米第4題圖5.全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外. 得塑像底部B處的俯角為11° 48'測得塑像頂部第5題圖如圖，張三同學在東門城墻上C處測A處的仰角為45°,點D在觀測點C正下方城墻底的地面上，若CD = 10米，則此塑像的高AB約為米（參考數(shù)據(jù):tan78徑4.8).6. （2017青島中考）如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由 A地到C地需繞 行B地，已知B地位于A地北偏東67°方向，距離 A地520km, C地位于B地南偏東30° 方向.若打通穿山隧道，建成兩

4、地直達高鐵，求 A地到C地之間高鐵線路的長（參考數(shù)據(jù)： sin67 2 11，cos67°5r, tan67 12, J3= 1.73,結(jié)果保留整數(shù)）.【方法 4】 13135北4哧：67口C參考答案與解析1. B 2.（20花20）km3,解：設(shè) DH =x 米.在 RtACHD 中，/ CDH = 60°,CH= DH tan60 =>/3x 米，BH 一BHy3BH= (2 寸3+3x)= BC + CH = (2+/3x)米.在 RtA AHB 中，/ A=30,，AH =tan30米. AH = AD + DH,20+x= 2淄 + 3x,解得 x= 10依

5、，. BH = 2 + 3(10甲)=10/31 16.3(米).答：立柱BH的長約為16.3米.4. D 5.586解：過點B作BDLAC于點D,二B地位于A地北偏東67°方向，距離 A地520km, ./ ABD = 67° , . .AD = AB sin67 5520X = 480(km) , BD = AB cos67°=520X = 1313200(km) . . C 地位于 B 地南偏東 30° 方向，/CBD=30°, z. CD = BD tan30 =-2003(km), 3AC = AD + CD= 480+ 20；480

6、+ 115= 595(km).答：A地到C地之間高鐵線路的長為 595km.綜合滾動練習：解直角三角形及其應用時間：45分鐘 分數(shù)：100分 得分:一、選擇題(每小題4分，共32分)1 .在 RtABC 中，/ C=90°, a=2, b=3,則 cosA 等于()A 2 c 3 c 13 c 3 ,13A3 B.2 C丁 D. 丁52 .在 RtABC 中，/ C=90 , AC=4, tanA=,則 BC 等于()35A" B" 533.如圖，43A3 B.436C.- D. 5AB=5, AC =3,則 tan/BCD =()CD是RtAABC斜邊上的高，若

7、4 3C- D-5 5第3題圖第4題圖4. （2016道里區(qū)二模）如圖，沿AC方向修山路，為了加快施工進度，要在小山的另一 邊同時施工，從 AC上的一點 B取/ABD = 145°, BD = 500米，/ D = 55°,使 A, C, E在 一條直線上，那么開挖點E與D的距離是（）A. 500sin55 米 B. 500cos35 米C. 500cos55 米 D. 500tan55 米5. （2016龍湖區(qū)一模）如圖，車魚竿 AC長6m,露在水面上的魚線 BC長3>/2m,某釣 者想看看魚鉤上的情況， 把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC的位置，此時露在水面上的魚線 BC為3V

8、3m,則魚竿轉(zhuǎn)過的角度是（）A. 60° B. 45° C. 15° D. 90°第5題圖第6題圖6. （2016金華中考）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為日現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA = 4米，樓梯寬度為1米，則所需地毯的面積至少為（）424242 22 2AQ7k （2016聊城模擬）聊城流傳著一首家喻戶曉的民謠：“東昌府，有三寶，鐵塔、古樓、 玉皇皋. ”被人們譽為三寶之一的鐵塔，初建年代在北宋早期，是本市現(xiàn)存最古老的建筑. 如圖，測繪師在離鐵塔 10米處的點C測得塔頂A的仰角為 “ 他又在離鐵塔25米

9、處的點D 測得塔頂A的仰角為3,若tan龍an 3= 1,點D, C, B在同一條直線上，那么測繪師測得鐵塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：10-3.162）（）A. 15.81 米 B. 16.81 米 C, 30.62 米 D, 31.62 米二、填空題（每小題4分，共24分）.COTe米C- (4+ta)米D.(4+4tane"7. 如圖，一艘海輪位于燈塔 P的北偏東30方向，距離燈塔60海里的A處，它沿正南 方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45。方向上的B處，這時，海輪所在的B處 與燈塔P的距離為（）A. 30M2海里 B. 30血海里C. 60海里 D. 3046海里，,一

10、， A10. 在 RtABC 中，/ C=90 , AB=4, BC = 243,貝U sin? =11. 如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡 AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1 : 2,則斜坡 AB的長是.12. （2016寧波中考）如圖，在一次數(shù)學課外實踐活動中，小聰在距離旗桿10m的A處測得旗桿頂端B的仰角為60。，測角儀高AD為1m,則旗桿高BC為 m（結(jié)果保留根13. B在A的北偏東30°方向（距A）2千米處，C在B的正東方向（距B）2千米處，則 C 和A之間的距離為 千米.14. （齊齊哈爾中考）BD為等腰 ABC的腰AC上的高，BD = 1, tan/ABD = J3,則 C

11、D的長為.三、解答題（共44分）.一.415. （10 分）如圖，在 RtAABC 中，已知/ C = 90 , sinB=, AC=8, D 為線段 BC 上5一點，CD = 2.求BD的值；（2）求 cos/ DAC 的值.16. （10分）（2016臨沂中考）一艘輪船位于燈塔 P南偏西60°方向，距離燈塔20海里的A 處，它向東航行多少海里到達燈塔 P南偏西45°方向上的B處（參考數(shù)據(jù)：43= 1.732,結(jié)果 精確到0.1海里）？【方法5】A17. （12分）（2016淮安中考）小宇想測量位于池塘兩端的 A, B兩點的距離.他沿著與直 線AB平行的道路EF行走，當行

12、走到點 C處，測得/ ACF = 45°,再向前行走100米到點D 處，測得/ BDF = 60°.若直線AB與EF之間的距離為60米，求A, B兩點的距離.18. （12分）（2016瀘州中考）如圖，為了測量出樓房 AC的高度，從距離樓底C處6043米 的點D（點D與樓底C在同一水平面上）出發(fā)，沿斜面坡度為i = 1 ： <3的斜坡DB前進30米 到達點B,在點B處測得樓頂A的仰角為53°,求樓房AC的高度（參考數(shù)據(jù)：sin53% 0.8, cos5320.6, tan5324,計算結(jié)果用根號表示，不取近似值 ）.3參考答案與解析1. D 2,B 3.A

13、4.C 5.C 6.D 7.A8. A 解析：BC=10 米，BD = 25 米，.在 RtABC 中，AB = BCtan“= 10tan. 在 RtABD 中，AB= BD tan 3= 25tan 癖.tan “tan 3= 1, . AB2= 10tan a 25tan 3= 250, .AB=/250=5印=5* 3.162= 15.81（米）.故選 A.13. 2木 解析：根據(jù)題意，可畫如圖所示的示意圖，過點 B作BDXAC于點DB 在 A 北偏東 30°方向，BAE=60°,ABC=180° 60 =120°.,. AB=BC=2 千米，.

14、Z BAD = Z BCD = 30°, AD = CD , . AD= AB cos30° = 2X 乎=血（千米），.AC=2AD =2 .3千米.n臥D國如圖，/A 為鈍角，AB = AC,在 RtABD 中，BD=1, tan/ABD = ®,，AD=V3, AB = 2,AC=2, .,.CD = 2 + V3;如圖，/A 為銳角，AB = AC,在 RtABD 中，BD=1, tan/ABD = O，AD=73, AB = 2,AC=2,CD = 2-V3.綜上所述，CD的長為2 +3或2 Ji15解：在 R"ABC 中，皿=器咚又g=10，

15、'BcHaB2 AC =417 八17 .（10 分）16.解：過點 P 作 PCLAB 于點 C.（1 分）由題意，得/ APC=60°, /BPC=45°, AP =AC = 20 sin60 =10陋（海里）.（4 分）在4PBC 中，/ Z BPC = 45 °,. PBC 為等腰直角三角 形，. . BC=PC=10 海里，（7分）.AB = ACBC=107310 7.3（海里）.（9 分）答：它向東航行約 7.3海里到達燈塔P南偏西45°方向上的B處.（10分）17.解：過點 A作AMLEF于點M,過點B作BNLEF于點N.（2分）

16、由題意，得 AM =9. 4 3110.2 11.6J5 米 12.（10>/3+1）14. 2+乖或25<102 82 = 6,BD= BC-CD = 6-2=4; （5 分）（2）在 RtACD 中， AD = AC2+DC2 =82+ 22 = 2折，. . cos/DAC =第="2 =20海里.在RtAAPC中,PC. cos/ APC=Q sin/APC APACAP'PC=20 cos60°=10（海里）,解析：分兩種情況:AMBN=60 米，AB=MN, CD=100 米.（5 分）在 RtACM 中，Z ACM = 45 , CMntO親=20椒米）,AB =60-= 60（米）.（8 分）在 RtABDN 中，/ BDN = 60°, . . DN =BN 1tan60MN = CD + DN = 100 + 20560=（40 + 20皿）（米）.（11 分）答：A, B兩點的距離是（40+20爐）米.（12分）18.解：過點 B 作 BNXCD 于 N,BM ±AC 于 M.（2 分）在