第二節(jié) 羅爾中值定理及其應(yīng)用

1、定理定理3.2 (羅爾定理羅爾定理) (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);(3)()(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f3.2 羅爾中值定理及其應(yīng)用羅爾中值定理及其應(yīng)用ab1 2 xyo)(xfy C證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在因因baxf若函數(shù)若函數(shù) f (x) 滿足滿足:必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m.,)1(mM 若若,)(,Mxfbax 則則),(ba . 0)( f有有),(),(bafM 設(shè)設(shè). 0)( f,),(,)2(內(nèi)內(nèi)取取得得在在則則最最大大、最最

2、小小值值有有一一個(gè)個(gè)若若bamM ),()(, fxfbax 則則由由費(fèi)爾馬引理費(fèi)爾馬引理 推論推論3.2 可微函數(shù)可微函數(shù) 的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少 有有 的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn))(xf)(xf 例例1 證明證明 是是方程方程 的唯一實(shí)根的唯一實(shí)根.證證, 1)( xexfx令令,),()(內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)在在則則xf. 0)0( f顯然顯然, 00 x設(shè)設(shè)另另有有. 0)(0 xf使使), 0(0之間之間在在存在存在x )0( , 0)( f),0( , 01)( xexfx而而矛盾矛盾.0 xxex 1由由羅爾定理羅爾定理,原命題得證原命題得證.使得使得例例2

3、設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) 滿足滿足:01210 ncccn試證方程試證方程010 nnxcxcc分析：分析：注意到注意到 121012nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf在在(0, 1)內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根.nccc,10證證 設(shè)設(shè),12)(1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在xf, 0)1()0( ff且且 由由羅爾定理羅爾定理,)1 , 0( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在, 0)( f使使得得即即, 010 nnccc .為為所所求求實(shí)實(shí)根根即即 x在在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),在在0, 1上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo), 且且)(xf, 0)1()0( ff則

4、在則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),()(xxfxF ),1,0(1 例例3 若若證證)1 ,0(使得使得. 0)( F使得使得. 0)(1 F),()()(xfxxfxF 0)()0(1 FF上使用上使用羅爾定理羅爾定理, 0)(1 在在對(duì)對(duì)xF ),1,0(), 0(1 使得使得. 0)( F上上在在對(duì)對(duì) 1 , 0)()(xxfxF 使用使用羅爾定理羅爾定理,兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法： 1. 常數(shù)常數(shù)k 法法基本思路是令待證等式中的常數(shù)為基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k， 通過(guò)通過(guò)恒等變形將含有的式子寫(xiě)成恒等變形將含有的式子寫(xiě)成 的形式，的形式，

5、 )()(bFaF 然后用羅爾定理然后用羅爾定理則則 就是需要的輔助函數(shù)就是需要的輔助函數(shù),)(xF進(jìn)行證明進(jìn)行證明.例例4 設(shè)設(shè)證證明明內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在,),(,)(babaxf分析分析證證，設(shè)設(shè)kxxxfxF )()(令令上使用上使用在在對(duì)對(duì),)(baxF羅爾定理羅爾定理,)()()()( ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得. 0)( F故故).()()()( ffabaafbbf ，0)()( kff即即使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,),( ba2. 因子法因子法如果待證等式為如

6、果待證等式為 如果如果. 0)()()()( xxvxfxuxf),()()(xgxfxF 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù), 0)()()()()( xxgxfxgxfF且且只要只要.)()()()(xgxvxgxu )()() )(ln)()(xuxvxgxgxg 因此因此, 另一因子另一因子 可通過(guò)可通過(guò))(xg確定確定.( f (x)是一個(gè)因子是一個(gè)因子)()()()()()(xhxFxvxfxuxf 則則. 0)()()()( xxvxfxuxf )(2)(ff 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證證證 設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)),()(2xfxxF )(xF在在0, 1上用上用羅爾定理羅爾定理, )1 ,0( 使得使得即有即有例例5 設(shè)設(shè).)(2)( ff 分析分析:0)()(2)(2 ffF, 0)(2)( xxfxfx, 0)1(,)1 , 0(,1