2011屆湖南地區(qū)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 7.7數(shù)列的綜合應(yīng)用學(xué)案（老師版）

1、7.7數(shù)列的綜合應(yīng)用一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1理解“復(fù)利”的概念，能解決分期付款的有關(guān)計(jì)算方法； 2能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題二、自主學(xué)習(xí)：【課前檢測(cè)】1猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,的第n個(gè)式子為 。2用數(shù)學(xué)歸納法證明,在驗(yàn)證成立時(shí),左邊所得的項(xiàng)為( C )A.1 B.1+ C. D.【考點(diǎn)梳理】1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長(zhǎng)率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題。生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題. 例如，第一年產(chǎn)量為，年增長(zhǎng)率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.

2、例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的元過個(gè)月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：=.注意：“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題 這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決. 利率問題：?jiǎn)卫麊栴}：如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為：(等差數(shù)列問題）；復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去

3、,分期還清.如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足： (等比數(shù)列問題).分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；為年利率.2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意：（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；（2）分清是求an還是求Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n.3.數(shù)列與其他知識(shí)的綜合也是?？嫉念}型，如：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何知識(shí)相互聯(lián)系和滲透，都是常見的題型。4.強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.三、合作探究：題型1 以等差數(shù)列為模型的問題例1 由于美伊戰(zhàn)爭(zhēng)的影響，據(jù)估計(jì)，伊拉克將產(chǎn)生60100萬(wàn)難民，聯(lián)合國(guó)難民署計(jì)劃從4月1日起為伊難民運(yùn)送食品.第一天運(yùn)送1000

4、 t，第二天運(yùn)送1100 t，以后每天都比前一天多運(yùn)送100t，直到達(dá)到運(yùn)送食品的最大量，然后再每天遞減100 t，連續(xù)運(yùn)送15天，總共運(yùn)送21300 t，求在第幾天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.剖析：本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)等差數(shù)列的求通項(xiàng)和求和的問題.解：設(shè)在第n天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.則前n天每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為1000，公差為100的等差數(shù)列.an=1000+（n1）·100=100n+900.其余每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為100n+800，公差為100的等差數(shù)列.依題意，得1000n+×100+（100n+800）（15n）+×（100）=21300（1n15）.整理

5、化簡(jiǎn)得n231n+198=0.解得n=9或22（不合題意，舍去）.答：在第9天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.變式訓(xùn)練1 數(shù)列an中，a16，且anan1n1(nN*，n2)，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)an_. 答案：(n1)(n2)解：由已知等式得nan(n1)an1n(n1)(nN*，n2)，則1，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即n2，則an(n1)(n2)n1時(shí)，此式也成立小結(jié)與拓展：對(duì)數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。題型2 以等比數(shù)列為模型的實(shí)際問題例2 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，計(jì)劃從2005年起，每年拆除20萬(wàn)平方米的舊住房.假定該市

6、每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2005年底和2006年底的住房面積；（2）求2024年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.01）剖析：本題實(shí)質(zhì)是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題.解:（1）2005年底的住房面積為1200（1+5%）20=1240（萬(wàn)平方米），2006年底的住房面積為1200（1+5%）220（1+5%）20=1282（萬(wàn)平方米），2005年底的住房面積為1240萬(wàn)平方米，2006年底的住房面積為1282萬(wàn)平方米.（2）2024年底的住房面積為1200（1+5%）2020（1+5%）1920（1+5%）1820（1+5%）20=1200（1+5%

7、）2020×2522.64（萬(wàn)平方米），2024年底的住房面積約為2522.64萬(wàn)平方米.評(píng)述：應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)知識(shí)解決，然后回到實(shí)際問題，給出答案.變式訓(xùn)練2 從2002年1月2日起，每年1月2日到銀行存入一萬(wàn)元定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期存款，到2008年1月1日將所有存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)為_ _萬(wàn)元.答案：（1+p）7（1+p）解：存款從后向前考慮（1+p）+（1+p）2+（1+p）5=（1+p）7（1+p）.注：2008年不再存款.小結(jié)與拓展：對(duì)數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。題型3

8、數(shù)列與函數(shù)、不等式等問題的綜合應(yīng)用例3 (文)在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN)(1)試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列；(2)設(shè)bn滿足bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)為Sn；(3)若an，對(duì)任意n2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：(1)a10，an0，由已知可得3(n2)，故數(shù)列是等差數(shù)列(2)由(1)的結(jié)論可得bn1(n1)×3，所以bn3n2，Sn.(3)將an代入an并整理得(1)3n1，原命題等價(jià)于該式對(duì)任意n2的整數(shù)恒成立設(shè)Cn，則Cn1Cn>0，故Cn1>Cn，Cn的最小值為C2， 的取值范圍是(，變式訓(xùn)練3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意

9、nN*都有Snan，若1<Sk<9(kN*)，則k的值為_答案：4解：Snan，S1a1a1，a11.anSnSn1(n>1)，即an(an)(an1)anan1，整理得：2，an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，Sk，1<Sk<9，1<<9，即4<(2)k<28，僅當(dāng)k4時(shí)不等式成立小結(jié)與拓展：數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系和滲透.四、課堂總結(jié)：（以學(xué)生為主，師生共同完成）1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長(zhǎng)率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題. 解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化

10、為數(shù)學(xué)問題，要加強(qiáng)培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識(shí).2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意：（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；（2）分清是求an還是求Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n.3.數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系和滲透.4.強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.五、檢測(cè)鞏固：1某地區(qū)森林原有木材存量為，且每年增長(zhǎng)率為25，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為，設(shè)為年后該地區(qū)森林木材的存量，（1）求的表達(dá)式；（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于，如果，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）設(shè)第一年的森林的木材存量為，第年后的森林的木

11、材存量為，則，（2）當(dāng)時(shí)，有得即，所以，答：經(jīng)過8年后該地區(qū)就開始水土流失2輕紡城的一家私營(yíng)企業(yè)主，一月初向銀行貸款一萬(wàn)元作開店資金，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的，每月月底需要交納房租和所得稅為該月所得金額（包括利潤(rùn)）的，每月的生活費(fèi)開支300元，余款作為資金全部投入再經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，問該年年底，該私營(yíng)企業(yè)主有現(xiàn)款多少元？如果銀行貸款的年利率為，問私營(yíng)企業(yè)主還清銀行貸款后純收入還有多少元？解：第一個(gè)月月底余元，設(shè)第個(gè)月月底余，第個(gè)月月底余，則，從而有，設(shè)，是等比數(shù)列，還貸后純收入為元3銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)

12、利現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比上年增加30的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比前一年多獲利5000元兩種方案的期限都是10年，到期一次行歸還本息若銀行貸款利息均以年息10的復(fù)利計(jì)算，試比較兩個(gè)方案哪個(gè)獲得存利潤(rùn)更多？（計(jì)算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：） 解：甲方案10年獲利潤(rùn)是每年利潤(rùn)數(shù)組成的數(shù)列的前10項(xiàng)的和：（萬(wàn)元）到期時(shí)銀行的本息和為（萬(wàn)元）甲方案扣除本息后的凈獲利為：（萬(wàn)元）乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利：（萬(wàn)元）貸款的本利和為：（萬(wàn)元）乙方案扣除本息后的凈獲利為：（萬(wàn)元）所以，甲方案的獲利較多4某工廠在1999年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長(zhǎng)，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50，如果某人分流前工資的收入每年元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第年的收入為元，（1）求的通項(xiàng)